Aplicación de la regla del cubo de binomio suma

La aplicación de la regla del cubo de binomio suma consiste en expandir expresiones complejas $(ax^n + by^m)^3$ elevando coeficientes al cubo y multiplicando exponentes por 3 en el primer y último término y operando los triples productos intermedios.

Para expandir binomios suma con coeficientes y exponentes más grandes como $(2x^2 + 5)^3$:
- FÓRMULA PASO A PASO: $(a + b)^3 = \mathbf{a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3}$.
- Pasos detallados con $(2x^2 + 5)^3$:
1. Cubo del primer término: $(2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = \mathbf{8x^6}$.
2. Triple del cuadrado del primero por el segundo:
$3 \cdot (2x^2)^2 \cdot 5 = 3 \cdot (4x^4) \cdot 5 = \mathbf{60x^4}$.
3. Triple del primero por el cuadrado del segundo:
$3 \cdot (2x^2) \cdot 5^2 = 3 \cdot (2x^2) \cdot 25 = \mathbf{150x^2}$.
4. Cubo del segundo término: $5^3 = \mathbf{125}$.
- Resultado unificado: $8x^6 + 60x^4 + 150x^2 + 125$.

Definición formal

Sea la suma de monomios multivariables $B = (c_1 x^{\alpha} + c_2 y^{\beta})$ en $\mathbb{R}[x,y]$. El operador de expansión cúbica directa $\Phi: \mathbb{R}[x,y] \to \mathbb{R}[x,y]$ está dado por:

$$\Phi(B^3) = \left(c_1 x^{\alpha}\right)^3 + 3 \left(c_1 x^{\alpha}\right)^2 \left(c_2 y^{\beta}\right) + 3 \left(c_1 x^{\alpha}\right) \left(c_2 y^{\beta}\right)^2 + \left(c_2 y^{\beta}\right)^3$$

Operando la ley de potencias de un producto $(c \cdot x^\alpha)^k = c^k \cdot x^{k\alpha}$:

$$\mathbf{\Phi(B^3) = c_1^3 x^{3\alpha} + 3 c_1^2 c_2 x^{2\alpha} y^{\beta} + 3 c_1 c_2^2 x^{\alpha} y^{2\beta} + c_2^3 y^{3\beta}}$$

Triplicación de Exponentes Monómicos

En los términos extremos, el exponente de cada variable se multiplica por 3 ($3\alpha$ y $3\beta$), mientras que en los términos intermedios se aplican los multiplicadores $2\alpha$ y $2\beta$ respectivamente.

Síntesis didáctica

Aplicar jerárquicamente la potencia antes del producto escalar evita errores al calcular $3a^2b$ y $3ab^2$ sobre monomios con coeficientes.

• Triplicación de exponentes ($3\alpha, 3\beta$): Regla de ley de potencias por la cual las potencias de las variables en los términos extremos son multiplicadas por 3.
• Evaluación jerárquica de potencias: Orden obligatorio que exige elevar al cuadrado o al cubo el monomio antes de multiplicarlo por el coeficiente 3.
• Tetranomio multivariable homogéneo: Polinomio ordenado de 4 términos generado por la expansión de monomios compuestos.

• Crecimiento de coeficientes constantes: Los coeficientes crecen rápidamente debido al factor 3 multiplicado por las potencias cuadráticas y cúbicas de $c_1$ y $c_2$.

Desarrolla mediante la regla del cubo de binomio suma la expresión $(3x^3 + 2y)^3$.