Reducción de términos semejantes con igual signo
Resumen inicial
La reducción de términos semejantes con igual signo consiste en sumar los valores absolutos de los coeficientes numéricos, conservar el signo común y mantener inalterado el factor literal.
Explicación en palabras simples
Para reducir dos o más términos semejantes que tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos):
- Paso 1: Sumar los coeficientes numéricos en valor absoluto.
- Paso 2: Conservar el signo común delante del resultado ($+$ si eran positivos, $-$ si eran negativos).
- Paso 3: Conservar el mismo factor literal (las letras y sus exponentes no cambian).
- Ejemplo 1 (Positivos): $4x + 9x$
- Sumamos coeficientes: $4 + 9 = 13$.
- Signo común: $+$.
- Resultado: $13x$.
- Ejemplo 2 (Negativos): $-5a^2 - 3a^2$
- Sumamos coeficientes: $5 + 3 = 8$.
- Signo común: $-$.
- Resultado: $-8a^2$.
Explicación formal
Definición formal
Sea $\mathcal{T} = \{c_1 M, c_2 M, \dots, c_k M\}$ un conjunto de monomios semejantes que comparten el factor literal $M = \prod x_i^{a_i}$, donde todos los coeficientes $c_i \in \mathbb{R}$ poseen la misma signatura ($\operatorname{sgn}(c_i) = \sigma \in \{-1, +1\}$). Por la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición en $\mathbb{R}$:
$$\sum_{i=1}^k c_i M = \left( \sum_{i=1}^k c_i \right) M = \sigma \left( \sum_{i=1}^k |c_i| \right) M$$
Principio de Invarianza del Factor Literal
La reducción aditiva opera de forma exclusiva sobre el cuerpo de coeficientes $\mathbb{R}$, dejando estrictamente invariante el espacio de potencias del factor literal $M$:
$$\deg_{x_j}\left( \sum_{i=1}^k c_i M \right) = \deg_{x_j}(M) = a_j \quad \forall j$$
Síntesis didáctica
Reducir términos de igual signo es la base de la acumulación de magnitudes físicas idénticas y simplificación de expresiones polinómicas.
La alternativa correcta es 'Los exponentes se mantienen exactamente iguales sin alteración alguna'. Invarianza del factor literal.
Definiciones clave
- Reducción por mismo signo: Adición algebraica de coeficientes con igual signatura conservando la parte literal.
- Signo común ($\sigma$): Orientación positiva ($+$) o negativa ($-$) compartida por todos los términos a reducir.
- Factor literal invariante: Preservación sin cambios de las variables y sus exponentes en el término resultante.
Propiedades y relaciones importantes
- Acumulación de magnitud: Al reducir términos de igual signo, el valor absoluto del coeficiente resultante es estrictamente mayor que el de cualquiera de los términos individuales ($|\sum c_i| > |c_j|$).
- Distribución hacia la izquierda: Factorización implícita del factor literal común: $c_1 M + c_2 M = (c_1 + c_2)M$.
Ejemplo guiado
Reduce la expresión $-7x^3 y^2 - 12x^3 y^2 - 5x^3 y^2$.
- Paso 1: Verificamos la semejanza de los términos: Todos comparten el factor literal $x^3 y^2$.
- Paso 2: Verificamos los signos de los coeficientes: $-7, -12, -5$ son todos negativos (mismo signo).
- Paso 3: Sumamos los valores absolutos de los coeficientes: $7 + 12 + 5 = 24$.
- Paso 4: Asignamos el signo negativo común al resultado: $-24$.
- Paso 5: Agregamos el factor literal sin alterar sus exponentes: $-24x^3 y^2$.
- Conclusión: La expresión reducida es **$-24x^3 y^2$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $-10a^2$, sumando $6 + 4 = 10$ y conservando el signo negativo'. Suma de coeficientes negativos $-6 - 4 = -10$.
Procedimiento
- Paso 1: Confirmar que todos los términos compartan idéntico factor literal.
- Paso 2: Comprobar que todos los coeficientes numéricos tengan la misma signatura (todos $+$ o todos $-$).
- Paso 3: Sumar los valores absolutos de los coeficientes.
