Adición de polinomios en forma horizontal
Resumen inicial
La adición de polinomios en forma horizontal consiste en disponer las expresiones consecutivas unidas por signos más, suprimir paréntesis conservando los signos y reducir los términos semejantes.
Explicación en palabras simples
Para sumar dos o más polinomios en forma horizontal:
- Paso 1: Escribir la suma de los polinomios encerrados entre paréntesis y separados por signos $+$.
- Ej: $(3x^2 + 5x - 2) + (2x^2 - 4x + 7)$.
- Paso 2: Suprimir los paréntesis respetando que el signo $+$ antecedente mantiene intactos todos los signos de adentro.
- Queda: $3x^2 + 5x - 2 + 2x^2 - 4x + 7$.
- Paso 3: Agrupar y reducir los términos semejantes por clases de potencia:
- Clase $x^2$: $3x^2 + 2x^2 = \mathbf{5x^2}$.
- Clase $x$: $5x - 4x = \mathbf{+x}$.
- Constantes: $-2 + 7 = \mathbf{+5}$.
- Resultado final: $5x^2 + x + 5$.
Explicación formal
Definición formal
Sean $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$ y $Q(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^i$ dos polinomios en $\mathbb{R}[x]$ de grados $n$ y $m$ respectivamente. La adición polinómica horizontal es el operador suma $P + Q: \mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x]$ que aplica la propiedad conmutativa y asociativa aditiva sobre los coeficientes correspondientes:
$$(P + Q)(x) = \sum_{i=0}^{\max(n,m)} (a_i + b_i) x^i$$
donde los coeficientes inexistentes se asumen nulos ($a_k = 0$ para $k > n$, $b_k = 0$ para $k > m$).
Grado de la Suma Polinómica
El grado de la suma de dos polinomios no nulos satisface la desigualdad de cota superior:
$$\deg(P + Q) \le \max\big( \deg(P), \deg(Q) \big)$$
Síntesis didáctica
La disposición horizontal es el método estándar en álgebra lineal para sumar funciones polinómicas en una sola línea continua.
La alternativa correcta es 'Las propiedades asociativa y conmutativa de la adición'. Asociatividad y conmutatividad aditiva.
Definiciones clave
- Adición horizontal: Método de suma continua donde los polinomios se escriben en línea y se reducen término a término.
- Operador suma de coeficientes ($(a_i + b_i)$): Consolidación aditiva de las constantes asociadas a la misma potencia $x^i$.
- Cota de grado ($\max(\deg(P), \deg(Q))$): Límite máximo del grado del polinomio resultante tras la suma.
Propiedades y relaciones importantes
- Conmutatividad de la suma polinómica: $P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)$.
- Elemento neutro ($0$): $P(x) + 0 = P(x)$.
Ejemplo guiado
Suma horizontalmente los polinomios $P(x) = 4x^3 - 2x^2 + 6$ y $Q(x) = x^3 + 5x^2 - 3x - 4$.
- Paso 1: Escribimos la adición continua entre paréntesis: $(4x^3 - 2x^2 + 6) + (x^3 + 5x^2 - 3x - 4)$.
- Paso 2: Suprimimos los paréntesis conservando los signos: $4x^3 - 2x^2 + 6 + x^3 + 5x^2 - 3x - 4$.
- Paso 3: Reducimos la Clase $x^3$: $4x^3 + 1x^3 = \mathbf{5x^3}$.
- Paso 4: Reducimos la Clase $x^2$: $-2x^2 + 5x^2 = \mathbf{+3x^2}$.
- Paso 5: Copiamos la Clase $x$: $\mathbf{-3x}$.
- Paso 6: Reducimos las Constantes: $+6 - 4 = \mathbf{+2}$.
- Conclusión: El polinomio suma es **$5x^3 + 3x^2 - 3x + 2$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $7x + 4$, sumando $5x + 2x = 7x$ y $-3 + 7 = 4$'. Suma $5x+2x=7x$ y $-3+7=4$.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir cada polinomio dentro de paréntesis unidos por el signo más ($+$).
- Paso 2: Eliminar los paréntesis manteniendo intactos todos los signos de los coeficientes.
- Paso 3: Marcar o reagrupar contiguamente los monomios que compartan el mismo grado o factor literal.
