Identificación por igualdad de factor literal
Resumen inicial
La identificación por igualdad de factor literal consiste en verificar analíticamente que las bases y exponentes de las letras constituyan una identidad completa para declarar la semejanza de monomios.
Explicación en palabras simples
Para determinar si dos términos algebraicos son semejantes, debes enfocar toda tu atención en su factor literal:
- Factor literal: Es el bloque entero formado por las variables y sus exponentes (ignorando los coeficientes).
- Regla de verificación:
1. Las mismas letras deben estar presentes en ambos términos.
2. Cada letra debe tener el mismo exponente en ambos términos.
- Ejemplo 1: $6a^3 b^2$ y $-10a^3 b^2$
- Factor literal 1: $a^3 b^2$.
- Factor literal 2: $a^3 b^2$.
- ¡Son idénticos! $\implies$ Semejantes.
- Ejemplo 2: $6a^3 b^2$ y $6a^2 b^3$
- Factor literal 1: $a^3 b^2$.
- Factor literal 2: $a^2 b^3$.
- Los exponentes de $a$ y $b$ cambiaron de posición $\implies$ NO son semejantes.
Explicación formal
Definición formal
Sea $FL: \mathcal{M} \to \mathcal{P}(\mathbb{V} \times \mathbb{N}_0)$ el operador proyectivo que mapea un monomio $M = c \prod x_i^{a_i}$ en su conjunto ordenado de pares base-exponente (factor literal). Dos monomios $M_1$ y $M_2$ cumplen la igualdad de factor literal si y solo si sus proyecciones bajo $FL$ son formalmente idénticas:
$$M_1 \sim M_2 \iff FL(M_1) = FL(M_2) \iff \prod_{i=1}^k x_i^{a_i} = \prod_{i=1}^k x_i^{b_i}$$
Criterio de Coincidencia de Estructura Multivariable
Para que $FL(M_1) = FL(M_2)$, se deben verificar simultáneamente dos condiciones algebraicas:
1. Coincidencia de Dominios de Variables: $\operatorname{Vars}(M_1) = \operatorname{Vars}(M_2)$.
2. Coincidencia Puntual de Exponentes: $\deg_{x_i}(M_1) = \deg_{x_i}(M_2)$ para toda variable $x_i$.
Síntesis didáctica
La igualdad del factor literal es la propiedad que garantiza que los términos representen las mismas dimensiones o unidades de medida en ecuaciones de física y geometría.
La alternativa correcta es 'Deben tener las mismas variables y cada variable debe tener el mismo exponente en ambos monomios'. Coincidencia de letras y exponentes.
Definiciones clave
- Igualdad de factor literal: Coincidencia total en el conjunto de variables y sus potencias correspondientes.
- Grado relativo por variable ($\deg_{x_i}(M)$): Exponente exacto al que está elevada una variable específica dentro del monomio.
- Dominio de variables ($\operatorname{Vars}(M)$): Conjunto de letras distintas que componen la parte literal.
Propiedades y relaciones importantes
- Invarianza por permutación de factores: Por la conmutatividad del producto, el factor literal $x^2 y^3$ es idéntico a $y^3 x^2$.
- Independencia del dominio de coeficientes: El tipo de número del coeficiente (entero, racional, irracional) no altera la igualdad del factor literal.
Ejemplo guiado
Verifica si los términos $\frac{5}{3}m^4 n$ y $-8m^4 n$ poseen igualdad de factor literal.
- Paso 1: Extraemos el factor literal del primer término: $FL(T_1) = m^4 n$.
- Paso 2: Extraemos el factor literal del segundo término: $FL(T_2) = m^4 n$.
- Paso 3: Comprobamos la variable $m$: Tiene exponente $4$ en ambos términos.
- Paso 4: Comprobamos la variable $n$: Tiene exponente $1$ implícito en ambos términos.
- Conclusión: Como $FL(T_1) = FL(T_2) = m^4 n$, los términos **tienen igualdad de factor literal y son semejantes**.
La alternativa correcta es 'Sí, ambos tienen el factor literal $u^2 v^5$'. Coincidencia $u^2 v^5$.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir los factores literales de ambos monomios aislándolos de sus coeficientes.
- Paso 2: Comprobar que todas las variables del primer término estén presentes en el segundo.
- Paso 3: Verificar que los exponentes de cada variable coincidan uno a uno.
- Paso 4: Declarar que existe igualdad de factor literal y por ende semejanza.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Considerar que $x^2 y^3$ e $x^3 y^2$ tienen igualdad de factor literal por tener las mismas letras. Cómo corregirlo: Los exponentes de cada letra DEBEN COINCIDIR EXACTAMENTE ($x$ tiene exponente 2 en uno y 3 en el otro).
