Operación combinada de polinomios
Resolver expresiones algebraicas que combinan adición y sustracción de varios polinomios.
Introducción
Las operaciones algebraicas rara vez se presentan de una en una. En una expresión real, puede haber que sumar y restar varios polinomios en secuencia. La clave es resolver en orden, convirtiendo siempre las restas en sumas del opuesto.
Explicación
Definición formal
El signo $-$ exterior al paréntesis de C actúa como distribuidor, invirtiendo todos sus signos internos.
Desarrollo didáctico
Simplifica: $(3x^2 - x) + (x^2 + 4) - (2x^2 - 3x + 1)$.
Eliminamos los agrupadores con sus reglas:
- El $+$ no cambia nada: $3x^2 - x + x^2 + 4$.
- El $-$ invierte el último: $-2x^2 + 3x - 1$.
Juntos: $3x^2 - x + x^2 + 4 - 2x^2 + 3x - 1$.
Reducimos por familias:
- $x^2$: $3 + 1 - 2 = 2x^2$.
- $x$: $-1 + 3 = 2x$.
- Constante: $4 - 1 = 3$.
Resultado: $2x^2 + 2x + 3$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica todos los signos que preceden a cada paréntesis.
- Paso 2: Elimina los paréntesis: conserva los signos si el exterior es $+$, invierte si es $-$.
- Paso 3: Agrupa por familias.
- Paso 4: Reduce cada familia.
Ejemplos
1 Simplifica: (5a + 3) - (2a - 1) + (a + 4).
- + (5a+3): 5a+3.
- - (2a-1): -2a+1.
- + (a+4): a+4.
- Junto: 5a+3-2a+1+a+4.
- Familia a: 5-2+1=4a. Constante: 3+1+4=8.
- Resultado: 4a+8.
2 El saldo de una cuenta bancaria se modifica: al saldo inicial $S = 5000t$ se suma el depósito $(2000t + 300)$ y se restan los retiros $(3000t - 100)$. ¿Cuál es el saldo final? (v1) Opciones: A) $4000t + 400$ · B) $4000t - 400$ · C) $10000t + 400$ · D) $4000t + 200$
- $S = 5000t + (2000t+300) - (3000t-100)$. Eliminamos: $5000t+2000t+300-3000t+100$. $t$: $5000+2000-3000=4000t$. Cte: $300+100=400$. Resultado: $4000t+400$.
- Respuesta: $4000t + 400$
3 Respecto de «Operación combinada de polinomios»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «En una **Operación Combinada** con polinomios, se procesa cada signo entre ellos: los $+$ no alteran los signos interiores, los $-$ invierten todos los signos del polinomio que sigue»
- La afirmación coincide con la definición formal: En una **Operación Combinada** con polinomios, se procesa cada signo entre ellos: los $+$ no alteran los signos interiores, los $-$ invierten todos los signos del polinomio que sigue.
4 Respecto de «Operación combinada de polinomios»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Al haber múltiples signos externos, invertir solo los del primer signo negativo y olvidar los siguientes»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: En una **Operación Combinada** con polinomios, se procesa cada signo entre ellos: los $+$ no alteran los signos interiores, los $-$ invierten todos los signos del polinomio que sigue.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Al haber múltiples signos externos, invertir solo los del primer signo negativo y olvidar los siguientes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No reducir completamente, dejando términos semejantes sin agrupar en el resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «En la expresión $(A) + (B) - (C)$, donde A, B y C son polinomios, ¿qué le ocurre a los términos de C al eliminar el paréntesis? (v1)», la respuesta correcta es Sus signos se conservan igual que los de A y B."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «En la expresión $(A) + (B) - (C)$, donde A, B y C son polinomios, ¿qué le ocurre a los términos de C al eliminar el paréntesis? (v1)», la respuesta correcta es Se multiplican por el coeficiente de B."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No cambia nada porque los paréntesis no afectan signos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En una **Operación Combinada** con polinomios, se procesa cada signo entre ellos: los $+$ no alteran los signos interiores, los $-$ invierten todos los signos del polinomio que sigue.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En la expresión $(A) + (B) - (C)$, donde A, B y C son polinomios, ¿qué le ocurre a los términos de C al eliminar el paréntesis? (v3)
El signo $-$ exterior al paréntesis de C actúa como distribuidor, invirtiendo todos sus signos internos.