- Paso 4: Escribir el resultado con el signo común acompañado del factor literal original.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar los exponentes de las variables al reducir los términos (escribir $4x^2 + 5x^2 = 9x^4$). Cómo corregirlo: La reducción NO CAMBIA LOS EXPONENTES ($4x^2 + 5x^2 = 9x^2$); la suma de exponentes es sólo para multiplicaciones.
- Error 2: Aplicar la regla de signos de la multiplicación y cambiar dos negativos a positivo (escribir $-3a - 4a = +7a$). Cómo corregirlo: En la suma de negativos EL SIGNO PERMANECE NEGATIVO ($-3 - 4 = -7$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Coeficientes: $8 + 15 = 23$.
- Mismo signo y factor literal: $23m$.
- Suma de negativos: $-9 - 7 = -16$.
- Mantiene exponente: $-16p^3$.
- Sí, $2 + 5 + 3 = 10 \implies 10x$.
- Sí, el factor literal $y^5$ no sufre modificación.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Reducir monomios semejantes que comparten el mismo signo algebraico.
Sumar los valores absolutos de los coeficientes, anteponer el signo común $(+ \text{ o } -)$ y conservar intacto el factor literal $aX + bX = (a+b)X$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al reducir varios términos semejantes con el mismo signo positivo, ¿cuál es la operación que se realiza con sus coeficientes? (v2)
La reducción de semejantes es una suma de coeficientes. El factor literal no cambia.
Respuesta: A) Se suman los coeficientes y se conserva el factor literal.
-
Al reducir varios términos semejantes con el mismo signo positivo, ¿cuál es la operación que se realiza con sus coeficientes? (v3)
La reducción de semejantes es una suma de coeficientes. El factor literal no cambia.
Respuesta: A) Se suman los coeficientes y se conserva el factor literal.
-
Al reducir varios términos semejantes con el mismo signo positivo, ¿cuál es la operación que se realiza con sus coeficientes? (v1)
La reducción de semejantes es una suma de coeficientes. El factor literal no cambia.
Respuesta: A) Se suman los coeficientes y se conserva el factor literal.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Reduce la expresión $-3m - 8m - m$.
Todos los términos son de la familia $m$ y todos son negativos. Sumamos los valores absolutos: $3+8+1=12$. El resultado conserva el signo negativo: $-12m$.
Respuesta: A) $-12m$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿La reducción de $5xy + 3xy + xy$ resulta en $9xy$?
El término $xy$ sin coeficiente visible lleva coeficiente 1. Sumamos: $5+3+1=9$. Resultado: $9xy$.
Respuesta: Verdadero
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¿La reducción de $5xy + 3xy + xy$ resulta en $9xy$?
El término $xy$ sin coeficiente visible lleva coeficiente 1. Sumamos: $5+3+1=9$. Resultado: $9xy$.
Respuesta: Verdadero
-
¿La reducción de $5xy + 3xy + xy$ resulta en $9xy$?
El término $xy$ sin coeficiente visible lleva coeficiente 1. Sumamos: $5+3+1=9$. Resultado: $9xy$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un almacén recibe tres partidas de cajas del mismo tipo: $12c$ cajas en la mañana, $20c$ al mediodía y $8c$ en la tarde. ¿Cuántas cajas totales de ese tipo hay en el almacén al final del día? (v3)
Todas son del tipo $c$ y positivas. Sumamos coeficientes: $12+20+8=40$. Total: $40c$.
Respuesta: A) $40c$
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Un almacén recibe tres partidas de cajas del mismo tipo: $12c$ cajas en la mañana, $20c$ al mediodía y $8c$ en la tarde. ¿Cuántas cajas totales de ese tipo hay en el almacén al final del día? (v1)
Todas son del tipo $c$ y positivas. Sumamos coeficientes: $12+20+8=40$. Total: $40c$.
Respuesta: A) $40c$
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Un almacén recibe tres partidas de cajas del mismo tipo: $12c$ cajas en la mañana, $20c$ al mediodía y $8c$ en la tarde. ¿Cuántas cajas totales de ese tipo hay en el almacén al final del día? (v2)
Todas son del tipo $c$ y positivas. Sumamos coeficientes: $12+20+8=40$. Total: $40c$.
Respuesta: A) $40c$