Aplicación de la regla de binomios con término común
Resumen inicial
La aplicación de la regla de binomios con término común consiste en ejecutar el algoritmo $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ operando algebraicamente la suma y el producto de los términos no comunes con sus signos.
Explicación en palabras simples
Para desarrollar rápidamente cualquier producto de binomios con término común $(x + a)(x + b)$:
- FÓRMULA ALGORÍTMICA: $(x + a)(x + b) = \mathbf{x^2 + (a + b)x + ab}$.
- Procedimiento de 3 pasos sencillos:
1. Eleva el común al cuadrado: $x \to \mathbf{x^2}$.
2. Suma los no comunes y multiplica por el común: $(a + b) \cdot x \to \mathbf{(a+b)x}$.
3. Multiplica los no comunes: $a \cdot b \to \mathbf{ab}$.
- Ejemplo con números positivos y negativos: $(x + 7) \cdot (x - 3)$:
- Paso 1 (Cuadrado del común): $x^2$.
- Paso 2 (Suma no comunes por común): $(+7 - 3)x = +4x \implies \mathbf{+4x}$.
- Paso 3 (Producto no comunes): $(+7) \cdot (-3) = -21 \implies \mathbf{-21}$.
- Resultado final unificado: $x^2 + 4x - 21$.
Explicación formal
Definición formal
Sea la multiplicación de binomios $(x + a)(x + b) \in \mathbb{R}[x]$. La regla general de binomios con término común define la transformación polinómica $\Theta: \mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x]$ dada por:
$$\Theta(x + a, x + b) = x^2 + S x + P$$
donde $S \in \mathbb{R}$ representa el operador adición de no comunes y $P \in \mathbb{R}$ representa el operador multiplicación de no comunes:
$$S = a + b \quad \text{y} \quad P = a \cdot b$$
Coexistencia de Signos en la Adición y Multiplicación
El algoritmo evalúa independientemente los signos en dos dominios aritméticos:
1. Dominio Aditivo ($S$): Suma algebraica conservando el signo del número de mayor valor absoluto si los signos son contrarios.
2. Dominio Multiplicativo ($P$): Producto aritmético aplicando la ley de signos ($(+) \cdot (-) = -$, etc.).
Síntesis didáctica
Dividir la resolución en la suma $S$ y el producto $P$ de los no comunes garantiza la correcta determinación de los signos del trinomio.
La alternativa correcta es 'Tendrá signo estrictamente negativo (-), porque la multiplicación de un número positivo por uno negativo resulta en un producto negativo'. Ley de signos en multiplicación $(+) \cdot (-) = -$.
Definiciones clave
- Operador suma de no comunes ($S = a+b$): Suma algebraica de los coeficientes libres que determina el signo y magnitud del término central.
- Operador producto de no comunes ($P = a \cdot b$): Multiplicación de las constantes libres que determina el signo y magnitud del término independiente.
- Trinomio expandido ($x^2 + Sx + P$): Estructura canónica resultante de aplicar la regla general.
Propiedades y relaciones importantes
- Signo del término independiente ($P$):
- Si los no comunes tienen el mismo signo, $P$ es estrictamente positivo (+).
- Si los no comunes tienen signos contrarios, $P$ es estrictamente negativo (-).
Ejemplo guiado
Desarrolla el producto de binomios con término común $(x - 8) \cdot (x + 3)$ aplicando la regla $x^2 + Sx + P$.
- Paso 1: Identificamos el término común $x$ y los no comunes $a = -8$ y $b = +3$.
- Paso 2: Calculamos el término cuadrático: $x^2 = \mathbf{x^2}$.
- Paso 3: Calculamos la suma algebraica de los no comunes ($S$): $S = (-8) + (+3) = -5 \implies \text{Término central: } \mathbf{-5x}$.
- Paso 4: Calculamos el producto de los no comunes ($P$): $P = (-8) \cdot (+3) = \mathbf{-24}$.
- Paso 5: Consolidamos el trinomio $x^2 + Sx + P$: $x^2 - 5x - 24$.
- Conclusión: El desarrollo expandido es **$x^2 - 5x - 24$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $a^2 - 10a + 24$, calculando la suma $S = -6 - 4 = -10$ y el producto $P = (-6)(-4) = +24$'. $S = -10, P = +24 \implies a^2 - 10a + 24$.
Procedimiento
- Paso 1: Elevar el término común al cuadrado.
- Paso 2: Sumar los términos no comunes respetando sus signos y multiplicar por el término común.
- Paso 3: Multiplicar los términos no comunes aplicando la regla de signos.
- Paso 4: Unir los tres resultados en el trinomio final $x^2 + Sx + P$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Intercambiar la regla de signos de la suma con la de la multiplicación (escribir $(-6)+(-4) = +10$). Cómo corregirlo: Al sumar números del mismo signo SE SUMAN SUS MAGNITUDES Y SE CONSERVA EL SIGNO ($-6 - 4 = -10$).
- Error 2: Colocar signo negativo al término independiente al multiplicar dos números negativos (escribir $(-6)(-4) = -24$). Cómo corregirlo: La multiplicación de dos negativos DA POSITIVO ($(-6)(-4) = +24$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Suma: $-5 - 2 = -7 \implies -7x$.
- Producto: $(-5)(-2) = +10$.
- Resultado: $x^2 - 7x + 10$.
- Suma: $+9 - 4 = +5 \implies +5y$.
- Producto: $(+9)(-4) = -36$.
- Resultado: $y^2 + 5y - 36$.
- Sí, $(-)(-)=+$.
- Sí, el término central $0x$ desaparece.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Aplicar la regla general de binomios con término común calculando independientemente la suma y el producto de los no comunes con sus signos.
Obtener el trinomio $x^2 + Sx + P$ evaluando $S = a+b$ y $P = a \cdot b$ respetando las leyes aritméticas de signos para adición y multiplicación.
Practica
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Desarrolla $(m + 4)(m + 9)$ usando la regla.
Suma: $4+9=13$. Producto: $4 \cdot 9=36$. Trinomio: $m^2 + 13m + 36$.
Respuesta: A) $m^2 + 13m + 36$
-
Calcula el término central de la expansión de $(2x^2 + 3)(2x^2 + 8)$.
La suma de los no comunes es $3+8 = 11$. Se multiplica por el común $2x^2$: $11 \cdot 2x^2 = 22x^2$.
Respuesta: A) $22x^2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Se sabe que el producto de $(x+A)(x+B)$ es $x^2 + 10x + 21$. ¿Cuáles son los valores positivos de $A$ y $B$ (sin importar el orden)?
Buscamos dos números que sumen $10$ y multipliquen $21$. $3+7=10$, $3 \cdot 7 = 21$.
Respuesta: A) $3$ y $7$