- Paso 4: Sumar los coeficientes de cada clase de potencia y presentar el polinomio resultante ordenado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar los polinomios en lugar de sumarlos (escribir $(x+2)+(x+3) = x^2 + 5x + 6$). Cómo corregirlo: Al sumar SE OPERAN COEFICIENTES EN ADICIÓN ($x + x = 2x \implies 2x + 5$).
- Error 2: Alterar los exponentes al sumar términos de igual grado (escribir $3x^2 + 4x^2 = 7x^4$). Cómo corregirlo: La adición MANTIENE EL EXPONENTE INTRACTO ($3x^2 + 4x^2 = 7x^2$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Supresión: $4a + 2b + 3a - b$.
- Reducción: $7a + b$.
- Supresión: $x^2 - 5 + 2x^2 + 9$.
- Reducción: $3x^2 + 4$.
- Sí, el grado de la suma es menor o igual al máximo de los grados.
- Sí, el signo $+1$ antecedente preserva todos los signos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Sumar dos o más polinomios disponiendo la operación en una sola línea continua horizontal.
Eliminar los paréntesis de los sumandos manteniendo los signos originales y reducir los coeficientes de los monomios semejantes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al sumar $(4x + 3) + (2x - 1)$ por el método horizontal, ¿cuál es el primer paso operativo? (v1)
En la adición, los paréntesis precedidos de $+$ se eliminan sin alterar los signos.
Respuesta: A) Eliminar los paréntesis sin cambiar ningún signo, obteniendo $4x + 3 + 2x - 1$.
-
Al sumar $(4x + 3) + (2x - 1)$ por el método horizontal, ¿cuál es el primer paso operativo? (v2)
En la adición, los paréntesis precedidos de $+$ se eliminan sin alterar los signos.
Respuesta: A) Eliminar los paréntesis sin cambiar ningún signo, obteniendo $4x + 3 + 2x - 1$.
-
Al sumar $(4x + 3) + (2x - 1)$ por el método horizontal, ¿cuál es el primer paso operativo? (v3)
En la adición, los paréntesis precedidos de $+$ se eliminan sin alterar los signos.
Respuesta: A) Eliminar los paréntesis sin cambiar ningún signo, obteniendo $4x + 3 + 2x - 1$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Suma horizontalmente: $(3x^2 - x + 4) + (x^2 + 5x - 2)$.
Familia $x^2$: $3+1=4x^2$. Familia $x$: $-1+5=4x$. Constantes: $4-2=2$. Resultado: $4x^2+4x+2$.
Respuesta: A) $4x^2 + 4x + 2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿La suma $(a + b) + (a - b)$ resulta en $2a$?
Eliminamos paréntesis: $a + b + a - b$. Familia $a$: $1+1=2a$. Familia $b$: $+b-b=0$. El $b$ se cancela. Resultado: $2a$.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma $(a + b) + (a - b)$ resulta en $2a$?
Eliminamos paréntesis: $a + b + a - b$. Familia $a$: $1+1=2a$. Familia $b$: $+b-b=0$. El $b$ se cancela. Resultado: $2a$.
Respuesta: Verdadero
-
¿La suma $(a + b) + (a - b)$ resulta en $2a$?
Eliminamos paréntesis: $a + b + a - b$. Familia $a$: $1+1=2a$. Familia $b$: $+b-b=0$. El $b$ se cancela. Resultado: $2a$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
La ganancia del primer trimestre de una empresa es $G_1 = 5000k - 200$, y del segundo trimestre es $G_2 = 3000k + 800$. ¿Cuál es la ganancia semestral total? (v1)
Familia $k$: $5000+3000=8000k$. Constantes: $-200+800=600$. Total: $8000k+600$.
Respuesta: A) $8000k + 600$
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La ganancia del primer trimestre de una empresa es $G_1 = 5000k - 200$, y del segundo trimestre es $G_2 = 3000k + 800$. ¿Cuál es la ganancia semestral total? (v2)
Familia $k$: $5000+3000=8000k$. Constantes: $-200+800=600$. Total: $8000k+600$.
Respuesta: A) $8000k + 600$
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La ganancia del primer trimestre de una empresa es $G_1 = 5000k - 200$, y del segundo trimestre es $G_2 = 3000k + 800$. ¿Cuál es la ganancia semestral total? (v3)
Familia $k$: $5000+3000=8000k$. Constantes: $-200+800=600$. Total: $8000k+600$.
Respuesta: A) $8000k + 600$