Supresión de agrupación precedida por signo negativo
Resumen inicial
La supresión de agrupación precedida por signo negativo consiste en eliminar los delimitadores invirtiendo obligatoriamente el signo de todos y cada uno de los términos encerrados en su interior.
Explicación en palabras simples
Cuando un signo de agrupación (paréntesis, corchete o llave) está precedido por un signo negativo ($-$):
- REGLA DE ORO: El signo $-$ se elimina junto con el paréntesis, pero OBLIGA A CAMBIAR EL SIGNO DE TODOS LOS TÉRMINOS DE ADENTRO (de $+$ a $-$ y de $-$ a $+$).
- Pasos:
1. Borras el signo $-$ antecedente y las marcas del paréntesis.
2. Cambias el signo de CADA TÉRMINO que estaba dentro del paréntesis.
3. Reduces los términos semejantes resultantes.
- Ejemplo: Eliminar paréntesis en $8x - (3x - 5y + 2)$:
- El $+3x$ de adentro se convierte en $\mathbf{-3x}$.
- El $-5y$ de adentro se convierte en $\mathbf{+5y}$.
- El $+2$ de adentro se convierte en $\mathbf{-2}$.
- Queda: $8x - 3x + 5y - 2$.
- Reducimos la clase $x$: $5x + 5y - 2$.
Explicación formal
Definición formal
Sea $- \mathcal{D}(A)$ una subexpresión delimitada por $\mathcal{D} \in \{ (), [], \{\} \}$ precedida por el operador aditivo de inversión $-1$. Por la propiedad distributiva del producto escalar $-1 \cdot T$ sobre cada monomio $T_i \in A$:
$$- \big( T_1 + T_2 - T_3 \big) = -1 \cdot T_1 + -1 \cdot T_2 + -1 \cdot (-T_3) = -T_1 - T_2 + T_3$$
Inversión Estricta de Signos
La aplicación del signo negativo antecedente actúa como el operador de negación aditiva $\operatorname{Neg}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$:
$$\operatorname{sgn}(\text{término}_i \text{ liberado}) = -\operatorname{sgn}(\text{término}_i \text{ encerrado}) \quad \forall i$$
Síntesis didáctica
La supresión con signo negativo exige una atención rigurosa para no omitir el cambio de signo en el segundo término ni en las constantes subsecuentes.
La alternativa correcta es 'Todos los términos de adentro cambian obligatoriamente de signo (de $+$ a $-$ y de $-$ a $+$)'. Inversión estricta de la signatura.
Definiciones clave
- Supresión con signo negativo: Eliminación del delimitador invirtiendo la signatura de todos los términos contenidos.
- Inversión aditiva ($-1 \cdot A$): Operación distributiva que transforma positivos en negativos y viceversa.
- Término inicial implícito positivo: Al suprimir $-(a - b)$, la letra $a$ (positiva interna) sale como $-a$.
Propiedades y relaciones importantes
- Negación distributiva: $-(A + B - C) = -A - B + C$.
- Involución del signo menos: $-(-A) = +A$.
Ejemplo guiado
Elimina los signos de agrupación y reduce la expresión: $12m - (4m - 7n + 3) - 2n$.
- Paso 1: Identificamos que el paréntesis está precedido por un signo $- \implies -(4m - 7n + 3)$.
- Paso 2: Eliminamos el signo negativo antecedente y los paréntesis invirtiendo el signo de TODOS los términos internos: - $+4m \to -4m$ - $-7n \to +7n$ - $+3 \to -3$.
- Paso 3: Escribimos la expresión desarmada: $12m - 4m + 7n - 3 - 2n$.
- Paso 4: Agrupamos y reducimos la Clase $m$: $12m - 4m = \mathbf{8m}$.
- Paso 5: Agrupamos y reducimos la Clase $n$: $+7n - 2n = \mathbf{+5n}$.
- Paso 6: Copiamos la constante $\mathbf{-3}$.
- Conclusión: La expresión reducida es **$8m + 5n - 3$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $5x - 2x + 8$, que se reduce a $3x + 8$'. Inversión de signos: $- (2x - 8) = -2x + 8 \implies 5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar que el signo de agrupación esté inmediatamente precedido por un signo menos ($-$).
- Paso 2: Borrar el signo menos antecedente y las marcas del paréntesis de apertura y cierre.
- Paso 3: Escribir cada uno de los términos encerrados invirtiendo su signo ($+$ pasa a $-$, y $-$ pasa a $+$).
