Aplicación de la regla del cuadrado de binomio suma
Aplicar la fórmula rápida del cuadrado de binomio suma para resolver expresiones algebraicas de forma directa.
Introducción
Una vez que entendemos de dónde sale $(a+b)^2$, no necesitamos multiplicar término por término cada vez. Hay una regla rápida que te ahorrará mucho tiempo.
Explicación
Definición formal
El doble producto es la multiplicación del primer por el segundo término, multiplicada por 2: $2ab$.
Desarrollo didáctico
La regla del cuadrado de un binomio suma es un atajo (o producto notable) para no tener que multiplicar término a término cada vez que vemos una expresión de la forma $(a+b)^2$.
Fórmula de la regla: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Regla en palabras (para memorizar):
1. El cuadrado del primer término: $(a)^2$
2. Más el doble del producto del primero por el segundo: $2(a)(b)$
3. Más el cuadrado del segundo término: $(b)^2$
¿Cómo aplicarla?
Si tienes $(3x + 5)^2$:
- El primer término es $3x$. Su cuadrado es $(3x)^2 = 9x^2$.
- El doble del producto es $2(3x)(5) = 30x$.
- El cuadrado del segundo término es $(5)^2 = 25$.
- Juntando todo: $9x^2 + 30x + 25$. Rápido y sin multiplicar polinomios largos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Pasos para aplicar la regla a $(A+B)^2$:
- Paso 2: Eleva el primer término al cuadrado: $(A)^2$.
- Paso 3: Multiplica el primer término por el segundo y duplícalo: $2(A)(B)$.
- Paso 4: Eleva el segundo término al cuadrado: $(B)^2$.
- Paso 5: Escribe la suma de estos tres resultados obtenidos.
Ejemplos
1 Desarrolla el producto notable $(x + 7)^2$.
- El cuadrado del primero: $x^2$.
- El doble del primero por el segundo: $2(x)(7) = 14x$.
- El cuadrado del segundo: $7^2 = 49$.
- Resultado: $x^2 + 14x + 49$.
2 Desarrolla $(\\\crac{1}{2}a + 2b)^2$.
- Cuadrado del primero: $(\\\crac{1}{2}a)^2 = \\\crac{1}{4}a^2$.
- Doble producto: $2(\\\crac{1}{2}a)(2b) = 2ab$.
- Cuadrado del segundo: $(2b)^2 = 4b^2$.
- Resultado: $\\\crac{1}{4}a^2 + 2ab + 4b^2$.
3 Respecto de «Aplicación de la regla del cuadrado de binomio suma»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «La regla de oro para $(a+b)^2$ es: **'El cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.'** Fórmula: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$»
- La afirmación coincide con la definición formal: La regla de oro para $(a+b)^2$ es: **'El cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.'** Fórmula: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
4 Respecto de «Aplicación de la regla del cuadrado de binomio suma»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Olvidar elevar al cuadrado el coeficiente numérico del término (ej. decir que $(3x)^2 = 3x^2$ en vez de $9x^2$)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La regla de oro para $(a+b)^2$ es: **'El cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.'** Fórmula: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar elevar al cuadrado el coeficiente numérico del término (ej. decir que $(3x)^2 = 3x^2$ en vez de $9x^2$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «En la regla del cuadrado de binomio $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, la frase 'el doble producto' se refiere al término:», la respuesta correcta es $a^2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «En la regla del cuadrado de binomio $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, la frase 'el doble producto' se refiere al término:», la respuesta correcta es $b^2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$(a+b)^2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$2 \cdot (3x + 5y)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La regla de oro para $(a+b)^2$ es: **'El cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.'** Fórmula: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En la regla del cuadrado de binomio $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, la frase 'el doble producto' se refiere al término:
El doble producto es la multiplicación del primer por el segundo término, multiplicada por 2: $2ab$.
Respuesta: A) $2ab$
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Si vas a aplicar la regla rápida a $(3x + 5y)^2$, ¿cuál es la expresión correcta para calcular el doble del primero por el segundo?
El primer término es $3x$ y el segundo es $5y$. El doble producto es $2(3x)(5y)$.
Respuesta: A) $2 \cdot (3x) \cdot (5y)$
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¿Por qué es útil conocer la regla del cuadrado del binomio en lugar de solo multiplicar paso a paso?
Ambos métodos son matemáticamente correctos, pero la regla general ahorra tiempo y pasos (que propician fallos).
Respuesta: A) Porque permite obtener el resultado final de un solo paso, disminuyendo la probabilidad de errores aritméticos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes expresiones es el desarrollo correcto de $(x+3)^2$.
$x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Respuesta: A) $x^2 + 6x + 9$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Aplica la regla del cuadrado de binomio a la expresión $(2m + 5)^2$.
$(2m)^2 + 2(2m)(5) + 5^2 = 4m^2 + 20m + 25$.
Respuesta: A) $4m^2 + 20m + 25$
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Desarrolla $(3a^2 + 4b^3)^2$.
$(3a^2)^2 = 9a^4$. $2(3a^2)(4b^3) = 24a^2b^3$. $(4b^3)^2 = 16b^6$.
Respuesta: A) $9a^4 + 24a^2b^3 + 16b^6$
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Calcula el coeficiente del término central de $(6x + ?rac{1}{3}y)^2$.
Doble producto: $2(6)(?rac{1}{3}) = 2(2) = 4$.
Respuesta: A) $4$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un número se escribe como el cuadrado del binomio $(x + 0.5)^2$. Al aplicar la regla, ¿qué trinomio se obtiene?
$x^2 + 2(0.5)x + (0.5)^2 = x^2 + 1x + 0.25$.
Respuesta: A) $x^2 + x + 0.25$
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Para facilitar el cálculo mental de $32^2$, un estudiante escribe $(30 + 2)^2$ y aplica la regla del cuadrado de binomio. El valor exacto de la suma de los tres términos resultantes es:
$(30)^2 + 2(30)(2) + 2^2 = 900 + 120 + 4 = 1024$.
Respuesta: A) $1024$
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Si el área de un cuadrado está dada por la expresión $16x^2 + 40x + 25$, y sabemos que su lado es un binomio de la forma $(ax + b)$, ¿cuáles son los valores de $a$ y $b$ (si $a,b > 0$)?
Identificamos que $16x^2 = (4x)^2$ y $25 = 5^2$. Probamos si $2(4x)(5) = 40x$, y sí lo es. Por lo tanto, el lado es $4x + 5$.
Respuesta: A) $a=4, b=5$