Aplicación de la regla del cuadrado de binomio diferencia
Aplicar la fórmula rápida del cuadrado de binomio diferencia para resolver expresiones algebraicas de forma directa.
Introducción
La regla para la diferencia es casi idéntica a la suma. Solo hay un pequeño (pero crucial) cambio de signo.
Explicación
Definición formal
En la diferencia, el término central es $-2ab$. Los otros son $a^2$ y $+b^2$.
Desarrollo didáctico
La regla para resolver el cuadrado de una diferencia, $(a-b)^2$, es idéntica a la regla de la suma, salvo por el signo del término central.
Fórmula: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Regla en palabras (para memorizar):
1. El cuadrado del primer término: $(a)^2$.
2. MENOS el doble producto del primero por el segundo: $- 2(a)(b)$.
3. MÁS el cuadrado del segundo término: $+ (b)^2$.
¿Cómo aplicarla de manera segura?
Cuando utilices esta regla, puedes pensar que el segundo término es "$b$" (positivo) y aplicas el signo menos directamente en la fórmula.
Ejemplo para $(4x - 7)^2$:
- Cuadrado del primero: $(4x)^2 = 16x^2$.
- Menos el doble producto: $-2(4x)(7) = -56x$.
- Más el cuadrado del segundo: $(7)^2 = +49$.
Resultado final: $16x^2 - 56x + 49$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Pasos para aplicar la regla a $(A-B)^2$:
- Paso 2: Eleva el primer término al cuadrado: $(A)^2$.
- Paso 3: Escribe un signo MENOS y luego el doble producto de los términos sin signo: $-2(A)(B)$.
- Paso 4: Escribe un signo MÁS y eleva el segundo término (sin signo) al cuadrado: $+(B)^2$.
- Paso 5: Junta todo en un trinomio.
Ejemplos
1 Desarrolla el producto notable $(p - 6)^2$.
- Primer término: $p$. Segundo término: $6$.
- Cuadrado del primero: $p^2$.
- Menos el doble producto: $-2(p)(6) = -12p$.
- Más cuadrado del segundo: $6^2 = 36$.
- Resultado: $p^2 - 12p + 36$.
2 Calcula $(x^3 - 5y)^2$.
- $(x^3)^2 = x^6$.
- $-2(x^3)(5y) = -10x^3y$.
- $(5y)^2 = +25y^2$.
- Resultado: $x^6 - 10x^3y + 25y^2$.
3 Respecto de «Aplicación de la regla del cuadrado de binomio diferencia»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «La regla para $(a-b)^2$ es: **'El cuadrado del primer término, MENOS el doble del primero por el segundo, MÁS el cuadrado del segundo término.'** Fórmula: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$»
- La afirmación coincide con la definición formal: La regla para $(a-b)^2$ es: **'El cuadrado del primer término, MENOS el doble del primero por el segundo, MÁS el cuadrado del segundo término.'** Fórmula: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
4 Respecto de «Aplicación de la regla del cuadrado de binomio diferencia»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Poner el último término como negativo, escribiendo erróneamente $a^2 - 2ab - b^2$»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La regla para $(a-b)^2$ es: **'El cuadrado del primer término, MENOS el doble del primero por el segundo, MÁS el cuadrado del segundo término.'** Fórmula: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Ejemplos Verdadero/Falso
"Poner el último término como negativo, escribiendo erróneamente $a^2 - 2ab - b^2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El primer término al cuadrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El segundo término al cuadrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Todos los términos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Porque la fórmula manda poner un más obligatoriamente, sin justificación matemática."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La regla para $(a-b)^2$ es: **'El cuadrado del primer término, MENOS el doble del primero por el segundo, MÁS el cuadrado del segundo término.'** Fórmula: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué término es el único que cambia de signo en la fórmula de $(a-b)^2$ comparado con $(a+b)^2$?
En la diferencia, el término central es $-2ab$. Los otros son $a^2$ y $+b^2$.
Respuesta: A) El término del doble producto.
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Al aplicar la regla a $(5x - 3)^2$, el último término se calcula elevando el $3$ (o el $-3$) al cuadrado. ¿Por qué el resultado siempre se suma?
$(-3)^2 = (-3)(-3) = +9$.
Respuesta: A) Porque cualquier número real al cuadrado, ya sea positivo o negativo, da resultado positivo.
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Si expandimos $(A - B)^2$, el resultado es $A^2 - 2AB + B^2$. Si en esta fórmula reemplazamos $B$ por un número que ya trae su propio signo negativo (ej. $B = -4$), el término del doble producto quedará:
$-2A(-4) = +8A$. Esto confirma que un 'doble negativo' es equivalente a sumar.
Respuesta: A) Positivo, porque el menos de la fórmula y el menos del número se multiplican.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de los siguientes trinomios proviene de un cuadrado de diferencia.
El término central es negativo, y los extremos son cuadrados positivos. Corresponde a $(m-5)^2$.
Respuesta: A) $m^2 - 10m + 25$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Aplica la regla de la diferencia a $(x^4 - 9)^2$.
$(x^4)^2 = x^8$. $-2(x^4)(9) = -18x^4$. $(9)^2 = 81$.
Respuesta: A) $x^8 - 18x^4 + 81$
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Desarrolla el cuadrado de la diferencia: $(7 - 2x)^2$.
$7^2 = 49$. $-2(7)(2x) = -28x$. $(2x)^2 = +4x^2$.
Respuesta: A) $49 - 28x + 4x^2$
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Calcula el desarrollo de $(ab - c^2)^2$.
$(ab)^2 = a^2b^2$. Doble producto: $-2(ab)(c^2) = -2abc^2$. Cuadrado: $(c^2)^2 = c^4$.
Respuesta: A) $a^2b^2 - 2abc^2 + c^4$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Calcula el valor de $98^2$ aplicando la técnica del cuadrado de binomio con números redondos.
$98 = 100 - 2$. Entonces $(100 - 2)^2 = 10000 - 2(100)(2) + 4 = 10000 - 400 + 4 = 9600 + 4 = 9604$.
Respuesta: A) $9604$
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¿Cuál es la expresión equivalente a $1 - (1 - x)^2$?
$(1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$. Luego, $1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - 1 + 2x - x^2 = 2x - x^2$.
Respuesta: A) $2x - x^2$
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Si $x - \frac{1}{x} = 5$, entonces ¿cuál es el valor de $x^2 + \frac{1}{x^2}$?
Elevando la ecuación al cuadrado: $(x - \frac{1}{x})^2 = 25$. Desarrollando: $x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 25$. Como $x \cdot \frac{1}{x} = 1$, queda $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 25$. Despejando: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 27$.
Respuesta: A) $27$