Identificación por igualdad de exponentes
Resumen inicial
La identificación por igualdad de exponentes exige verificar que cada variable compartida tenga exactamente la misma potencia en todos los términos para validar su semejanza algebraicamente.
Explicación en palabras simples
Tener las mismas letras NO es suficiente para que dos términos sean semejantes: los exponentes de cada letra deben ser exactamente iguales:
- Comparación variable por variable:
- Toma la variable $x$ en el primer término y revisa su exponente. Debe coincidir exactamente con el exponente de $x$ en el segundo término.
- Repite el proceso para $y, z$, etc.
- Ejemplo:
- Término A: $5x^3 y^2$
- Término B: $-2x^3 y^2 \implies$ Mismos exponentes ($3$ para $x$, $2$ para $y$) $\implies$ Semejantes.
- Término C: $4x^2 y^3 \implies$ Exponentes cambiados ($2$ para $x$, $3$ para $y$) $\implies$ NO semejante a A ni a B.
Explicación formal
Definición formal
Sea $\mathcal{V} = \{x_1, x_2, \dots, x_k\}$ el conjunto de variables de dos monomios $M_1 = c_1 \prod x_i^{a_i}$ y $M_2 = c_2 \prod x_i^{b_i}$. El criterio estricto de igualdad de exponentes establece la equivalencia de los vectores de potencia en $\mathbb{N}_0^k$:
$$M_1 \sim M_2 \iff (a_1, a_2, \dots, a_k) = (b_1, b_2, \dots, b_k)$$
Sistema de Ecuaciones para la Semejanza con Parámetros
Si dos monomios $M_1 = 3x^p y^q$ y $M_2 = -7x^5 y^4$ son semejantes, el criterio de igualdad de exponentes impone el sistema de identidades deterministas:
$$\begin{cases} \deg_x(M_1) = \deg_x(M_2) \implies p = 5 \\ \deg_y(M_1) = \deg_y(M_2) \implies q = 4 \end{cases}$$
Síntesis didáctica
La verificación de los exponentes es el filtro determinante para no cometer sumas erróneas entre términos de distinto grado como $x^2 + x^3$.
La alternativa correcta es 'Los términos no son semejantes y no se pueden sumar algebraicamente en un solo término'. Exponentes distintos impiden la semejanza.
Definiciones clave
- Igualdad de exponentes: Coincidencia numérica exacta entre los exponentes de cada variable correspondiente en dos o más monomios.
- Vector de potencias ($(a_1, \dots, a_k)$): Secuencia ordenada de los exponentes asociados a las variables del término.
- Grado relativo ($\deg_{x_i}$): Exponente individual asignado a la variable $x_i$.
Propiedades y relaciones importantes
- Incompatibilidad de grados distintos: Términos con idénticas bases pero distintos exponentes ($x^2$ y $x^3$) pertenecen a clases de equivalencia totalmente disjuntas.
- Determinación de parámetros: Permite calcular valores desconocidos en exponentes imponiendo la condición de semejanza.
Ejemplo guiado
Determina el valor del parámetro $k$ para que los términos $4x^{k+1} y^3$ y $-9x^5 y^3$ sean semejantes.
- Paso 1: Identificamos que la variable $y$ tiene el mismo exponente $3$ en ambos términos.
- Paso 2: Igualamos los exponentes de la variable $x$: $k + 1 = 5$.
- Paso 3: Despejamos el parámetro $k$: $k = 5 - 1 \implies k = 4$.
- Paso 4: Verificamos sustituyendo $k = 4$: $x^{4+1} = x^5$, obteniendo el factor literal $x^5 y^3$.
- Conclusión: El valor del parámetro es **$k = 4$**.
La alternativa correcta es 'Los valores son $a = 4$ y $b = 2$, por la igualdad de los exponentes de $x$ e $y$'. Igualdad $a=4, b=2$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar las variables comunes presentes en ambos monomios.
- Paso 2: Comparar el exponente de la primera variable en ambos términos.
- Paso 3: Repetir la comparación para cada una de las variables restantes.
- Paso 4: Si todos los exponentes coinciden exactamente, clasificar los términos como semejantes.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar los exponentes de términos que se están sumando (escribir $x^2 + x^3 = x^5$). Cómo corregirlo: Términos con distintos exponentes NO SE PUEDEN SUMAR ($x^2 + x^3$ queda igual).
- Error 2: Declarar que $x^2 y$ y $x y^2$ son semejantes por tener exponentes 1 y 2. Cómo corregirlo: El exponente DEBE PERTENECER A LA MISMA VARIABLE ($x$ tiene exponente 2 en el primero y 1 en el segundo).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Exponentes de $a$: $4 = 4$.
- Exponentes de $b$: $2 = 2$.
- Términos semejantes.
- Igualdad de exponentes: $m = 7$.
- No, sus exponentes $2 \neq 3$ son distintos.
