Aplicación de la regla del cubo de binomio suma
Aplicar la fórmula rápida del cubo de binomio suma.
Introducción
Multiplicar tres veces a mano es agotador. Usemos la regla.
Explicación
Definición formal
Para todo $a, b$: $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Los coeficientes $1, 3, 3, 1$ corresponden exactamente a la fila $n=3$ del Triángulo de Pascal.
Desarrollo didáctico
Desarrollar el cubo de un binomio sumado multiplicando término a término es largo y propenso a errores. Por ello, memorizar la regla de $(a+b)^3$ es fundamental.
Fórmula de la regla: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
La regla en palabras (El poema algebraico):
El cubo de la suma de dos términos es igual a:
1. El cubo del primer término ($a^3$).
2. Más el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo ($3a^2b$).
3. Más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo ($3ab^2$).
4. Más el cubo del segundo término ($b^3$).
Mnemotecnia visual (Los exponentes bailan):
Fíjate en los grados de cada término individual. Si seguimos los cuatro términos de izquierda a derecha:
- El exponente de $a$ va bajando: 3, 2, 1, 0.
- El exponente de $b$ va subiendo: 0, 1, 2, 3.
- Los coeficientes en el centro siempre son 3. Todo suma grado absoluto 3.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Para calcular $(A+B)^3$:
- Paso 2: Cubo del primero: $A^3$.
- Paso 3: $3 \\\\\\cdot (A^2) \\\\\\cdot B$.
- Paso 4: $3 \\\\\\cdot A \\\\\\cdot (B^2)$.
- Paso 5: Cubo del segundo: $B^3$.
- Aplicando $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ con $a=m, b=2$.
Ejemplos
1 Calcula $(x + 2)^3$.
- $(x)^3 = x^3$.
- $3(x)^2(2) = 6x^2$.
- $3(x)(2)^2 = 3(x)(4) = 12x$.
- $(2)^3 = 8$.
- Resultado: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
2 Desarrolla $(m+2)^3$. Opciones: A) $m^3 + 6m^2 + 12m + 8$ · B) $m^3 + 8$ · C) $m^3 + 2m^2 + 4m + 8$ · D) $m^3 + 3m^2 + 6m + 8$
- Aplicando $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ con $a=m, b=2$.
- Respuesta: $m^3 + 6m^2 + 12m + 8$
3 Respecto de «Aplicación de la regla del cubo de binomio suma»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «La regla para $(a+b)^3$ es: **'El cubo del primero, MÁS el triple del cuadrado del primero por el segundo, MÁS el triple del primero por el cuadrado del segundo, MÁS el cubo del segundo.'** Fórmula: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$»
- La afirmación coincide con la definición formal: La regla para $(a+b)^3$ es: **'El cubo del primero, MÁS el triple del cuadrado del primero por el segundo, MÁS el triple del primero por el cuadrado del segundo, MÁS el cubo del segundo.'** Fórmula: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
4 Respecto de «Aplicación de la regla del cubo de binomio suma»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Olvidar los coeficientes $3$, escribiendo erróneamente $a^3 + a^2b + ab^2 + b^3$»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La regla para $(a+b)^3$ es: **'El cubo del primero, MÁS el triple del cuadrado del primero por el segundo, MÁS el triple del primero por el cuadrado del segundo, MÁS el cubo del segundo.'** Fórmula: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar los coeficientes $3$, escribiendo erróneamente $a^3 + a^2b + ab^2 + b^3$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$m^3 + 8$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$m^3 + 2m^2 + 4m + 8$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$m^3 + 3m^2 + 6m + 8$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La afirmación «$m^3 + 6m^2 + 12m + 8$» no es válida en este contenido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La regla para $(a+b)^3$ es: **'El cubo del primero, MÁS el triple del cuadrado del primero por el segundo, MÁS el triple del primero por el cuadrado del segundo, MÁS el cubo del segundo.'** Fórmula: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Practica
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Desarrolla $(m+2)^3$.
Aplicando $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ con $a=m, b=2$.
Respuesta: A) $m^3 + 6m^2 + 12m + 8$