Definición de cubo de binomio suma
Resumen inicial
La definición de cubo de binomio suma establece que elevar la suma de dos términos al cubo $(a+b)^3$ genera un tetranomio de cuatro términos: $a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$, incorporando triples productos mixtos.
Explicación en palabras simples
El cubo de binomio suma $(a + b)^3$ significa multiplicar la expresión suma por sí misma tres veces: $(a+b)(a+b)(a+b)$.
- FÓRMULA ALGORÍTMICA (Tetranomio resultante):
$$(a + b)^3 = \mathbf{a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3}$$
- Desglose de los 4 términos:
1. Cubo del primer término: $a^3$.
2. Triple del cuadrado del primero por el segundo: $3 \cdot a^2 \cdot b$.
3. Triple del primero por el cuadrado del segundo: $3 \cdot a \cdot b^2$.
4. Cubo del segundo término: $b^3$.
- Ejemplo: $(x + 2)^3$:
- $x^3$.
- $3 \cdot x^2 \cdot 2 = \mathbf{6x^2}$.
- $3 \cdot x \cdot 2^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = \mathbf{12x}$.
- $2^3 = \mathbf{8}$.
- Resultado: $x^2 + 6x^2 + 12x + 8$ (¡un tetranomio de 4 términos!).
Explicación formal
Definición formal
Sea la adición de dos monomios $(a + b) \in \mathbb{R}[x,y]$. La potencia cúbica de la suma es la tercera potencia cartesiana desarrollada por el Teorema del Binomio de Newton para $n=3$:
$$(a + b)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} a^{3-k} b^k = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3$$
Donde los coeficientes binomiales corresponden a la tercera fila del Triángulo de Pascal: $\binom{3}{0}=1, \binom{3}{1}=3, \binom{3}{2}=3, \binom{3}{3}=1$.
$$\mathbf{(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3}$$
Homogeneidad y Simetría Polinómica
El polinomio resultante es homogéneo de grado 3 en la suma de exponentes de cada término: $3$, $2+1=3$, $1+2=3$ y $3$.
Síntesis didáctica
Elevar un binomio al cubo genera obligatoriamente cuatro términos ordenados según el grado decreciente del primer elemento y creciente del segundo.
La alternativa correcta es 'Tiene 4 términos con coeficientes $1, 3, 3, 1$ ($a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$)'. Coeficientes binomiales de la tercera fila del Triángulo de Pascal.
Definiciones clave
- Cubo de binomio suma ($(a+b)^3$): Tercera potencia de la adición de dos términos algebraicos.
- Tetranomio cúbico perfecto: Polinomio de cuatro términos $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ resultado de la expansión cúbica.
- Triples productos mixtos ($3a^2b$ y $3ab^2$): Términos intermedios ponderados por el coeficiente combinatorio 3.
Propiedades y relaciones importantes
- Estructura graduada: Los exponentes del primer término $a$ bajan de 3 a 0 ($a^3, a^2, a^1, a^0$), mientras los de $b$ suben de 0 a 3 ($b^0, b^1, b^2, b^3$).
- Todos los signos positivos: En el cubo de una suma, los cuatro términos conservan el signo positivo ($+, +, +, +$).
Ejemplo guiado
Aplica la regla del cubo de binomio suma para expandir $(y + 3)^3$.
- Paso 1: Identificamos el primer término $a = y$ y el segundo término $b = 3$.
- Paso 2: Calculamos el cubo del primero: $y^3 = \mathbf{y^3}$.
- Paso 3: Calculamos el triple del cuadrado del primero por el segundo: 3 \cdot (y)^2 \cdot (3) = \mathbf{9y^2}$.
- Paso 4: Calculamos el triple del primero por el cuadrado del segundo: 3 \cdot (y) \cdot (3)^2 = 3 \cdot y \cdot 9 = \mathbf{27y}$.
- Paso 5: Calculamos el cubo del segundo: $3^3 = \mathbf{27}$.
- Paso 6: Unimos los 4 términos: $y^3 + 9y^2 + 27y + 27$.
- Conclusión: La expansión completa es **$y^3 + 9y^2 + 27y + 27$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $m^3 + 3m^2 + 3m + 1$, calculando $m^3 + 3(m^2)(1) + 3(m)(1^2) + 1^3$'. $m^3 + 3m^2 + 3m + 1$.
Procedimiento
- Paso 1: Elevar el primer término al cubo ($a^3$).
- Paso 2: Multiplicar 3 por el cuadrado del primero y por el segundo ($3a^2b$).
