Definición de producto de binomios con término común
Resumen inicial
La definición de producto de binomios con término común establece que multiplicar $(x+a)(x+b)$ equivale al trinomio $x^2 + (a+b)x + ab$, donde el coeficiente lineal es la suma de los términos no comunes y la constante es su producto.
Explicación en palabras simples
El producto de binomios con término común $(x + a)(x + b)$ es una regla rápida para multiplicar dos binomios que comparten la misma variable inicial:
- FÓRMULA ALGORÍTMICA:
$$(x + a)(x + b) = \mathbf{x^2 + (a + b)x + ab}$$
- Traducción en tres términos del resultado:
1. Cuadrado del término común: $x^2$.
2. SUMA de los no comunes por el término común: $(a + b)x$.
3. PRODUCTO de los no comunes: $+a \cdot b$.
- Ejemplo: $(x + 3) \cdot (x + 5)$:
- Cuadrado del común: $x^2$.
- Suma de no comunes por el común: $(3 + 5)x = \mathbf{+8x}$.
- Producto de no comunes: $3 \cdot 5 = \mathbf{+15}$.
- Resultado expandido: $x^2 + 8x + 15$.
Explicación formal
Definición formal
Sean $x \in \mathbb{R}[t]$ un monomio mónico y $a, b \in \mathbb{R}$ dos términos escalares constantes (términos no comunes). Se define el producto de binomios con término común como la expansión distributiva reducida sobre el espacio cuadrático:
$$(x + a)(x + b) = x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b = x^2 + (a + b)x + ab$$
Relación entre Coeficientes y Raíces (Teorema de Vieta)
El trinomio mónico resultante $P(x) = x^2 + S x + P$ posee:
- Coeficiente del término lineal $S = a + b$ igual a la suma algebraica de los términos no comunes.
- Término independiente $P = a \cdot b$ igual al producto numérico de los términos no comunes.
Las raíces del polinomio $P(x) = 0$ son exactamente $x_1 = -a$ y $x_2 = -b$.
Síntesis didáctica
Este producto notable conecta directamente la multiplicación de binomios con la factorización de trinomios cuadráticos mónicos de la forma $x^2 + Sx + P$.
La alternativa correcta es 'Sumando algebraicamente los dos términos no comunes ($a + b$)'. Coeficiente lineal $S = a + b$.
Definiciones clave
- Término común ($x$): Variable o monomio idéntico presente como primer sumando en ambos binomios.
- Términos no comunes ($a, b$): Valores numéricos o expresiones algebraicas distintas presentes como segundos sumandos en cada binomio.
- Trinomio cuadrático mónico ($x^2 + Sx + P$): Polinomio de grado 2 con coeficiente principal 1 generado por el producto.
Propiedades y relaciones importantes
- Generalización de otros productos notables:
- Si $a = b$, se convierte en el cuadrado de binomio $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$.
- Si $a = -b$, se convierte en la suma por diferencia $(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$.
Ejemplo guiado
Aplica la definición de producto de binomios con término común para expandir $(m + 4) \cdot (m + 6)$.
- Paso 1: Identificamos el término común $x = m$ y los términos no comunes $a = 4$ y $b = 6$.
- Paso 2: Calculamos el cuadrado del término común: m^2 = \mathbf{m^2}$.
- Paso 3: Calculamos la suma de los términos no comunes multiplicada por el común: (4 + 6)m = 10m = \mathbf{+10m}$.
- Paso 4: Calculamos el producto de los términos no comunes: 4 \cdot 6 = \mathbf{+24}$.
- Paso 5: Consolidamos el trinomio: $m^2 + 10m + 24$.
- Conclusión: La expansión completa es **$m^2 + 10m + 24$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $x^2 + 9x + 14$, calculando $x^2$, la suma $(2+7)x = 9x$ y el producto $2 \cdot 7 = 14$'. $x^2 + (2+7)x + (2 \cdot 7) = x^2 + 9x + 14$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el término común ($x$) y los términos no comunes ($a$ y $b$).
- Paso 2: Elevar el término común al cuadrado ($x^2$).
