Sustracción vertical mediante cambio de signos del sustraendo
Resumen inicial
La sustracción vertical mediante cambio de signos del sustraendo consiste en escribir el minuendo arriba y el sustraendo abajo con todos sus signos cambiados para sumar columna por columna.
Explicación en palabras simples
Para restar polinomios en forma vertical (por columnas):
- Paso 1: Escribir el polinomio minuendo en la fila superior, ordenado decrecientemente.
- Paso 2: Escribir el polinomio sustraendo en la fila inferior, pero CAMBIANDO EL SIGNO A CADA UNO DE SUS TÉRMINOS antes de colocarlo en su columna.
- Paso 3: Trazar la línea y sumar verticalmente los coeficientes de cada columna.
- Ejemplo: Restar $(3x^2 - 4x + 6)$ menos $(x^2 + 2x - 5)$:
- Minuendo arriba: $3x^2 - 4x + 6$.
- Sustraendo con signos cambiados abajo: $-x^2 - 2x + 5$.
$$\begin{array}{rcccl}
3x^2 & - & 4x & + & 6 \\
+ \; -1x^2 & - & 2x & + & 5 \\
\hline
\mathbf{2x^2} & \mathbf{-} & \mathbf{6x} & \mathbf{+} & \mathbf{11}
\end{array}$$
Explicación formal
Definición formal
Sea la sustracción $P(x) - Q(x)$ expresada en notación matricial por columnas asociadas a la base $\{x^n, \dots, 1\}$. El algoritmo de sustracción vertical por inversión explícita del sustraendo transforma la matriz del sustraendo mediante la aplicación del operador cambio de signo $\mathbf{C} = -\mathbf{I}$:
$$\begin{pmatrix} a_n & a_{n-1} & \dots & a_0 \\ \mathbf{-b_n} & \mathbf{-b_{n-1}} & \dots & \mathbf{-b_0} \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{Suma tabular}} \begin{pmatrix} a_n - b_n & a_{n-1} - b_{n-1} & \dots & a_0 - b_0 \end{pmatrix}$$
Garantía de Estructura por Columnas Semejantes
Cambiar los signos directamente en la fila del sustraendo convierte la resta en un algoritmo aditivo idéntico al de la suma vertical, asegurando que cada columna reduzca exactamente la misma potencia $x^k$.
Síntesis didáctica
Cambiar los signos en la segunda fila del arreglo vertical visibiliza el opuesto de cada término, evitando errores de distracción de doble signo.
La alternativa correcta es 'Se debe invertir el signo ($+$ a $-$ y viceversa) de todos y cada uno de sus términos'. Inversión de signos en la fila inferior.
Definiciones clave
- Sustracción vertical: Disposición en columnas donde la segunda fila corresponde al sustraendo con todos sus signos invertidos.
- Fila invertida (sustraendo opuesto): Modificación explícita de la signatura de la fila inferior previa al trazo de la línea de suma.
- Consolidación por columna: Suma aditiva final de los coeficientes del minuendo y del sustraendo ya cambiado de signo.
Propiedades y relaciones importantes
- Isomorfismo con la suma vertical: Tras cambiar los signos del sustraendo, el proceso de cálculo es exactamente el de una suma vertical.
- Preservación de exponentes: Las columnas representan potencias que permanecen intactas en la fila de respuesta.
Ejemplo guiado
Resta en forma vertical los polinomios $P = 5x^3 - 2x^2 + 8x - 3$ y $Q = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 7$.
- Paso 1: Escribimos el minuendo $P$ en la primera fila: $5x^3 - 2x^2 + 8x - 3$.
- Paso 2: Cambiamos los signos de todos los términos del sustraendo $Q$: - $+2x^3 \to -2x^3$ - $+4x^2 \to -4x^2$ - $-3x \to +3x$ - $+7 \to -7$.
- Paso 3: Alineamos verticalmente el sustraendo cambiado de signo en la segunda fila: $$\begin{array}{rcccc} 5x^3 & - & 2x^2 & + & 8x & - & 3 \\ + \; -2x^3 & - & 4x^2 & + & 3x & - & 7 \\ \hline \end{array}$$
- Paso 4: Sumamos la columna $x^3$: $5 - 2 = \mathbf{3x^3}$.
- Paso 5: Sumamos la columna $x^2$: $-2 - 4 = \mathbf{-6x^2}$.
- Paso 6: Sumamos la columna $x$: $+8 + 3 = \mathbf{+11x}$.
- Paso 7: Sumamos las Constantes: $-3 - 7 = \mathbf{-10}$.
- Conclusión: El polinomio diferencia es **$3x^3 - 6x^2 + 11x - 10$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $4x^2 + 8x$, al cambiar la segunda fila a $-2x^2 + 3x$ y sumar por columnas'. Fila inferior $-2x^2 + 3x \implies 4x^2 + 8x$.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir el polinomio minuendo en la primera fila alineado y ordenado por grados.
- Paso 2: Escribir el polinomio sustraendo en la segunda fila, invirtiendo el signo de cada término y alineándolo bajo su columna semejante.
