Definición de producto de binomios con término común
Comprender la estructura base de multiplicar dos binomios que comparten exactamente un término común.
Introducción
Ya vimos qué pasa si multiplicamos dos binomios iguales (cuadrado) y dos conjugados. ¿Qué pasa si comparten solo la mitad de la estructura? Por ejemplo: $(x+5)(x+3)$.
Explicación
Definición formal
Como su nombre indica, comparten solo un término (ej: la variable) mientras que los números libres varían.
Desarrollo didáctico
El producto de dos binomios con un término en común ocurre cuando multiplicamos dos expresiones que comparten exactamente un sumando idéntico, pero el otro sumando es diferente.
Su estructura general se representa como: $(x+a)(x+b)$
Aquí, ''$x$'' representa el término que se repite en ambos paréntesis (el término común), mientras que ''$a$'' y ''$b$'' son términos distintos (los términos no comunes).
¿De dónde sale la regla?
Si multiplicamos $(x+a)(x+b)$ usando distributividad completa, tenemos:
$x(x) + x(b) + a(x) + a(b)$
$= x^2 + bx + ax + ab$
Si agrupamos los dos términos centrales (que contienen la variable $x$) factorizando esa $x$, obtenemos:
$= x^2 + (a+b)x + ab$
Esta estructura es el origen del Trinomio de la forma $x^2 + px + q$, que es fundamental para factorizar más adelante.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Para reconocer este producto notable:
- Paso 2: Revisa el primer término de ambos binomios. ¿Son idénticos? Ese es el término común.
- Paso 3: Revisa los segundos términos. ¿Son diferentes numéricamente? Esos son los no comunes.
- Paso 4: Entiende que el desarrollo ordenará los términos según las potencias del término común.
Ejemplos
1 En el producto $(y - 4)(y + 7)$, identifica el término común y los no comunes.
- El término común es $y$.
- Los términos no comunes son $-4$ y $+7$.
2 Si el término libre (independiente) de $(x+k)(x-5)$ es $-40$, ¿cuál es el coeficiente de $x$ en el resultado? Opciones: A) $3$ · B) $8$ · C) $-13$ · D) $13$
- Producto libres: $k(-5) = -40 \Rightarrow k=8$. Suma de libres (coef. lineal): $8 + (-5) = 3$.
- Respuesta: $3$
3 Respecto de «Definición de producto de binomios con término común»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «Un par de binomios con un 'término común' tienen la forma $(x+a)(x+b)$»
- La afirmación coincide con la definición formal: Un par de binomios con un 'término común' tienen la forma $(x+a)(x+b)$.
4 Respecto de «Definición de producto de binomios con término común»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Creer que $(x+a)(x+b) = x^2 + ab$, ignorando por completo la suma cruzada $(a+b)x$»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Un par de binomios con un 'término común' tienen la forma $(x+a)(x+b)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que $(x+a)(x+b) = x^2 + ab$, ignorando por completo la suma cruzada $(a+b)x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Qué caracteriza a un producto de binomios con un término común», la respuesta correcta es Ambos binomios son iguales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tienen los mismos términos con signo distinto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tienen una variable en común pero coeficientes diferentes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"De multiplicar los términos no comunes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un par de binomios con un 'término común' tienen la forma $(x+a)(x+b)$. Aquí, la $x$ representa el término común (idéntico en ambos binomios), mientras que $a$ y $b$ son los términos no comunes (distintos).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué caracteriza a un producto de binomios con un término común?
Como su nombre indica, comparten solo un término (ej: la variable) mientras que los números libres varían.
Respuesta: A) Ambos binomios tienen un término exactamente igual, y el otro diferente.
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Al desarrollar $(x+a)(x+b)$, ¿de dónde proviene el término central $(a+b)x$?
$ax + bx = (a+b)x$.
Respuesta: A) De la suma de los productos cruzados del término común con cada término no común.
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¿Puede el término común ser algo diferente a una simple variable, como por ejemplo $3x^2$?
Ej: $(3x^2 + 2)(3x^2 + 5)$ es un producto con término común $3x^2$.
Respuesta: A) Sí, el término común puede ser cualquier expresión algebraica idéntica en ambos paréntesis.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica los términos no comunes en el producto $(w - 9)(w + 12)$.
El término común es $w$, los diferentes son los números con su signo.
Respuesta: A) $-9$ y $+12$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Calcula el coeficiente del término en $x$ al expandir $(x + 6)(x - 2)$ usando la definición.
El coeficiente lineal es la suma de los no comunes: $6 + (-2) = 4$.
Respuesta: A) $4$
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Encuentra el producto de los términos no comunes en $(x - 5)(x - 7)$.
$(-5) \cdot (-7) = 35$.
Respuesta: A) $35$
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Si $(x+a)(x+b) = x^2 - 2x - 15$, ¿cuál es el valor de $a+b$?
La suma $a+b$ es el coeficiente del término medio, que es $-2$.
Respuesta: A) $-2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si un trinomio se genera a partir de binomios con término común $(x+a)(x+b)$, y resulta que $a$ y $b$ son opuestos aditivos ($b = -a$), ¿en qué otro producto notable se transforma?
Si $b = -a$, los binomios son $(x+a)(x-a)$, que es la definición de suma por diferencia (conjugados).
Respuesta: A) Suma por su diferencia.
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Si el término libre (independiente) de $(x+k)(x-5)$ es $-40$, ¿cuál es el coeficiente de $x$ en el resultado?
Producto libres: $k(-5) = -40 \Rightarrow k=8$. Suma de libres (coef. lineal): $8 + (-5) = 3$.
Respuesta: A) $3$
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El área de un rectángulo está dada por el producto $(x+p)(x+q)$. Si el área se expresa como $x^2 + 10x + 21$, ¿cuánto vale $p^2 + q^2$ asumiendo que $p$ y $q$ son positivos?
$p+q = 10$, $pq = 21$. O buscamos los números ($7$ y $3$) y sumamos $7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$, o $(p+q)^2 - 2pq = 100 - 42 = 58$.
Respuesta: A) $58$