Definición de cubo de binomio suma
Comprender algebraicamente qué significa elevar un binomio al cubo y visualizar su expansión.
Introducción
Si elevar al cuadrado era multiplicar la base dos veces, el cubo significa multiplicarla tres veces. $(a+b)^3$ no es simplemente $a^3 + b^3$. Veamos por qué.
Explicación
Definición formal
El exponente $3$ repite el factor tres veces mediante multiplicación.
Desarrollo didáctico
El cubo de un binomio suma se representa como $(a+b)^3$. El exponente 3 indica que la base $(a+b)$ se multiplica por sí misma tres veces: $(a+b)(a+b)(a+b)$.
¿Cómo llegamos a la fórmula final?
Para desarrollarlo, primero calculamos el cuadrado del binomio (los dos primeros factores):
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Luego, multiplicamos ese trinomio por el binomio restante $(a+b)$:
$(a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$
Al agrupar los términos semejantes (sumando los coeficientes de $a^2b$ por un lado, y los de $ab^2$ por otro), obtenemos el resultado clásico del cubo de un binomio.
Fórmula del cubo de suma:
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
El polinomio resultante siempre tiene cuatro términos. Como los términos originales estaban sumando, el resultado solo tiene signos positivos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Para interiorizar la definición:
- Paso 2: Recuerda que el exponente 3 manda a repetir el factor tres veces.
- Paso 3: La expansión completa generará potencias descendentes para $a$ ($a^3, a^2, a^1, a^0$) y ascendentes para $b$ ($b^0, b^1, b^2, b^3$).
- Paso 4: Los coeficientes intermedios, por distribución y agrupación, siempre suman 3.
Ejemplos
1 Expresa $(2x+y)^3$ como el producto de un binomio al cuadrado por el binomio.
- $(2x+y)^3 = (2x+y)^2 \cdot (2x+y)$
- Esta forma es útil para evitar distribuir tres veces seguidas a ciegas.
2 Si evaluamos mentalmente $(10+2)^3$, ¿cuál es el valor que aporta el término correspondiente a $3a^2b$ en la definición expandida (donde $a=10$, $b=2$)? Opciones: A) $600$ · B) $120$ · C) $300$ · D) $60$
- $3(10^2)(2) = 3(100)(2) = 600$.
- Respuesta: $600$
3 Respecto de «Definición de cubo de binomio suma»: ¿La siguiente formulación es correcta? «El cubo de un binomio suma se define como: $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$»
- La afirmación coincide con la definición formal: El cubo de un binomio suma se define como: $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$.
4 Respecto de «Definición de cubo de binomio suma»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Afirmar que $(a+b)^3 = a^3 + b^3$, ignorando por completo los términos centrales cruzados»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: El cubo de un binomio suma se define como: $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Afirmar que $(a+b)^3 = a^3 + b^3$, ignorando por completo los términos centrales cruzados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$m^3 + n^3$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$3(m+n)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$(m+n)(m^2+n^2)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$4$ términos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El cubo de un binomio suma se define como: $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$. También se puede pensar como $(a+b)^2 (a+b)$. Al desarrollarlo por completo, el resultado siempre arroja cuatro términos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al expandir $(a+b)^3$, ¿cuántos términos aparecen antes de reducir los términos semejantes?
Si multiplicas sin reducir, el primer par da 4 términos, y al multiplicar por el tercero (2) da $4 \times 2 = 8$ términos (e.g. $a^3, a^2b, aba, \dots$).
Respuesta: A) $8$ términos.
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En la expansión final de $(a+b)^3$, que es $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, ¿de dónde sale el número $3$ en los términos centrales?
Por ejemplo, aparece $a^2b$ y también $2a^2b$ desde el producto del cuadrado de binomio. Sumados dan $3a^2b$.
Respuesta: A) De sumar tres términos semejantes que aparecen al distribuir.
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¿A qué equivale algebraicamente $(m+n)^3$ según su definición básica?
El exponente $3$ repite el factor tres veces mediante multiplicación.
Respuesta: A) $(m+n)(m+n)(m+n)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Otra forma válida de escribir la definición de $(x+1)^3$ es:
Por propiedades de potencias, separar exponente 3 en $2$ y $1$.
Respuesta: A) $(x+1)^2(x+1)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, usa esta información para calcular el producto parcial de $a \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$ (solo el primer paso de expandir al cubo).
Distribuir $a$: $a(a^2) = a^3$, $a(2ab) = 2a^2b$, $a(b^2) = ab^2$.
Respuesta: A) $a^3 + 2a^2b + ab^2$
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¿Cuál es la suma de los coeficientes de los cuatro términos en la expansión final de $(a+b)^3$?
Los coeficientes son $1, 3, 3, 1$. $1+3+3+1 = 8$.
Respuesta: A) $8$
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Suma el resultado anterior con el producto parcial de $b \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$ para hallar la expansión total.
$b(a^2) = a^2b$, sumado a $2a^2b$ da $3a^2b$. $b(2ab)=2ab^2$, sumado a $ab^2$ da $3ab^2$. Y $b(b^2)=b^3$.
Respuesta: A) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si evaluamos mentalmente $(10+2)^3$, ¿cuál es el valor que aporta el término correspondiente a $3a^2b$ en la definición expandida (donde $a=10$, $b=2$)?
$3(10^2)(2) = 3(100)(2) = 600$.
Respuesta: A) $600$
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Si $(x+y)^3 = A$, y un estudiante por error calcula $(x^3 + y^3) = B$. ¿A qué equivale la diferencia $A - B$?
$A - B = (x^3+3x^2y+3xy^2+y^3) - (x^3+y^3) = 3x^2y + 3xy^2 = 3xy(x+y)$.
Respuesta: A) $3xy(x+y)$
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Un cubo geométrico tiene arista $(a+b)$. Su volumen se divide en 8 bloques rectangulares. ¿Cuántos bloques tienen dimensiones $a \times a \times b$ (volumen $a^2b$)?
El término en la expansión es $3a^2b$, lo que significa geométricamente 3 bloques con ese volumen.
Respuesta: A) $3$