Aplicación de la regla del cubo de binomio diferencia
Aplicar la fórmula rápida del cubo de binomio diferencia.
Introducción
Para la diferencia, la regla es la misma, solo que los signos saltan.
Explicación
Definición formal
Para todo $a, b$: $(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Equivalentemente, se obtiene sustituyendo $b \to -b$ en la fórmula de $(a+b)^3$, lo que invierte el signo de los términos con exponente impar en $b$.
Desarrollo didáctico
La regla para desarrollar el cubo de una resta, $(a-b)^3$, conserva la misma estructura matemática y las mismas magnitudes que el cubo de una suma. La única modificación necesaria es el patrón de los signos.
Fórmula: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Regla en palabras:
1. El cubo del primero ($a^3$).
2. MENOS el triple del cuadrado del primero por el segundo ($-3a^2b$).
3. MÁS el triple del primero por el cuadrado del segundo ($+3ab^2$).
4. MENOS el cubo del segundo ($-b^3$).
La regla adecuado de los signos alternados:
Siempre que tengas una resta elevada al cubo, los signos de los cuatro términos del resultado final siempre seguirán el patrón de alternancia: +, -, +, -.
El primer y el tercer término son positivos. El segundo y el cuarto término son negativos. No necesitas multiplicar signos manualmente, solo aplica la estructura.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula con los valores absolutos y coloca los signos alternados $+ - + -$.
- $(2p)^3 - 3(2p)^2(1) + 3(2p)(1)^2 - 1^3 = 8p^3 - 12p^2 + 6p - 1$.
Ejemplos
1 Calcula $(y - 5)^3$.
- $(y)^3 = y^3$.
- $-3(y)^2(5) = -15y^2$.
- $+3(y)(5)^2 = 3(y)(25) = +75y$.
- $-(5)^3 = -125$.
- Resultado: $y^3 - 15y^2 + 75y - 125$.
2 Desarrolla $(2p - 1)^3$. Opciones: A) $8p^3 - 12p^2 + 6p - 1$ · B) $8p^3 - 6p^2 + 6p - 1$ · C) $8p^3 - 1$ · D) $8p^3 + 12p^2 + 6p - 1$
- $(2p)^3 - 3(2p)^2(1) + 3(2p)(1)^2 - 1^3 = 8p^3 - 12p^2 + 6p - 1$.
- Respuesta: $8p^3 - 12p^2 + 6p - 1$
3 Respecto de «Aplicación de la regla del cubo de binomio diferencia»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «Fórmula: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ Los signos se alternan: $+$, $-$, $+$, $-$»
- La afirmación coincide con la definición formal: Fórmula: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ Los signos se alternan: $+$, $-$, $+$, $-$.
4 Respecto de «Aplicación de la regla del cubo de binomio diferencia»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Poner todos los signos negativos: $a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Fórmula: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ Los signos se alternan: $+$, $-$, $+$, $-$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Poner todos los signos negativos: $a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$8p^3 - 6p^2 + 6p - 1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$8p^3 - 1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$8p^3 + 12p^2 + 6p - 1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La afirmación «$8p^3 - 12p^2 + 6p - 1$» no es válida en este contenido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Fórmula: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ Los signos se alternan: $+$, $-$, $+$, $-$.
Practica
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Desarrolla $(2p - 1)^3$.
$(2p)^3 - 3(2p)^2(1) + 3(2p)(1)^2 - 1^3 = 8p^3 - 12p^2 + 6p - 1$.
Respuesta: A) $8p^3 - 12p^2 + 6p - 1$