Identificación de términos semejantes con orden literal distinto
Comprender que el orden de los factores literales no altera la semejanza de los términos algebraicos.
Introducción
¿Es $3 \times 4$ lo mismo que $4 \times 3$? Sí, ambos dan 12. En álgebra pasa igual: las letras que se multiplican pueden cambiar de lugar sin alterar el resultado.
Explicación
Definición formal
Las variables $x^2$ e $y$ se están multiplicando entre sí. Por la propiedad conmutativa, $x^2 \cdot y = y \cdot x^2$.
Desarrollo didáctico
Mira estos dos términos: $5ab^2$ y $-2b^2a$.
A primera vista, parecen diferentes. Pero analicemos:
- ¿Tienen las mismas letras? Sí, ambos tienen 'a' y 'b'.
- ¿Tienen los mismos exponentes letra por letra? La 'a' está elevada a 1 en ambos. La 'b' está elevada a 2 en ambos.
Conclusión: Son totalmente semejantes.
Para evitar confusiones, la convención matemática recomienda ordenar las letras alfabéticamente. Así, $-2b^2a$ se reescribe como $-2ab^2$, y la semejanza se hace evidente de inmediato.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Si ves letras desordenadas, toma tu lápiz y reescribe cada término ordenando sus letras alfabéticamente.
- Paso 2: Asegúrate de que cada letra conserve su exponente original al moverla.
- Paso 3: Ahora compara los factores literales ya ordenados. Si coinciden, son semejantes.
Ejemplos
1 ¿Son semejantes 4xzy y 9yxz?
- Ordenamos el primero alfabéticamente: 4xyz.
- Ordenamos el segundo alfabéticamente: 9xyz.
- Comparamos: xyz es idéntico a xyz.
- Sí, son semejantes.
2 La energía de dos sistemas físicos se describe por las ecuaciones $E_1 = 4m^2v$ y $E_2 = -3vm^2$. Si se requiere calcular la energía neta ($E_1 + E_2$), ¿cuál es la expresión reducida correcta? (v1) Opciones: A) $m^2v$ · B) $7m^2v$ · C) $m^4v^2$ · D) Las expresiones no se pueden sumar.
- $vm^2$ se reescribe como $m^2v$. Tenemos $4m^2v - 3m^2v$. Como son semejantes, restamos coeficientes: $4 - 3 = 1$. Queda $1m^2v$, que se escribe $m^2v$.
3 Respecto de «Identificación de términos semejantes con orden literal distinto»: ¿Es correcta esta caracterización? «El **Orden Literal Distinto** es una confusión visual»
- La afirmación coincide con la definición formal: El **Orden Literal Distinto** es una confusión visual.
4 Respecto de «Identificación de términos semejantes con orden literal distinto»: ¿Es válida esta afirmación? «Descartar la semejanza simplemente porque visualmente las letras no están en el mismo orden»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: El **Orden Literal Distinto** es una confusión visual.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Descartar la semejanza simplemente porque visualmente las letras no están en el mismo orden."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al ordenar, pasar el exponente de una letra a otra (ej. cambiar $a^2b$ a $ab^2$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"En la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿En qué propiedad matemática se basa el hecho de que el término $x^2y$ sea semejante al término $yx^2$? (v1)», la respuesta correcta es En la regla de los signos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"En la propiedad asociativa de la adición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **Orden Literal Distinto** es una confusión visual. Como las letras de un término se están multiplicando, la propiedad conmutativa aplica. Por lo tanto, $xy$ es **exactamente lo mismo** que $yx$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿En qué propiedad matemática se basa el hecho de que el término $x^2y$ sea semejante al término $yx^2$? (v1)
Las variables $x^2$ e $y$ se están multiplicando entre sí. Por la propiedad conmutativa, $x^2 \cdot y = y \cdot x^2$.
Respuesta: A) En la propiedad conmutativa de la multiplicación, que establece que el orden de los factores no altera el producto.
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¿En qué propiedad matemática se basa el hecho de que el término $x^2y$ sea semejante al término $yx^2$? (v3)
Las variables $x^2$ e $y$ se están multiplicando entre sí. Por la propiedad conmutativa, $x^2 \cdot y = y \cdot x^2$.
Respuesta: A) En la propiedad conmutativa de la multiplicación, que establece que el orden de los factores no altera el producto.
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¿En qué propiedad matemática se basa el hecho de que el término $x^2y$ sea semejante al término $yx^2$? (v2)
Las variables $x^2$ e $y$ se están multiplicando entre sí. Por la propiedad conmutativa, $x^2 \cdot y = y \cdot x^2$.
Respuesta: A) En la propiedad conmutativa de la multiplicación, que establece que el orden de los factores no altera el producto.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes opciones contiene un par de términos que SÍ son semejantes.
Reordenemos la opción A alfabéticamente: $-2p^3nm^2 \rightarrow -2m^2np^3$. Ahora es evidente que comparte el factor literal $m^2np^3$ con el primer término.
Respuesta: A) $7m^2np^3$ y $-2p^3nm^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si sumamos $3ab$ y $2ba$, el resultado es $5ab$?
Como $ba$ es lo mismo que $ab$, estamos sumando $3ab + 2ab$. Al ser semejantes, sumamos coeficientes: $3+2=5$, manteniendo el factor literal. Da $5ab$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si sumamos $3ab$ y $2ba$, el resultado es $5ab$?
Como $ba$ es lo mismo que $ab$, estamos sumando $3ab + 2ab$. Al ser semejantes, sumamos coeficientes: $3+2=5$, manteniendo el factor literal. Da $5ab$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si sumamos $3ab$ y $2ba$, el resultado es $5ab$?
Como $ba$ es lo mismo que $ab$, estamos sumando $3ab + 2ab$. Al ser semejantes, sumamos coeficientes: $3+2=5$, manteniendo el factor literal. Da $5ab$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La energía de dos sistemas físicos se describe por las ecuaciones $E_1 = 4m^2v$ y $E_2 = -3vm^2$. Si se requiere calcular la energía neta ($E_1 + E_2$), ¿cuál es la expresión reducida correcta? (v1)
$vm^2$ se reescribe como $m^2v$. Tenemos $4m^2v - 3m^2v$. Como son semejantes, restamos coeficientes: $4 - 3 = 1$. Queda $1m^2v$, que se escribe $m^2v$.
Respuesta: A) $m^2v$
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La energía de dos sistemas físicos se describe por las ecuaciones $E_1 = 4m^2v$ y $E_2 = -3vm^2$. Si se requiere calcular la energía neta ($E_1 + E_2$), ¿cuál es la expresión reducida correcta? (v2)
$vm^2$ se reescribe como $m^2v$. Tenemos $4m^2v - 3m^2v$. Como son semejantes, restamos coeficientes: $4 - 3 = 1$. Queda $1m^2v$, que se escribe $m^2v$.
Respuesta: A) $m^2v$
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La energía de dos sistemas físicos se describe por las ecuaciones $E_1 = 4m^2v$ y $E_2 = -3vm^2$. Si se requiere calcular la energía neta ($E_1 + E_2$), ¿cuál es la expresión reducida correcta? (v3)
$vm^2$ se reescribe como $m^2v$. Tenemos $4m^2v - 3m^2v$. Como son semejantes, restamos coeficientes: $4 - 3 = 1$. Queda $1m^2v$, que se escribe $m^2v$.
Respuesta: A) $m^2v$