Respuesta: A) Todos sus signos se invierten, porque el signo exterior es $-$.
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En la expresión $(A) + (B) - (C)$, donde A, B y C son polinomios, ¿qué le ocurre a los términos de C al eliminar el paréntesis? (v2)
El signo $-$ exterior al paréntesis de C actúa como distribuidor, invirtiendo todos sus signos internos.
Respuesta: A) Todos sus signos se invierten, porque el signo exterior es $-$.
-
En la expresión $(A) + (B) - (C)$, donde A, B y C son polinomios, ¿qué le ocurre a los términos de C al eliminar el paréntesis? (v1)
El signo $-$ exterior al paréntesis de C actúa como distribuidor, invirtiendo todos sus signos internos.
Respuesta: A) Todos sus signos se invierten, porque el signo exterior es $-$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Simplifica: $(4m^2 + 3m - 1) - (m^2 - 2m + 5) + (2m^2 - m)$.
Eliminamos paréntesis: $4m^2+3m-1-m^2+2m-5+2m^2-m$. $m^2$: $4-1+2=5$. $m$: $3+2-1=4$. Cte: $-1-5=-6$. Resultado: $5m^2+4m-6$.
Respuesta: A) $5m^2 + 4m - 6$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿La operación $(2x + 1) + (x - 3) - (3x - 2)$ resulta en $0$?
Eliminamos: $2x+1+x-3-3x+2$. $x$: $2+1-3=0$. Cte: $1-3+2=0$. Resultado: $0$.
Respuesta: Verdadero
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¿La operación $(2x + 1) + (x - 3) - (3x - 2)$ resulta en $0$?
Eliminamos: $2x+1+x-3-3x+2$. $x$: $2+1-3=0$. Cte: $1-3+2=0$. Resultado: $0$.
Respuesta: Verdadero
-
¿La operación $(2x + 1) + (x - 3) - (3x - 2)$ resulta en $0$?
Eliminamos: $2x+1+x-3-3x+2$. $x$: $2+1-3=0$. Cte: $1-3+2=0$. Resultado: $0$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El saldo de una cuenta bancaria se modifica: al saldo inicial $S = 5000t$ se suma el depósito $(2000t + 300)$ y se restan los retiros $(3000t - 100)$. ¿Cuál es el saldo final? (v1)
$S = 5000t + (2000t+300) - (3000t-100)$. Eliminamos: $5000t+2000t+300-3000t+100$. $t$: $5000+2000-3000=4000t$. Cte: $300+100=400$. Resultado: $4000t+400$.
Respuesta: A) $4000t + 400$
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El saldo de una cuenta bancaria se modifica: al saldo inicial $S = 5000t$ se suma el depósito $(2000t + 300)$ y se restan los retiros $(3000t - 100)$. ¿Cuál es el saldo final? (v2)
$S = 5000t + (2000t+300) - (3000t-100)$. Eliminamos: $5000t+2000t+300-3000t+100$. $t$: $5000+2000-3000=4000t$. Cte: $300+100=400$. Resultado: $4000t+400$.
Respuesta: A) $4000t + 400$
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El saldo de una cuenta bancaria se modifica: al saldo inicial $S = 5000t$ se suma el depósito $(2000t + 300)$ y se restan los retiros $(3000t - 100)$. ¿Cuál es el saldo final? (v3)
$S = 5000t + (2000t+300) - (3000t-100)$. Eliminamos: $5000t+2000t+300-3000t+100$. $t$: $5000+2000-3000=4000t$. Cte: $300+100=400$. Resultado: $4000t+400$.
Respuesta: A) $4000t + 400$