- Paso 3: Sumar algebraicamente los términos no comunes y multiplicar el resultado por el término común ($(a+b)x$).
- Paso 4: Multiplicar los términos no comunes ($ab$) y escribir el trinomio $x^2 + (a+b)x + ab$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar los términos no comunes para el coeficiente central en lugar de sumarlos (escribir $(x+3)(x+4) = x^2 + 12x + 12$). Cómo corregirlo: El coeficiente central ES LA SUMA DE LOS NO COMUNES ($3+4=7 \implies 7x$).
- Error 2: Sumar los términos no comunes para el término constante en lugar de multiplicarlos (escribir $(x+3)(x+4) = x^2 + 7x + 7$). Cómo corregirlo: El término constante ES EL PRODUCTO DE LOS NO COMUNES ($3 \cdot 4 = 12$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $x^2$.
- Suma no comunes: $(1+8)x = 9x$.
- Producto no comunes: $1 \cdot 8 = 8$.
- Resultado: $x^2 + 9x + 8$.
- $a^2 + (5+2)a + (5 \cdot 2) = a^2 + 7a + 10$.
- Sí, produce $x^2 + 2ax + a^2$.
- Sí, porque $x \cdot x = 1x^2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Expandir el producto de binomios con término común $(x+a)(x+b)$ obteniendo el trinomio cuadrático mónico canónico.
Aplicar la regla $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ calculando el término lineal mediante la suma de los no comunes ($a+b$) y la constante mediante su producto ($ab$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué caracteriza a un producto de binomios con un término común?
Como su nombre indica, comparten solo un término (ej: la variable) mientras que los números libres varían.
Respuesta: A) Ambos binomios tienen un término exactamente igual, y el otro diferente.
-
Al desarrollar $(x+a)(x+b)$, ¿de dónde proviene el término central $(a+b)x$?
$ax + bx = (a+b)x$.
Respuesta: A) De la suma de los productos cruzados del término común con cada término no común.
-
¿Puede el término común ser algo diferente a una simple variable, como por ejemplo $3x^2$?
Ej: $(3x^2 + 2)(3x^2 + 5)$ es un producto con término común $3x^2$.
Respuesta: A) Sí, el término común puede ser cualquier expresión algebraica idéntica en ambos paréntesis.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Identifica los términos no comunes en el producto $(w - 9)(w + 12)$.
El término común es $w$, los diferentes son los números con su signo.
Respuesta: A) $-9$ y $+12$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula el coeficiente del término en $x$ al expandir $(x + 6)(x - 2)$ usando la definición.
El coeficiente lineal es la suma de los no comunes: $6 + (-2) = 4$.
Respuesta: A) $4$
-
Encuentra el producto de los términos no comunes en $(x - 5)(x - 7)$.
$(-5) \cdot (-7) = 35$.
Respuesta: A) $35$
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Si $(x+a)(x+b) = x^2 - 2x - 15$, ¿cuál es el valor de $a+b$?
La suma $a+b$ es el coeficiente del término medio, que es $-2$.
Respuesta: A) $-2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si un trinomio se genera a partir de binomios con término común $(x+a)(x+b)$, y resulta que $a$ y $b$ son opuestos aditivos ($b = -a$), ¿en qué otro producto notable se transforma?
Si $b = -a$, los binomios son $(x+a)(x-a)$, que es la definición de suma por diferencia (conjugados).
Respuesta: A) Suma por su diferencia.
-
Si el término libre (independiente) de $(x+k)(x-5)$ es $-40$, ¿cuál es el coeficiente de $x$ en el resultado?
Producto libres: $k(-5) = -40 \Rightarrow k=8$. Suma de libres (coef. lineal): $8 + (-5) = 3$.
Respuesta: A) $3$
-
El área de un rectángulo está dada por el producto $(x+p)(x+q)$. Si el área se expresa como $x^2 + 10x + 21$, ¿cuánto vale $p^2 + q^2$ asumiendo que $p$ y $q$ son positivos?
$p+q = 10$, $pq = 21$. O buscamos los números ($7$ y $3$) y sumamos $7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$, o $(p+q)^2 - 2pq = 100 - 42 = 58$.
Respuesta: A) $58$