- Sí, $(3, 5) = (3, 5)$, son semejantes.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Comprobar la igualdad estricta de exponentes letra por letra para confirmar la semejanza.
Contrastar el grado relativo de cada variable $\operatorname{Exp}_{x_i}(T_1) = \operatorname{Exp}_{x_i}(T_2)$, distinguiendo términos con exponentes cruzados como $x^3y^2 \not\sim x^2y^3$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Por qué los términos $4x^2y$ y $4xy^2$ NO son semejantes, a pesar de tener el mismo coeficiente, las mismas letras y la misma suma total de exponentes (grado 3)? (v3)
La igualdad de exponentes es letra por letra. $x^2$ no es lo mismo que $x^1$.
Respuesta: A) Porque el exponente está distribuido de manera diferente: en el primero, la $x$ está al cuadrado y la $y$ a la uno; en el segundo, es al revés.
-
¿Por qué los términos $4x^2y$ y $4xy^2$ NO son semejantes, a pesar de tener el mismo coeficiente, las mismas letras y la misma suma total de exponentes (grado 3)? (v2)
La igualdad de exponentes es letra por letra. $x^2$ no es lo mismo que $x^1$.
Respuesta: A) Porque el exponente está distribuido de manera diferente: en el primero, la $x$ está al cuadrado y la $y$ a la uno; en el segundo, es al revés.
-
¿Por qué los términos $4x^2y$ y $4xy^2$ NO son semejantes, a pesar de tener el mismo coeficiente, las mismas letras y la misma suma total de exponentes (grado 3)? (v1)
La igualdad de exponentes es letra por letra. $x^2$ no es lo mismo que $x^1$.
Respuesta: A) Porque el exponente está distribuido de manera diferente: en el primero, la $x$ está al cuadrado y la $y$ a la uno; en el segundo, es al revés.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Selecciona el término que es semejante a $-9a^3b^2$.
El factor literal objetivo es $a^3b^2$. La única opción que mantiene intactas las letras y sus respectivos exponentes es la A.
Respuesta: A) $5a^3b^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La expresión $x^2 + x^2$ se reduce algebraicamente a $x^4$?
$x^2$ y $x^2$ son semejantes. Se suman sus coeficientes ($1+1=2$) manteniendo el factor literal intacto. El resultado es $2x^2$, no $x^4$. Sumar exponentes es un error de multiplicación, no de suma.
Respuesta: Falso
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¿La expresión $x^2 + x^2$ se reduce algebraicamente a $x^4$?
$x^2$ y $x^2$ son semejantes. Se suman sus coeficientes ($1+1=2$) manteniendo el factor literal intacto. El resultado es $2x^2$, no $x^4$. Sumar exponentes es un error de multiplicación, no de suma.
Respuesta: Falso
-
¿La expresión $x^2 + x^2$ se reduce algebraicamente a $x^4$?
$x^2$ y $x^2$ son semejantes. Se suman sus coeficientes ($1+1=2$) manteniendo el factor literal intacto. El resultado es $2x^2$, no $x^4$. Sumar exponentes es un error de multiplicación, no de suma.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un arquitecto modela el costo de unos terrenos usando la expresión $C = 5x^2 + 10x$, donde $x^2$ representa el área y $x$ el perímetro frontal. Un pasante intenta simplificar la fórmula sumando los términos, obteniendo $C = 15x^3$. ¿Qué error fundamental cometió el pasante? (v2)
$x^2$ (área) y $x$ (longitud) no son semejantes. Es como sumar metros cuadrados con metros lineales. La expresión $5x^2 + 10x$ es irreducible.
Respuesta: A) Sumó los coeficientes de términos que no son semejantes (distinto exponente) e inventó un nuevo exponente.
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Un arquitecto modela el costo de unos terrenos usando la expresión $C = 5x^2 + 10x$, donde $x^2$ representa el área y $x$ el perímetro frontal. Un pasante intenta simplificar la fórmula sumando los términos, obteniendo $C = 15x^3$. ¿Qué error fundamental cometió el pasante? (v3)
$x^2$ (área) y $x$ (longitud) no son semejantes. Es como sumar metros cuadrados con metros lineales. La expresión $5x^2 + 10x$ es irreducible.
Respuesta: A) Sumó los coeficientes de términos que no son semejantes (distinto exponente) e inventó un nuevo exponente.
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Un arquitecto modela el costo de unos terrenos usando la expresión $C = 5x^2 + 10x$, donde $x^2$ representa el área y $x$ el perímetro frontal. Un pasante intenta simplificar la fórmula sumando los términos, obteniendo $C = 15x^3$. ¿Qué error fundamental cometió el pasante? (v1)
$x^2$ (área) y $x$ (longitud) no son semejantes. Es como sumar metros cuadrados con metros lineales. La expresión $5x^2 + 10x$ es irreducible.
Respuesta: A) Sumó los coeficientes de términos que no son semejantes (distinto exponente) e inventó un nuevo exponente.