Aplicación de la regla de binomios con término común
Aplicar la fórmula rápida para multiplicar binomios que comparten un término.
Introducción
Multiplicar $(x+5)(x+3)$ paso a paso toma $4$ cálculos. Con la regla del término común, lo harás mentalmente en $3$ pasos rápidos.
Explicación
Definición formal
Para todo $x, a, b$, el producto $(x+a)(x+b)$ se expande mediante la propiedad distributiva como $x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a+b)x + ab$: el coeficiente del término lineal en $x$ es la suma algebraica de $a$ y $b$, y el término independiente es su producto.
Desarrollo didáctico
La regla del término común es un atajo directo que convierte la multiplicación $(x+a)(x+b)$ en un trinomio ordenado en un solo paso mental.
Fórmula de la regla: $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
Regla en palabras (los tres pasos):
El desarrollo consta siempre de tres partes:
1. El cuadrado del término común: Toma el término que se repite y elévalo al cuadrado.
2. La suma por el común: Suma (algebraicamente, respetando signos) los dos términos no comunes. El resultado de esa suma se multiplica por el término común.
3. El producto: Multiplica los dos términos no comunes entre sí (respetando la regla de los signos).
Ejemplo rápido: $(x + 5)(x - 2)$
- Cuadrado del común: $x^2$.
- Suma por el común: $(+5 - 2) = +3$. Se multiplica por $x \rightarrow +3x$.
- Producto: $(+5)(-2) = -10$.
Resultado: $x^2 + 3x - 10$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Al calcular $(x+a)(x+b)$:
- Paso 2: Eleva el término común al cuadrado.
- Paso 3: Suma algebraicamente los términos no comunes (ej. si son $+5$ y $-3$, la suma es $2$).
- Paso 4: Multiplica esa suma por el término común.
- Paso 5: Multiplica los términos no comunes entre sí.
- Paso 6: Escribe el trinomio resultante.
- Suma: $4+9=13$. Producto: $4 \cdot 9=36$. Trinomio: $m^2 + 13m + 36$.
Ejemplos
1 Desarrolla $(m + 6)(m + 4)$.
- Término común: $m$. Al cuadrado: $m^2$.
- No comunes: $6$ y $4$. Suma: $6+4=10$. Multiplicado por el común: $10m$.
- Producto de no comunes: $6 \\\\\\cdot 4 = 24$.
- Resultado: $m^2 + 10m + 24$.
2 Desarrolla $(y - 7)(y - 2)$.
- Término común: $y$. Al cuadrado: $y^2$.
- Suma: $-7 + -2 = -9$. Por el común: $-9y$.
- Producto: $(-7) \\\\\\cdot (-2) = +14$.
- Resultado: $y^2 - 9y + 14$.
3 Respecto de «Aplicación de la regla de binomios con término común»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «La regla para $(x+a)(x+b)$ es: **'El cuadrado del término común, MÁS la suma algebraica de los no comunes por el término común, MÁS el producto de los no comunes.'** Fórmula: $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + (ab)$»
- La afirmación coincide con la definición formal: La regla para $(x+a)(x+b)$ es: **'El cuadrado del término común, MÁS la suma algebraica de los no comunes por el término común, MÁS el producto de los no comunes.'** Fórmula: $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + (ab)$
4 Respecto de «Aplicación de la regla de binomios con término común»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Multiplicar los no comunes para el término central en lugar de sumarlos (ej. poner $24m$ en lugar de $10m$ en el primer ejemplo)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La regla para $(x+a)(x+b)$ es: **'El cuadrado del término común, MÁS la suma algebraica de los no comunes por el término común, MÁS el producto de los no comunes.'** Fórmula: $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + (ab)$
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar los no comunes para el término central en lugar de sumarlos (ej. poner $24m$ en lugar de $10m$ en el primer ejemplo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$m^2 + 36m + 13$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$m^2 + 13m + 13$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$m^2 + 36$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Calcula el término central de la expansión de $(2x^2 + 3)(2x^2 + 8)$.», la respuesta correcta es $11x^2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La regla para $(x+a)(x+b)$ es: **'El cuadrado del término común, MÁS la suma algebraica de los no comunes por el término común, MÁS el producto de los no comunes.'** Fórmula: $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + (ab)$
Practica
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Desarrolla $(m + 4)(m + 9)$ usando la regla.
Suma: $4+9=13$. Producto: $4 \cdot 9=36$. Trinomio: $m^2 + 13m + 36$.
Respuesta: A) $m^2 + 13m + 36$
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Calcula el término central de la expansión de $(2x^2 + 3)(2x^2 + 8)$.
La suma de los no comunes es $3+8 = 11$. Se multiplica por el común $2x^2$: $11 \cdot 2x^2 = 22x^2$.
Respuesta: A) $22x^2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Se sabe que el producto de $(x+A)(x+B)$ es $x^2 + 10x + 21$. ¿Cuáles son los valores positivos de $A$ y $B$ (sin importar el orden)?
Buscamos dos números que sumen $10$ y multipliquen $21$. $3+7=10$, $3 \cdot 7 = 21$.
Respuesta: A) $3$ y $7$