Producto de binomios lineales no mónicos
Resumen inicial
El producto de binomios lineales no mónicos consiste en expandir $(ax+b)(cx+d)$ mediante la regla general reduciendo los términos cruzados al coeficiente central $(ad+bc)x$ y constante $bd$.
Explicación en palabras simples
Cuando los binomios tienen la variable con coeficientes numéricos mayores a 1 (ej: $(2x + 3) \cdot (4x + 5)$):
- FÓRMULA GENERAL DE BINOMIOS LINEALES:
$$(ax + b)(cx + d) = \mathbf{(ac)x^2 + (ad + bc)x + bd}$$
- Procedimiento en tres partes:
1. Término Cuadrático: Multiplica los dos primeros coeficientes: $(a \cdot c)x^2$.
2. Término Lineal (Productos cruzados): Multiplica extremos $(a \cdot d)$ y medios $(b \cdot c)$ y suma los resultados: $\mathbf{(ad + bc)x}$.
3. Término Constante: Multiplica los dos números del final: $\mathbf{b \cdot d}$.
- Ejemplo: $(2x + 3) \cdot (4x + 5)$:
- Término cuadrático: $2 \cdot 4 = \mathbf{8x^2}$.
- Término lineal (cruzados): $(2 \cdot 5) + (3 \cdot 4) = 10 + 12 = \mathbf{+22x}$.
- Término constante: $3 \cdot 5 = \mathbf{+15}$.
- Polinomio final: $8x^2 + 22x + 15$.
Explicación formal
Definición formal
Sean $B_1 = (a x + b)$ y $B_2 = (c x + d)$ dos binomios lineales en $\mathbb{R}[x]$ con coeficientes principales $a, c \neq 0$ ($a, c \neq 1$, no mónicos). La multiplicación de binomios lineales generales es la forma bilinear cuadrática dada por:
$$(ax + b)(cx + d) = (a \cdot c)x^2 + (a \cdot d + b \cdot c)x + (b \cdot d)$$
Representación Matricial y Forma Cuadrática
El sistema de productos parciales puede formalizarse mediante el producto vectorial de coeficientes:
$$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac & ad \\ bc & bd \end{pmatrix}$$
donde la traza secundaria antidiagonal $ad + bc$ consolida el coeficiente del término lineal $x$.
Síntesis didáctica
Este caso general sienta las bases del método de factorización de trinomios no mónicos $Ax^2 + Bx + C$ mediante descomposición por aspa simple.
La alternativa correcta es 'Sumando los productos cruzados de extremos y medios ($ad + bc$)'. Traza central del trinomio $B = ad+bc$.
Definiciones clave
- Binomios lineales no mónicos: Binomios de grado 1 cuyos coeficientes principales $a$ y $c$ son distintos de 1.
- Productos cruzados ($ad$ y $bc$): Multiplicaciones efectuadas entre los términos extremos ($a \cdot d$) y los términos medios ($b \cdot c$).
- Traza central del trinomio ($B = ad+bc$): Suma de los productos cruzados que determina el coeficiente lineal de la forma general $Ax^2 + Bx + C$.
Propiedades y relaciones importantes
- Reducción al caso mónico: Si $a=c=1$, la fórmula se reduce al caso mónico estándar $(1 \cdot 1)x^2 + (1 \cdot d + b \cdot 1)x + bd = x^2 + (b+d)x + bd$.
- Estructura de coeficientes: El coeficiente principal es $A = ac$, el central es $B = ad+bc$ y la constante es $C = bd$.
Ejemplo guiado
Multiplica los binomios lineales no mónicos $(3x - 2) \cdot (5x + 4)$ aplicando la fórmula general de productos cruzados.
- Paso 1: Identificamos los 4 coeficientes: $a = 3$, $b = -2$, $c = 5$, $d = 4$.
- Paso 2: Calculamos el término cuadrático $(ac)x^2$: (3 \cdot 5)x^2 = \mathbf{15x^2}$.
- Paso 3: Calculamos los productos cruzados para el término lineal $(ad + bc)x$: - Extremos: $3 \cdot 4 = 12$. - Medios: $(-2) \cdot 5 = -10$. - Suma cruzada: $12 + (-10) = +2 \implies \mathbf{+2x}$.
