Uso de la equivalencia entre cuadrados de diferencias opuestas
Reconocer y aplicar la propiedad de que $(a-b)^2 = (b-a)^2$.
Introducción
¿Es lo mismo $5-3$ que $3-5$? Claramente no. Pero, ¿qué pasa si elevamos ambos resultados al cuadrado? La historia cambia.
Explicación
Definición formal
$(b-a)$ es $-(a-b)$. Y un número negativo al cuadrado se vuelve positivo.
Desarrollo didáctico
Existe una propiedad de simetría muy interesante en el cuadrado de un binomio diferencia: elevar $(a-b)$ al cuadrado produce exactamente el mismo resultado que elevar $(b-a)$ al cuadrado.
Matemáticamente, esto se escribe: $(a-b)^2 = (b-a)^2$.
¿Por qué sucede esto?
Recordemos que sacar el negativo de una resta invierte sus términos: $(b-a) = -(a-b)$.
Si tomamos esa expresión y la elevamos al cuadrado, obtenemos:
$(-(a-b))^2 = (-1)^2 \cdot (a-b)^2 = 1 \cdot (a-b)^2 = (a-b)^2$.
Desarrollo comprobatorio:
Desarrollemos ambos para comparar:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(b-a)^2 = b^2 - 2ba + a^2$
Si ordenamos los términos, vemos que son algebraicamente idénticos: $a^2 - 2ab + b^2$. Esta propiedad simétrica es muy útil para reordenar restas dentro de paréntesis cuadrados sin afectar el resultado (por ejemplo, para evitar coeficientes principales negativos).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Al enfrentarte a expresiones como $(x - 4)^2$ o $(4 - x)^2$:
- Paso 2: Puedes usar la que te sea más conveniente de las dos (por ejemplo, es más común dejar la variable positiva al inicio).
- Paso 3: Si en una simplificación debes restar $(a-b)^2$ y $(b-a)^2$, recuerda que son iguales, así que su resta será $0$.
Ejemplos
1 Simplifica la expresión: $(2x - 5)^2 - (5 - 2x)^2$
- Nota que $(5 - 2x)$ es el opuesto de $(2x - 5)$.
- Por la propiedad de simetría, $(5 - 2x)^2 = (2x - 5)^2$.
- Por lo tanto, la resta es de dos cantidades idénticas: $(2x - 5)^2 - (2x - 5)^2 = 0$.
- No es necesario expandir los trinomios, aunque si lo hicieras, obtendrías $0$ de igual forma.
2 Dada la expresión $(2x - 3y)^2 - (3y - 2x)^2$, ¿a qué es equivalente? Opciones: A) $0$ · B) $4x^2 - 9y^2$ · C) $8x^2 - 18y^2$ · D) $2(2x-3y)^2$
- Ambos términos son iguales por simetría, luego restar una cantidad de sí misma da cero.
- Respuesta: $0$
3 Respecto de «Uso de la equivalencia entre cuadrados de diferencias opuestas»: ¿La siguiente formulación es correcta? «Una propiedad muy útil (y a veces sorprendente) en álgebra es que: **$(a-b)^2 = (b-a)^2$** Esto sucede porque $(a-b)$ y $(b-a)$ son números opuestos (difieren solo en el signo), y al elevar cualquier número real al cuadrado, el resultado es positivo»
- La afirmación coincide con la definición formal: Una propiedad muy útil (y a veces sorprendente) en álgebra es que: **$(a-b)^2 = (b-a)^2$** Esto sucede porque $(a-b)$ y $(b-a)$ son números opuestos (difieren solo en el signo), y al elevar cualquier número real al cuadrado, el resultado es positivo.
4 Respecto de «Uso de la equivalencia entre cuadrados de diferencias opuestas»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Creer que $(a-b)^2 = -(b-a)^2$, arrastrando un signo negativo imaginario»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Una propiedad muy útil (y a veces sorprendente) en álgebra es que: **$(a-b)^2 = (b-a)^2$** Esto sucede porque $(a-b)$ y $(b-a)$ son números opuestos (difieren solo en el signo), y al elevar cualquier número real al cuadrado, el resultado es positivo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que $(a-b)^2 = -(b-a)^2$, arrastrando un signo negativo imaginario."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «La propiedad $(a-b)^2 = (b-a)^2$ se fundamenta en que:», la respuesta correcta es La resta es conmutativa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «La propiedad $(a-b)^2 = (b-a)^2$ se fundamenta en que:», la respuesta correcta es El cuadrado siempre elimina las variables."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es un caso especial que solo aplica a $a=b$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿En qué caso es falso que $(x-3) = (3-x)$», la respuesta correcta es En todos los casos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una propiedad muy útil (y a veces sorprendente) en álgebra es que: **$(a-b)^2 = (b-a)^2$** Esto sucede porque $(a-b)$ y $(b-a)$ son números opuestos (difieren solo en el signo), y al elevar cualquier número real al cuadrado, el resultado es positivo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La propiedad $(a-b)^2 = (b-a)^2$ se fundamenta en que:
$(b-a)$ es $-(a-b)$. Y un número negativo al cuadrado se vuelve positivo.
Respuesta: A) Elevar al cuadrado una cantidad y su inverso aditivo da el mismo resultado.
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¿En qué caso es falso que $(x-3) = (3-x)$?
Sin el cuadrado, son números opuestos. Solo $0 = -0$, que ocurre si $x=3$. Pero al cuadrado, SIEMPRE son iguales.
Respuesta: A) En todos los casos excepto cuando $x = 3$.
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Si simplificas $-(x-y)^2$, ¿a qué expresión es equivalente?
Como $(x-y)^2 = (y-x)^2$, al agregar un menos por fuera, sigue manteniendo la equivalencia: $-(x-y)^2 = -(y-x)^2$.
Respuesta: A) $-(y-x)^2$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes es una afirmación verdadera?
Es la aplicación directa de la simetría de cuadrados.
Respuesta: A) $(5-m)^2 = (m-5)^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Reduce la expresión: $(7-x)^2 + (x-7)^2$.
Son la misma cantidad, así que sumarlas es como $A + A = 2A$. Es decir $2(x-7)^2$.
Respuesta: A) $2(x-7)^2$
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Calcula el valor de la expresión fraccionaria $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}$ sabiendo que $a
eq b$.Como el numerador y el denominador son iguales (simetría) y distintos de cero, su división es exactamente $1$.
Respuesta: A) $1$
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Expande $(-p + q)^2$.
$(-p+q)$ es lo mismo que $(q-p)$. Y $(q-p)^2 = q^2 - 2pq + p^2$, que ordenado da $p^2 - 2pq + q^2$.
Respuesta: A) $p^2 - 2pq + q^2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Dada la expresión $(2x - 3y)^2 - (3y - 2x)^2$, ¿a qué es equivalente?
Ambos términos son iguales por simetría, luego restar una cantidad de sí misma da cero.
Respuesta: A) $0$
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Si sabemos que $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. ¿Qué obtenemos al reemplazar $A = (x-y)$ y $B = (y-x)$?
Notemos que $B = -(x-y) = -A$. Entonces $A^2 - (-A)^2 = A^2 - A^2 = 0$.
Respuesta: A) $0$
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¿Qué expresión de las alternativas NO es un trinomio cuadrado perfecto equivalente a los demás?
$(-a-b) = -(a+b)$, así que al cuadrado da $(a+b)^2$. $(b+a)$ es lo mismo. Pero $(a-b)^2$ difiere de ellas en el doble producto (es negativo).
Respuesta: D) $(a-b)^2$