Definición de cubo de binomio diferencia
Resumen inicial
La definición de cubo de binomio diferencia establece que elevar la resta de dos términos al cubo $(a-b)^3$ genera un tetranomio con signos alternados: $a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3$.
Explicación en palabras simples
El cubo de binomio diferencia $(a - b)^3$ es el desarrollo de multiplicar tres veces el binomio resta $(a-b)(a-b)(a-b)$.
- FÓRMULA ALGORÍTMICA (Patrón de Signos Alternados):
$$(a - b)^3 = \mathbf{a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3}$$
- REGLA CLAVE DE LOS SIGNOS (+, -, +, -):
1. Primer término ($a^3$): POSITIVO (+).
2. Segundo término ($-3a^2 b$): NEGATIVO (-).
3. Tercer término ($+3ab^2$): POSITIVO (+) (¡porque $(-b)^2$ da positivo!).
4. Cuarto término ($-b^3$): NEGATIVO (-) (¡porque $(-b)^3$ da negativo!).
- Ejemplo: $(x - 2)^3$:
- $+x^3$.
- $-3 \cdot x^2 \cdot 2 = \mathbf{-6x^2}$.
- $+3 \cdot x \cdot 2^2 = +3 \cdot x \cdot 4 = \mathbf{+12x}$.
- $-2^3 = \mathbf{-8}$.
- Resultado expandido: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.
Explicación formal
Definición formal
Sea la diferencia de dos monomios $(a - b) \in \mathbb{R}[x,y]$. La expansión del cubo de una resta es la sustitución del término opuesto $-b$ en la fórmula del Teorema del Binomio de Newton:
$$(a - b)^3 = (a + (-b))^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} a^{3-k} (-b)^k$$
Desarrollando las potencias de $(-b)^k$:
- Para $k=0$: $(-b)^0 = +1 \implies +a^3$.
- Para $k=1$: $(-b)^1 = -b \implies -3a^2 b$.
- Para $k=2$: $(-b)^2 = +b^2 \implies +3ab^2$.
- Para $k=3$: $(-b)^3 = -b^3 \implies -b^3$.
$$\mathbf{(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3}$$
Alternancia Paridad-Signo
La alternancia de signos $(+, -, +, -)$ responde estrictamente a la paridad de los exponentes a los que es elevada la componente negativa $(-b)^k$.
Síntesis didáctica
El cubo de la diferencia comparte la misma magnitud de coeficientes $1, 3, 3, 1$ del cubo de la suma, distinguiéndose exclusivamente por la alternancia estricta de sus signos.
La alternativa correcta es 'Porque la componente $(-b)$ se eleva al exponente par 2, resultando en un valor positivo ($(-b)^2 = +b^2$)'. Potencia par de base negativa es positiva.
Definiciones clave
- Cubo de binomio diferencia ($(a-b)^3$): Tercera potencia de la resta de dos expresiones algebraicas.
- Patrón de signos alternados (+, -, +, -): Secuencia obligatoria de signos determinada por las potencias pares e impares del término substraído.
- Paridad del exponente en $(-b)^k$: Regla aritmética que dicta signo positivo para exponentes pares y signo negativo para exponentes impares.
Propiedades y relaciones importantes
- Relación de simetría impar: $(b - a)^3 = -(a - b)^3$. Cambiar el orden de la resta en el cubo invierte el signo de los 4 términos del tetranomio.
- Puntos de inflexión de signos: El segundo y el cuarto término son siempre negativos; el primer y tercer término son siempre positivos.
Ejemplo guiado
Aplica la regla del cubo de binomio diferencia para expandir $(m - 4)^3$.
- Paso 1: Identificamos el término común $a = m$ y el segundo término $b = 4$.
- Paso 2: Calculamos $+a^3$: $m^3 = \mathbf{+m^3}$.
- Paso 3: Calculamos $-3a^2 b$: $-3 \cdot (m)^2 \cdot (4) = \mathbf{-12m^2}$.
- Paso 4: Calculamos $+3ab^2$: $+3 \cdot (m) \cdot (4)^2 = +3 \cdot m \cdot 16 = \mathbf{+48m}$.
- Paso 5: Calculamos $-b^3$: $-(4)^3 = \mathbf{-64}$.
- Paso 6: Unimos respetando los signos alternados: $m^3 - 12m^2 + 48m - 64$.
- Conclusión: El desarrollo es **$m^3 - 12m^2 + 48m - 64$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $x^3 - 15x^2 + 75x - 125$, aplicando el patrón de signos $(+, -, +, -)$'. $x^3 - 3(x^2)(5) + 3(x)(25) - 125 = x^3 - 15x^2 + 75x - 125$.
Procedimiento
- Paso 1: Elevar el primer término al cubo con signo positivo ($+a^3$).
- Paso 2: Calcular el triple del cuadrado del primero por el segundo asignando signo negativo ($-3a^2b$).
- Paso 3: Calcular el triple del primero por el cuadrado del segundo asignando signo positivo ($+3ab^2$).
- Paso 4: Elevar el segundo término al cubo asignando signo negativo ($-b^3$).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Asignar signo negativo a todos los términos de la resta (escribir $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$). Cómo corregirlo: El tercer término ES SIEMPRE POSITIVO DEBIDO AL EXPONENTED PAR ($+3ab^2$).
- Error 2: Alterar el signo del primer término (escribir $(a-b)^3 = -a^3 + \dots$). Cómo corregirlo: El primer término ES POSITIVO ($+a^3$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $+y^3$.
- $-3 \cdot y^2 \cdot 1 = -3y^2$.
- $+3 \cdot y \cdot 1^2 = +3y$.
- $-1^3 = -1$.
- Resultado: $y^3 - 3y^2 + 3y - 1$.
- Sí, alterna positivo, negativo, positivo, negativo.
- Sí, invertir la resta invierte los 4 signos.
- Sí, $3 \cdot x \cdot (-2)^2 = +12x$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Expandir el cubo de binomio diferencia $(a-b)^3$ aplicando la alternancia estricta de signos $(+, -, +, -)$.
Aplicar la regla $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3$ asignando signo positivo al primer y tercer término, y signo negativo al segundo y cuarto término.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué indica el exponente $3$ en la expresión $(x-y)^3$?
Definición básica de potencia.
Respuesta: A) Que el binomio $(x-y)$ se multiplica por sí mismo tres veces.