Reducción de dos términos semejantes con signos opuestos
Resumen inicial
La reducción de dos términos semejantes con signos opuestos consiste en restar el menor del mayor en valor absoluto, asignar al resultado el signo del coeficiente de mayor valor absoluto y mantener el factor literal.
Explicación en palabras simples
Para reducir dos términos semejantes que tienen signos opuestos (uno positivo y uno negativo):
- Paso 1: Restar el coeficiente de menor valor absoluto del coeficiente de mayor valor absoluto.
- Paso 2: Asignar el signo del coeficiente que tenga mayor valor absoluto.
- Paso 3: Conservar el factor literal idéntico.
- Caso Especial (Cancelación): Si los coeficientes son opuestos exactos (ej: $5x$ y $-5x$), el resultado es $0$.
- Ejemplo 1: $9x - 4x$
- Restamos: $9 - 4 = 5$.
- Signo del mayor ($9$ es positivo): $+$.
- Resultado: $5x$.
- Ejemplo 2: $-12a^2 + 5a^2$
- Restamos: $12 - 5 = 7$.
- Signo del mayor ($12$ es negativo): $-$.
- Resultado: $-7a^2$.
Explicación formal
Definición formal
Sean $T_1 = c_1 M$ y $T_2 = c_2 M$ dos monomios semejantes de coeficientes no nulos con signos opuestos ($\operatorname{sgn}(c_1) = -\operatorname{sgn}(c_2)$). La reducción aditiva viene dada por la diferencia de magnitudes ajustada por la signatura dominante:
$$c_1 M + c_2 M = (c_1 + c_2) M = \operatorname{sgn}(c_{\max}) \cdot \Big| |c_1| - |c_2| \Big| \cdot M$$
donde $c_{\max} = \arg\max_{c \in \{c_1, c_2\}} |c|$.
Elemento Neutro y Cancelación de Opuestos Aditivos
Si los coeficientes son inversos aditivos exactos ($c_1 = -c_2 \iff c_1 + c_2 = 0$):
$$c_1 M + (-c_1 M) = (c_1 - c_1) M = 0 \cdot M = 0$$
Síntesis didáctica
La reducción con signos opuestos es el mecanismo de balance nulo en ecuaciones de primer grado y conservación de energía.
La alternativa correcta es 'El resultado es cero ($0$), por la propiedad del inverso aditivo'. Cancelación $7 - 7 = 0$.
Definiciones clave
- Reducción por signos opuestos: Sustracción de magnitudes absolutas entre dos coeficientes de distinta signatura.
- Signo del mayor valor absoluto: Criterio por el cual el resultado hereda el signo de la constante de mayor tamaño.
- Cancelación aditiva ($c M - c M = 0$): Anulación completa del término cuando los coeficientes son opuestos exactos.
Propiedades y relaciones importantes
- Disminución de magnitud: El valor absoluto del coeficiente resultante es estrictamente menor que el mayor de los coeficientes iniciales ($|c_1 + c_2| < \max(|c_1|, |c_2|)$).
- Simetría de cancelación: $A - A = 0$ para cualquier término algebraico $A$.
Ejemplo guiado
Reduce la expresión $8x^2 y - 15x^2 y$.
- Paso 1: Verificamos la semejanza: Ambos términos poseen el factor literal $x^2 y$.
- Paso 2: Identificamos los signos: $+8$ y $-15$ (signos opuestos).
- Paso 3: Restamos los valores absolutos: $15 - 8 = 7$.
- Paso 4: Determinamos el signo del coeficiente de mayor valor absoluto: $|-15| = 15 > 8 = |8| \implies$ Signo negativo $-$.
- Paso 5: Escribimos el coeficiente final con el factor literal: $-7x^2 y$.
- Conclusión: La expresión reducida es **$-7x^2 y$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $+6m$, porque se resta $16 - 10 = 6$ y se conserva el signo del mayor ($+16$)'. Resta $16 - 10 = +6$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar que los dos términos compartan el mismo factor literal.
- Paso 2: Restar los valores absolutos de los coeficientes (mayor menos menor).
