Producto de binomios lineales no mónicos
Aplicar la generalización del producto con término común cuando los binomios son del tipo $(ax+b)(cx+d)$.
Introducción
¿Y si los coeficientes de $x$ no son $1$? ¿Y si ni siquiera son iguales? Aún hay una forma sistemática de resolverlo.
Explicación
Definición formal
Para todo $a, b, c, d$, el producto $(ax+b)(cx+d)$ se expande por distributividad como $(ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$: el coeficiente cuadrático es el producto de los coeficientes líderes, el coeficiente lineal es la suma de los dos productos cruzados, y el término independiente es el producto de los términos constantes.
Desarrollo didáctico
El caso general de binomios lineales con término común se da cuando el término que se repite no es simplemente una letra suelta (como ''$x$''), sino un término que incluye un coeficiente numérico (como ''$3x$'' o ''$5y$'').
Por ejemplo, $(ax+b)(ax+c)$. La lógica sigue siendo exactamente la misma que la fórmula básica, pero debes tener cuidado con las multiplicaciones.
Pasos en el caso general:
Tomemos $(3x + 2)(3x - 7)$:
1. Cuadrado del común: El término común es $3x$. Su cuadrado es $(3x)^2 = 9x^2$. (No olvides elevar también el coeficiente numérico.).
2. Suma por el común: Los no comunes son $+2$ y $-7$. La suma algebraica es $(2 - 7) = -5$. Ahora multiplicamos eso por el término común: $-5(3x) = -15x$.
3. Producto: Multiplicamos los no comunes: $(+2)(-7) = -14$.
Resultado final: $9x^2 - 15x - 14$.
Este caso nos recuerda que el "término común" actúa como un bloque inseparable durante los primeros dos pasos de la regla.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Para calcular $(ax+b)(cx+d)$ mentalmente:
- Paso 2: Multiplica los primeros coeficientes para el $x^2$.
- Paso 3: Calcula 'los extremos por los medios' (producto cruzado) y súmalos: $(ax \\\\\\cdot d) + (b \\\\\\cdot cx)$.
- Paso 4: Multiplica los últimos términos (los independientes) para el final.
- F: $12x^2$. O: $3x$. I: $8x$. L: $2$. Suma de cruzados: $3x + 8x = 11x$. Total: $12x^2 + 11x + 2$.
Ejemplos
1 Desarrolla $(2x + 3)(4x - 1)$.
- Término en $x^2$: $2 \\\\\\cdot 4 = 8x^2$.
- Productos cruzados: $(2)(-1) = -2$; $(3)(4) = 12$. Suma: $10$. Así que $+10x$.
- Últimos: $(3)(-1) = -3$.
- Resultado: $8x^2 + 10x - 3$.
2 Si $(5x - 3)(2x + 7) = Ax^2 + Bx + C$, ¿cuál es el valor de $A + B + C$? Opciones: A) $18$ · B) $10$ · C) $39$ · D) $29$
- F: $10x^2 \Rightarrow A=10$. Cruzados: $(5)(7) + (-3)(2) = 35 - 6 = 29 \Rightarrow B=29$. L: $(-3)(7) = -21 \Rightarrow C=-21$. $A+B+C = 10 + 29 - 21 = 39 - 21 = 18$. Espera. Evaluando en $x=1$, obtenemos $(5(1)-3)(2(1)+7) = (2)(9) = 18$. La respuesta A) 8 era incorrecta, debe ser 18. Espera, arreglaré las alternativas en el choice. ¡Ah! Voy a poner 18.
- Respuesta: $18$
3 Respecto de «Producto de binomios lineales no mónicos»: ¿La siguiente formulación es correcta? «El producto de dos binomios lineales generales $(ax+b)(cx+d)$ no es estrictamente un 'producto notable' tradicional, pero tiene un patrón fijo: **$(ax+b)(cx+d) = (ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$** Esto es la aplicación formal del método FOIL (Firsts, Outers, Inners, Lasts)»
- La afirmación coincide con la definición formal: El producto de dos binomios lineales generales $(ax+b)(cx+d)$ no es estrictamente un 'producto notable' tradicional, pero tiene un patrón fijo: **$(ax+b)(cx+d) = (ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$** Esto es la aplicación formal del método FOIL (Firsts, Outers, Inners, Lasts).
4 Respecto de «Producto de binomios lineales no mónicos»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Multiplicar solo los primeros y los últimos, obteniendo $(ax)(cx) + (b)(d)$, omitiendo completamente los términos cruzados»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: El producto de dos binomios lineales generales $(ax+b)(cx+d)$ no es estrictamente un 'producto notable' tradicional, pero tiene un patrón fijo: **$(ax+b)(cx+d) = (ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$** Esto es la aplicación formal del método FOIL (Firsts, Outers, Inners, Lasts).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar solo los primeros y los últimos, obteniendo $(ax)(cx) + (b)(d)$, omitiendo completamente los términos cruzados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$12x^2 + 10x + 2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$12x^2 + 8x + 2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$7x^2 + 11x + 2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si $(5x - 3)(2x + 7) = Ax^2 + Bx + C$, ¿cuál es el valor de $A + B + C$», la respuesta correcta es $10$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El producto de dos binomios lineales generales $(ax+b)(cx+d)$ no es estrictamente un 'producto notable' tradicional, pero tiene un patrón fijo: **$(ax+b)(cx+d) = (ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$** Esto es la aplicación formal del método FOIL (Firsts, Outers, Inners, Lasts).
Practica
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Desarrolla multiplicando término a término (FOIL) el producto $(3x + 2)(4x + 1)$.
F: $12x^2$. O: $3x$. I: $8x$. L: $2$. Suma de cruzados: $3x + 8x = 11x$. Total: $12x^2 + 11x + 2$.
Respuesta: A) $12x^2 + 11x + 2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En el desarrollo de $(-2x + 5)(3x - 4)$, ¿cuál es el término de primer grado (coeficiente de $x$)?
Cruzados: $(-2x)(-4) = 8x$. Internos: $(5)(3x) = 15x$. Suma: $8x + 15x = 23x$.
Respuesta: A) $23x$
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Si $(5x - 3)(2x + 7) = Ax^2 + Bx + C$, ¿cuál es el valor de $A + B + C$?
F: $10x^2 \Rightarrow A=10$. Cruzados: $(5)(7) + (-3)(2) = 35 - 6 = 29 \Rightarrow B=29$. L: $(-3)(7) = -21 \Rightarrow C=-21$. $A+B+C = 10 + 29 - 21 = 39 - 21 = 18$. Espera. Evaluando en $x=1$, obtenemos $(5(1)-3)(2(1)+7) = (2)(9) = 18$. La respuesta A) 8 era incorrecta, debe ser 18. Espera, arreglaré las alternativas en el choice. ¡Ah! Voy a poner 18.
Respuesta: A) $18$