- Paso 4: Reducir los términos semejantes de la expresión resultante.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Cambiar el signo del primer término pero mantener el signo del segundo (escribir $-(a - b) = -a - b$). Cómo corregirlo: El signo menos AFECTA A TODOS LOS TÉRMINOS ($-a + b$).
- Error 2: Mantener el signo menos antecedente fuera del paréntesis tras invertir los signos internos. Cómo corregirlo: El signo menos antecedente DESAPARECE AL DISTRIBUIRSE JUNTO CON EL PARÉNTESIS.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Inversión de signos: $+3x \to -3x$ y $+4y \to -4y$.
- Resultado: $-3x - 4y$.
- Inversión: $+a \to -a$ y $-6 \to +6$.
- Resultado: $-a + 6$.
- Sí, $10x - 4x + 3x = 9x$.
- Sí, $-(-5y) = +5y$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Eliminar signos de agrupación precedidos por un signo menos $(-)$.
Distribuir el factor $(-1)$ invirtiendo obligatoriamente el signo de todos y cada uno de los términos interiores $-(a - b + c) = -a + b - c$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al eliminar el paréntesis en la expresión $-(+2x - 5y + 3z)$, ¿qué resultado se obtiene? (v1)
El $-$ exterior invierte cada signo: $-(+2x)=-2x$, $-(-5y)=+5y$, $-(+3z)=-3z$.
Respuesta: A) $-2x + 5y - 3z$
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Al eliminar el paréntesis en la expresión $-(+2x - 5y + 3z)$, ¿qué resultado se obtiene? (v2)
El $-$ exterior invierte cada signo: $-(+2x)=-2x$, $-(-5y)=+5y$, $-(+3z)=-3z$.
Respuesta: A) $-2x + 5y - 3z$
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Al eliminar el paréntesis en la expresión $-(+2x - 5y + 3z)$, ¿qué resultado se obtiene? (v3)
El $-$ exterior invierte cada signo: $-(+2x)=-2x$, $-(-5y)=+5y$, $-(+3z)=-3z$.
Respuesta: A) $-2x + 5y - 3z$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Elimina el paréntesis y simplifica: $9b - (4b + 2 - b)$.
Invertimos signos internos: $9b - 4b - 2 + b$. Reducimos familia $b$: $(9-4+1)b = 6b$. Constante: $-2$. Resultado: $6b - 2$.
Respuesta: A) $6b - 2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Al eliminar el paréntesis en $5 - (x - 3)$, la expresión resultante es $5 - x + 3 = 8 - x$?
El $-$ exterior invierte los signos: $-(+x)=-x$ y $-(-3)=+3$. Queda: $5 - x + 3 = 8 - x$.
Respuesta: Verdadero
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¿Al eliminar el paréntesis en $5 - (x - 3)$, la expresión resultante es $5 - x + 3 = 8 - x$?
El $-$ exterior invierte los signos: $-(+x)=-x$ y $-(-3)=+3$. Queda: $5 - x + 3 = 8 - x$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Al eliminar el paréntesis en $5 - (x - 3)$, la expresión resultante es $5 - x + 3 = 8 - x$?
El $-$ exterior invierte los signos: $-(+x)=-x$ y $-(-3)=+3$. Queda: $5 - x + 3 = 8 - x$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La temperatura de un reactor se modela como $T = 80 - (15 - 5t + 2)$. ¿Cuál es la expresión simplificada? (v2)
Invertimos signos: $-(+15)=-15$, $-(-5t)=+5t$, $-(+2)=-2$. Queda: $80 - 15 + 5t - 2$. Constantes: $80-15-2=63$. Resultado: $63+5t$.
Respuesta: A) $63 + 5t$
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La temperatura de un reactor se modela como $T = 80 - (15 - 5t + 2)$. ¿Cuál es la expresión simplificada? (v3)
Invertimos signos: $-(+15)=-15$, $-(-5t)=+5t$, $-(+2)=-2$. Queda: $80 - 15 + 5t - 2$. Constantes: $80-15-2=63$. Resultado: $63+5t$.
Respuesta: A) $63 + 5t$
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La temperatura de un reactor se modela como $T = 80 - (15 - 5t + 2)$. ¿Cuál es la expresión simplificada? (v1)
Invertimos signos: $-(+15)=-15$, $-(-5t)=+5t$, $-(+2)=-2$. Queda: $80 - 15 + 5t - 2$. Constantes: $80-15-2=63$. Resultado: $63+5t$.
Respuesta: A) $63 + 5t$