- Paso 3: Asignar al número obtenido el signo del coeficiente que tiene mayor valor absoluto.
- Paso 4: Adjuntar el factor literal sin modificar sus potencias.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar los coeficientes en lugar de restarlos cuando tienen signos opuestos (escribir $-8x + 3x = -11x$). Cómo corregirlo: Al tener signos opuestos SE DEBEN RESTAR ($8 - 3 = 5 \implies -5x$).
- Error 2: Poner siempre signo positivo por la regla de menos por más. Cómo corregirlo: En la resta SE HEREDA EL SIGNO DEL MAYOR EN VALOR ABSOLUTO, no se usa la regla de signos del producto.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Resta: $12 - 5 = 7$.
- Signo de $+12 \implies +7a$.
- Resta: $11 - 4 = 7$.
- Signo de $-11 \implies -7x^2$.
- Sí, $-9 + 9 = 0 \implies 0 \cdot y^4 = 0$.
- Sí, $-x$ tiene coeficiente $-1 \implies -1 + 6 = +5x$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Reducir pares de términos semejantes con signos contrarios.
Restar el coeficiente menor del mayor en valor absoluto $|a| - |b|$, asignando al resultado el signo del coeficiente de mayor magnitud.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al reducir dos términos semejantes con signos opuestos como $8n - 3n$, ¿cómo se determina el signo del resultado? (v1)
El signo del ganador (mayor valor absoluto) es el que prevalece.
Respuesta: A) El resultado toma el signo del término con mayor coeficiente en valor absoluto.
-
Al reducir dos términos semejantes con signos opuestos como $8n - 3n$, ¿cómo se determina el signo del resultado? (v3)
El signo del ganador (mayor valor absoluto) es el que prevalece.
Respuesta: A) El resultado toma el signo del término con mayor coeficiente en valor absoluto.
-
Al reducir dos términos semejantes con signos opuestos como $8n - 3n$, ¿cómo se determina el signo del resultado? (v2)
El signo del ganador (mayor valor absoluto) es el que prevalece.
Respuesta: A) El resultado toma el signo del término con mayor coeficiente en valor absoluto.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Reduce: $-13y + 5y$.
Restamos valores absolutos: $13-5=8$. El mayor valor absoluto es $13$ (negativo). Resultado: $-8y$.
Respuesta: A) $-8y$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿La reducción de $4a - 4a$ resulta en $8a$?
Tienen signos opuestos e igual valor absoluto. Se anulan mutuamente: $4-4=0$. El resultado es $0$ (el término desaparece por completo).
Respuesta: Falso
-
¿La reducción de $4a - 4a$ resulta en $8a$?
Tienen signos opuestos e igual valor absoluto. Se anulan mutuamente: $4-4=0$. El resultado es $0$ (el término desaparece por completo).
Respuesta: Falso
-
¿La reducción de $4a - 4a$ resulta en $8a$?
Tienen signos opuestos e igual valor absoluto. Se anulan mutuamente: $4-4=0$. El resultado es $0$ (el término desaparece por completo).
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Una empresa tiene activos valorizados en $25k$ millones y pasivos de $18k$ millones. ¿Cuál es el patrimonio neto? (v2)
Activos menos pasivos: $25k - 18k$. Términos semejantes con signos opuestos. $25-18=7$. El mayor es positivo: patrimonio = $7k$.
Respuesta: A) $7k$
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Una empresa tiene activos valorizados en $25k$ millones y pasivos de $18k$ millones. ¿Cuál es el patrimonio neto? (v3)
Activos menos pasivos: $25k - 18k$. Términos semejantes con signos opuestos. $25-18=7$. El mayor es positivo: patrimonio = $7k$.
Respuesta: A) $7k$
-
Una empresa tiene activos valorizados en $25k$ millones y pasivos de $18k$ millones. ¿Cuál es el patrimonio neto? (v1)
Activos menos pasivos: $25k - 18k$. Términos semejantes con signos opuestos. $25-18=7$. El mayor es positivo: patrimonio = $7k$.
Respuesta: A) $7k$