- Paso 3: Si falta alguna potencia en el minuendo o en el sustraendo, dejar el espacio en blanco o escribir $0x^k$.
- Paso 4: Trazar una línea horizontal y sumar los coeficientes de cada columna vertical.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Excluir la inversión de los signos del sustraendo al escribir la segunda fila (escribir la segunda fila con los signos originales). Cómo corregirlo: La segunda fila DEBE LLEVAR LOS SIGNOS YA INVERTIDOS antes de trazar la línea de suma.
- Error 2: Restar los coeficientes después de haberles cambiado ya el signo (hacer doble cambio de signo). Cómo corregirlo: Una vez cambiados los signos de la segunda fila, SE PROCEDE A SUMAR DIRECTAMENTE.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Fila 1: $9a - 4b$.
- Fila 2 (invertida): $-3a - 2b$.
- Suma de columnas: $6a - 6b$.
- Fila 1: $4x^2 - 1$.
- Fila 2 (invertida): $+2x^2 - 5$.
- Suma: $6x^2 - 6$.
- Sí, no existen reservas entre columnas algebraicas.
- Sí, el cambio de signos transforma la resta en suma.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Realizar la sustracción de polinomios mediante una disposición ordenada en columnas verticales.
Disponer el minuendo en la fila superior, escribir debajo el sustraendo con todos sus signos invertidos y sumar columna por columna.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al restar $(8x - 3) - (5x + 2)$ por el método vertical, ¿qué se hace con el sustraendo $(5x + 2)$ antes de sumar? (v3)
Restar es sumar el opuesto. Invertimos todos los signos del sustraendo.
Respuesta: A) Se invierte el signo de todos sus términos, convirtiéndolo en $(-5x - 2)$.
-
Al restar $(8x - 3) - (5x + 2)$ por el método vertical, ¿qué se hace con el sustraendo $(5x + 2)$ antes de sumar? (v1)
Restar es sumar el opuesto. Invertimos todos los signos del sustraendo.
Respuesta: A) Se invierte el signo de todos sus términos, convirtiéndolo en $(-5x - 2)$.
-
Al restar $(8x - 3) - (5x + 2)$ por el método vertical, ¿qué se hace con el sustraendo $(5x + 2)$ antes de sumar? (v2)
Restar es sumar el opuesto. Invertimos todos los signos del sustraendo.
Respuesta: A) Se invierte el signo de todos sus términos, convirtiéndolo en $(-5x - 2)$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Resta verticalmente: $(6n^2 + 4n - 1) - (2n^2 - n + 3)$.
Opuesto del sustraendo: $-2n^2+n-3$. Sumamos: $n^2: 6-2=4$. $n: 4+1=5$. Constante: $-1-3=-4$. Resultado: $4n^2+5n-4$.
Respuesta: A) $4n^2 + 5n - 4$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿La sustracción $(4x + 3) - (4x + 3)$ da siempre como resultado el polinomio cero?
Restar un polinomio consigo mismo: $(4x+3) + (-4x-3) = 0$. Cualquier polinomio menos sí mismo es cero.
Respuesta: Verdadero
-
¿La sustracción $(4x + 3) - (4x + 3)$ da siempre como resultado el polinomio cero?
Restar un polinomio consigo mismo: $(4x+3) + (-4x-3) = 0$. Cualquier polinomio menos sí mismo es cero.
Respuesta: Verdadero
-
¿La sustracción $(4x + 3) - (4x + 3)$ da siempre como resultado el polinomio cero?
Restar un polinomio consigo mismo: $(4x+3) + (-4x-3) = 0$. Cualquier polinomio menos sí mismo es cero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El ingreso de una empresa en el primer semestre fue $I = 10000p + 500$ y sus gastos fueron $G = 7000p - 200$. ¿Cuál es la utilidad neta (Ingreso - Gastos)? (v2)
Utilidad $= I - G = (10000p+500) - (7000p-200)$. Opuesto de $G$: $-7000p+200$. Suma: $(10000-7000)p + (500+200) = 3000p+700$.
Respuesta: A) $3000p + 700$
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El ingreso de una empresa en el primer semestre fue $I = 10000p + 500$ y sus gastos fueron $G = 7000p - 200$. ¿Cuál es la utilidad neta (Ingreso - Gastos)? (v3)
Utilidad $= I - G = (10000p+500) - (7000p-200)$. Opuesto de $G$: $-7000p+200$. Suma: $(10000-7000)p + (500+200) = 3000p+700$.
Respuesta: A) $3000p + 700$
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El ingreso de una empresa en el primer semestre fue $I = 10000p + 500$ y sus gastos fueron $G = 7000p - 200$. ¿Cuál es la utilidad neta (Ingreso - Gastos)? (v1)
Utilidad $= I - G = (10000p+500) - (7000p-200)$. Opuesto de $G$: $-7000p+200$. Suma: $(10000-7000)p + (500+200) = 3000p+700$.
Respuesta: A) $3000p + 700$