- Paso 3: Multiplicar 3 por el primero y por el cuadrado del segundo ($3ab^2$).
- Paso 4: Elevar el segundo término al cubo ($b^3$) y sumar los 4 términos.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Distribuir el exponente cúbico sobre los sumandos (escribir $(a+b)^3 = a^3 + b^3$). Cómo corregirlo: El cubo de binomio GENERA OBLIGATORIAMENTE UN TETRANOMIO CON LOS TRIPLES PRODUCTOS ($a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$).
- Error 2: Usar coeficiente 2 en lugar de 3 en los términos centrales (escribir $(a+b)^3 = a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3$). Cómo corregirlo: En la potencia cúbica EL COEFICIENTE DE LOS PRODUCTOS MIXTOS ES 3 ($3a^2b$ y $3ab^2$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $x^3$.
- $3 \cdot x^2 \cdot 4 = 12x^2$.
- $3 \cdot x \cdot 4^2 = 48x$.
- $4^3 = 64$.
- Resultado: $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$.
- $a^3 + 3(a^2)(2) + 3(a)(4) + 8 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$.
- Sí, forma un tetranomio.
- Sí, es un polinomio homogéneo de grado 3.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Expandir el cubo de binomio suma $(a+b)^3$ obteniendo el tetranomio ordenado de cuatro términos con coeficientes 1, 3, 3, 1.
Aplicar la identidad $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$ calculando el cubo del primero, los triples productos mixtos y el cubo del segundo término.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al expandir $(a+b)^3$, ¿cuántos términos aparecen antes de reducir los términos semejantes?
Si multiplicas sin reducir, el primer par da 4 términos, y al multiplicar por el tercero (2) da $4 \times 2 = 8$ términos (e.g. $a^3, a^2b, aba, \dots$).
Respuesta: A) $8$ términos.
-
En la expansión final de $(a+b)^3$, que es $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, ¿de dónde sale el número $3$ en los términos centrales?
Por ejemplo, aparece $a^2b$ y también $2a^2b$ desde el producto del cuadrado de binomio. Sumados dan $3a^2b$.
Respuesta: A) De sumar tres términos semejantes que aparecen al distribuir.
-
¿A qué equivale algebraicamente $(m+n)^3$ según su definición básica?
El exponente $3$ repite el factor tres veces mediante multiplicación.
Respuesta: A) $(m+n)(m+n)(m+n)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Otra forma válida de escribir la definición de $(x+1)^3$ es:
Por propiedades de potencias, separar exponente 3 en $2$ y $1$.
Respuesta: A) $(x+1)^2(x+1)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, usa esta información para calcular el producto parcial de $a \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$ (solo el primer paso de expandir al cubo).
Distribuir $a$: $a(a^2) = a^3$, $a(2ab) = 2a^2b$, $a(b^2) = ab^2$.
Respuesta: A) $a^3 + 2a^2b + ab^2$
-
¿Cuál es la suma de los coeficientes de los cuatro términos en la expansión final de $(a+b)^3$?
Los coeficientes son $1, 3, 3, 1$. $1+3+3+1 = 8$.
Respuesta: A) $8$
-
Suma el resultado anterior con el producto parcial de $b \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$ para hallar la expansión total.
$b(a^2) = a^2b$, sumado a $2a^2b$ da $3a^2b$. $b(2ab)=2ab^2$, sumado a $ab^2$ da $3ab^2$. Y $b(b^2)=b^3$.
Respuesta: A) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si evaluamos mentalmente $(10+2)^3$, ¿cuál es el valor que aporta el término correspondiente a $3a^2b$ en la definición expandida (donde $a=10$, $b=2$)?
$3(10^2)(2) = 3(100)(2) = 600$.
Respuesta: A) $600$
-
Si $(x+y)^3 = A$, y un estudiante por error calcula $(x^3 + y^3) = B$. ¿A qué equivale la diferencia $A - B$?
$A - B = (x^3+3x^2y+3xy^2+y^3) - (x^3+y^3) = 3x^2y + 3xy^2 = 3xy(x+y)$.
Respuesta: A) $3xy(x+y)$
-
Un cubo geométrico tiene arista $(a+b)$. Su volumen se divide en 8 bloques rectangulares. ¿Cuántos bloques tienen dimensiones $a \times a \times b$ (volumen $a^2b$)?
El término en la expansión es $3a^2b$, lo que significa geométricamente 3 bloques con ese volumen.
Respuesta: A) $3$