- Paso 4: Calculamos el término constante $(bd)$: (-2) \cdot 4 = \mathbf{-8}$.
- Paso 5: Consolidamos el trinomio: $15x^2 + 2x - 8$.
- Conclusión: El producto expandido es **$15x^2 + 2x - 8$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $6x^2 + 11x + 4$, calculando cuadrático $2 \cdot 3 = 6x^2$, cruzados $(2 \cdot 4)+(1 \cdot 3) = 8+3 = 11x$ y constantes $1 \cdot 4 = 4$'. $6x^2 + (8+3)x + 4 = 6x^2 + 11x + 4$.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar los coeficientes de los términos de mayor grado para obtener el coeficiente principal $A = ac$.
- Paso 2: Multiplicar el primer término por el último (extremos $ad$) y el segundo por el tercero (medios $bc$).
- Paso 3: Sumar algebraicamente ambos productos cruzados para obtener el coeficiente lineal $B = ad+bc$.
- Paso 4: Multiplicar las constantes para obtener el término independiente $C = bd$ y escribir $Ax^2 + Bx + C$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Excluir los productos cruzados al multiplicar binomios no mónicos (escribir $(2x+3)(4x+5) = 8x^2 + 15$). Cómo corregirlo: Se deben CALCULAR LOS PRODUCTOS CRUZADOS EXTREMOS Y MEDIOS ($(2 \cdot 5) + (3 \cdot 4) = 22x$).
- Error 2: Sumar los coeficientes principales en lugar de multiplicarlos (escribir $(2x+1)(3x+1) = 5x^2 + \dots$). Cómo corregirlo: El coeficiente principal SE MULTIPLICA ($2 \cdot 3 = 6 \implies 6x^2$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Cuadrático: $3 \cdot 2 = 6x^2$.
- Cruzados: $(3 \cdot 5) + (1 \cdot 2) = 15 + 2 = 17x$.
- Constante: $1 \cdot 5 = 5$.
- Resultado: $6x^2 + 17x + 5$.
- $4 \cdot 2 = 8x^2$.
- $(4 \cdot 3) + (-1 \cdot 2) = 12 - 2 = +10x$.
- $(-1)(3) = -3$.
- Resultado: $8x^2 + 10x - 3$.
- Sí, $5 \cdot 3 = 15x^2$.
- Sí, $2(-1) + (-3)(3) = -2 - 9 = -11x$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Expandir el producto de binomios lineales no mónicos calculando el término cuadrático, los productos cruzados y la constante.
Aplicar la fórmula $(ax+b)(cx+d) = (ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$ calculando el coeficiente lineal mediante la suma de extremos $ad$ y medios $bc$.
Practica
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Desarrolla multiplicando término a término (FOIL) el producto $(3x + 2)(4x + 1)$.
F: $12x^2$. O: $3x$. I: $8x$. L: $2$. Suma de cruzados: $3x + 8x = 11x$. Total: $12x^2 + 11x + 2$.
Respuesta: A) $12x^2 + 11x + 2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
En el desarrollo de $(-2x + 5)(3x - 4)$, ¿cuál es el término de primer grado (coeficiente de $x$)?
Cruzados: $(-2x)(-4) = 8x$. Internos: $(5)(3x) = 15x$. Suma: $8x + 15x = 23x$.
Respuesta: A) $23x$
-
Si $(5x - 3)(2x + 7) = Ax^2 + Bx + C$, ¿cuál es el valor de $A + B + C$?
F: $10x^2 \Rightarrow A=10$. Cruzados: $(5)(7) + (-3)(2) = 35 - 6 = 29 \Rightarrow B=29$. L: $(-3)(7) = -21 \Rightarrow C=-21$. $A+B+C = 10 + 29 - 21 = 39 - 21 = 18$. Espera. Evaluando en $x=1$, obtenemos $(5(1)-3)(2(1)+7) = (2)(9) = 18$. La respuesta A) 8 era incorrecta, debe ser 18. Espera, arreglaré las alternativas en el choice. ¡Ah! Voy a poner 18.
Respuesta: A) $18$