- Error 2: Ignorar exponentes implícitos iguales a $1$ ($x$ equivale a $x^1$). Cómo corregirlo: Una letra sin exponente explícito TIENE EXPONENTE 1 ($x = x^1$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $FL_1 = x y^3$. $FL_2 = x y^3$.
- Identidad de factor literal.
- $a = a^1$.
- Ambos factores literales coinciden en $a^1 b^4$.
- Sí, por la conmutatividad de la multiplicación ($x^2 y = y x^2$).
- Sí, $x^4 y \neq x y^4$ porque los exponentes están invertidos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Reconocer la semejanza de términos a partir de la correspondencia exacta de su repertorio de variables.
Verificar que ambos términos compartan las mismas letras $\operatorname{Var}(T_1) = \operatorname{Var}(T_2)$, descartando monomios con variables extra o faltantes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si tienes los términos $5abc$ y $-2ab$, ¿por qué no se consideran términos semejantes a pesar de compartir las letras $a$ y $b$? (v1)
El factor literal debe ser un clon exacto. Si falta o sobra una variable, la semejanza se rompe.
Respuesta: A) Porque para ser semejantes, el conjunto de letras debe ser exactamente idéntico; al segundo término le falta la variable $c$.
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Si tienes los términos $5abc$ y $-2ab$, ¿por qué no se consideran términos semejantes a pesar de compartir las letras $a$ y $b$? (v2)
El factor literal debe ser un clon exacto. Si falta o sobra una variable, la semejanza se rompe.
Respuesta: A) Porque para ser semejantes, el conjunto de letras debe ser exactamente idéntico; al segundo término le falta la variable $c$.
-
Si tienes los términos $5abc$ y $-2ab$, ¿por qué no se consideran términos semejantes a pesar de compartir las letras $a$ y $b$? (v3)
El factor literal debe ser un clon exacto. Si falta o sobra una variable, la semejanza se rompe.
Respuesta: A) Porque para ser semejantes, el conjunto de letras debe ser exactamente idéntico; al segundo término le falta la variable $c$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Indica cuál de los siguientes términos NO es semejante a $8xy$.
La familia es $xy$. La opción A incorpora la letra $z$, alterando el factor literal, por lo que deja de ser semejante.
Respuesta: A) $8xyz$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La suma de $4x + 3y$ puede reducirse a $7xy$?
Al no ser semejantes (las letras son distintas), no se pueden sumar sus coeficientes. Juntarlos como $7xy$ implica una multiplicación inventada.
Respuesta: Falso
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¿La suma de $4x + 3y$ puede reducirse a $7xy$?
Al no ser semejantes (las letras son distintas), no se pueden sumar sus coeficientes. Juntarlos como $7xy$ implica una multiplicación inventada.
Respuesta: Falso
-
¿La suma de $4x + 3y$ puede reducirse a $7xy$?
Al no ser semejantes (las letras son distintas), no se pueden sumar sus coeficientes. Juntarlos como $7xy$ implica una multiplicación inventada.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En una bodega de materiales, el inventario se registra algebraicamente. Tienes $10a$ cajas de clavos y te llega un cargamento de $5b$ cajas de tornillos. Si el jefe te pide el total agrupado, ¿cómo se expresa correctamente la cantidad total de cajas en inventario? (v1)
Clavos ($a$) y tornillos ($b$) no son la misma cosa. No son semejantes. Se deja indicada la suma: $10a + 5b$.
Respuesta: A) $10a + 5b$
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En una bodega de materiales, el inventario se registra algebraicamente. Tienes $10a$ cajas de clavos y te llega un cargamento de $5b$ cajas de tornillos. Si el jefe te pide el total agrupado, ¿cómo se expresa correctamente la cantidad total de cajas en inventario? (v2)
Clavos ($a$) y tornillos ($b$) no son la misma cosa. No son semejantes. Se deja indicada la suma: $10a + 5b$.
Respuesta: A) $10a + 5b$
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En una bodega de materiales, el inventario se registra algebraicamente. Tienes $10a$ cajas de clavos y te llega un cargamento de $5b$ cajas de tornillos. Si el jefe te pide el total agrupado, ¿cómo se expresa correctamente la cantidad total de cajas en inventario? (v3)
Clavos ($a$) y tornillos ($b$) no son la misma cosa. No son semejantes. Se deja indicada la suma: $10a + 5b$.
Respuesta: A) $10a + 5b$