Definición de cuadrado de binomio diferencia
Comprender e interpretar algebraicamente el concepto del cuadrado de un binomio en su forma de diferencia $(a-b)^2$.
Introducción
Al igual que con la suma, podemos elevar una resta o diferencia al cuadrado. ¿Crees que el resultado es muy distinto al de la suma?
Explicación
Definición formal
El exponente $2$ indica multiplicar la base, que es el binomio completo $(x-y)$, por sí misma.
Desarrollo didáctico
El cuadrado de un binomio con una resta (diferencia) se expresa como $(a-b)^2$. Igual que en la suma, esto significa multiplicar el binomio por sí mismo: $(a-b)(a-b)$.
Aplicando la propiedad distributiva término a término, pero teniendo mucho cuidado con los signos:
$(a-b)(a-b) = a(a) + a(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b)$
$= a^2 - ab - ba + b^2$
Como la multiplicación es conmutativa, $-ab$ y $-ba$ son términos semejantes. Al juntarlos, obtenemos un solo término negativo: $-2ab$. El último término, $(-b)(-b)$, se vuelve positivo ($+b^2$) porque negativo por negativo es positivo.
Fórmula: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Conclusión: La única diferencia respecto al cuadrado de una suma es el signo negativo del término central o "doble producto". Los extremos ($a^2$ y $b^2$) siempre serán positivos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Para entender la definición de la diferencia:
- Paso 2: Escribe la base multiplicada por sí misma: $(A-B)(A-B)$.
- Paso 3: Recuerda que los productos cruzados tendrán un signo negativo y un signo positivo, resultando siempre negativos.
- Paso 4: Recuerda que el producto de los segundos términos será $(-B)(-B) = +B^2$.
Ejemplos
1 Expresa conceptualmente qué significa $(5x - 2y)^2$.
- La base es la resta $(5x - 2y)$.
- El cuadrado indica multiplicar esa base por sí misma dos veces.
- Significa $(5x - 2y)(5x - 2y)$.
2 Sabiendo que $(a-b)^2 = 36$ y que $a^2+b^2=100$. ¿Cuál es el valor del producto $ab$? Opciones: A) $32$ · B) $64$ · C) $-32$ · D) $136$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 100 - 2ab$. Como sabemos que es igual a $36$, entonces $100 - 2ab = 36 \Rightarrow 2ab = 64 \Rightarrow ab = 32$.
- Respuesta: $32$
3 Respecto de «Definición de cuadrado de binomio diferencia»: ¿Es correcta esta caracterización? «El cuadrado de un binomio diferencia se define como la multiplicación del binomio por sí mismo: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$»
- La afirmación coincide con la definición formal: El cuadrado de un binomio diferencia se define como la multiplicación del binomio por sí mismo: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$.
4 Respecto de «Definición de cuadrado de binomio diferencia»: ¿Es válida esta afirmación? «Pensar que el último término es negativo: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: El cuadrado de un binomio diferencia se define como la multiplicación del binomio por sí mismo: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Pensar que el último término es negativo: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que $(a-b)^2 = a^2 - b^2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Qué indica conceptualmente la expresión $(x-y)^2$», la respuesta correcta es La diferencia entre el doble de $x$ y el doble de $y$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El producto de $(x-y)(x+y)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El cuadrado de un binomio diferencia se define como la multiplicación del binomio por sí mismo: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$. Al aplicar la distributividad, se genera un término central negativo: $a^2 - 2ab + b^2$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué indica conceptualmente la expresión $(x-y)^2$?
El exponente $2$ indica multiplicar la base, que es el binomio completo $(x-y)$, por sí misma.
Respuesta: A) La multiplicación del binomio $(x-y)$ por sí mismo.
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¿Cuál es la principal diferencia estructural entre los desarrollos de $(a+b)^2$ y $(a-b)^2$?
Ambos resultan en $a^2$ y $+b^2$. Solo cambia el signo del $2ab$.
Respuesta: A) El signo del doble producto central ($+2ab$ versus $-2ab$).
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Al multiplicar término a término $(a-b)(a-b)$, el último término resulta ser $+b^2$. ¿Cuál es la razón de su signo positivo?
Al hacer FOIL, los 'Lasts' son $(-b)$ y $(-b)$. Menos por menos da más.
Respuesta: A) Proviene de multiplicar los segundos términos: $(-b) \cdot (-b) = +b^2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes expresiones corresponde a la forma no reducida del cuadrado de un binomio diferencia $(m-n)^2$.
Al multiplicar sin agrupar, los términos cruzados son $-mn$ y $-mn$.
Respuesta: A) $m^2 - mn - mn + n^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Expande $(3p - 2q)^2$ usando su definición $(3p - 2q)(3p - 2q)$ y agrupando términos.
$(3p)(3p) = 9p^2$. Los cruzados son $(3p)(-2q) = -6pq$ y $(-2q)(3p) = -6pq$. Sumados dan $-12pq$. $(-2q)(-2q) = +4q^2$.
Respuesta: A) $9p^2 - 12pq + 4q^2$
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Halla la suma de los coeficientes numéricos del trinomio resultante de expandir $(x - 5)^2$.
El desarrollo es $1x^2 - 10x + 25$. La suma de coeficientes es $1 - 10 + 25 = 16$. (Truco: evaluar en $x=1 \Rightarrow (1-5)^2 = (-4)^2 = 16$).
Respuesta: A) $16$
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Desarrolla el producto $(-x - y)^2$ pensándolo como la multiplicación por sí mismo.
$(-x)(-x) = x^2$. $(-x)(-y) = xy$. $(-y)(-x) = xy$. $(-y)(-y) = y^2$. Total: $x^2+2xy+y^2$.
Respuesta: A) $x^2 + 2xy + y^2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un alumno deduce geométricamente que el área de $(a-b)^2$ se puede formar al tomar un cuadrado de área $a^2$, quitarle dos rectángulos de área $ab$, pero al hacer esto, el cuadrado $b^2$ que se cruza fue restado dos veces, por lo que debe sumarlo de vuelta. Esta lógica geométrica prueba que:
Restar las franjas $ab$ dos veces en un cuadrado remueve su intersección $b^2$ dos veces. Se debe devolver una para compensar, justificando el $+b^2$.
Respuesta: A) La fórmula algebraica $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ tiene un respaldo geométrico lógico.
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Sabiendo que $(a-b)^2 = 36$ y que $a^2+b^2=100$. ¿Cuál es el valor del producto $ab$?
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 100 - 2ab$. Como sabemos que es igual a $36$, entonces $100 - 2ab = 36 \Rightarrow 2ab = 64 \Rightarrow ab = 32$.
Respuesta: A) $32$
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La diferencia entre el desarrollo de $(x+a)^2$ y el desarrollo de $(x-a)^2$ corresponde exactamente a:
$(x^2 + 2ax + a^2) - (x^2 - 2ax + a^2) = x^2 - x^2 + 2ax - (-2ax) + a^2 - a^2 = 4ax$.
Respuesta: A) $4ax$