Adición de polinomios con términos faltantes
Sumar polinomios que tienen grados distintos o términos ausentes, gestionando correctamente los espacios vacíos.
Introducción
Muchas veces los polinomios que se suman no tienen los mismos términos. Uno puede tener término en $x^3$ y el otro no. En la suma vertical, esto corresponde a una columna con solo un número, que pasa directo al resultado.
Explicación
Definición formal
Un término ausente equivale a tener ese grado con coeficiente 0. Esto es clave para no confundir columnas en el método vertical.
Desarrollo didáctico
Suma: $(x^3 + 2x - 5)$ y $(3x^2 + x + 1)$.
El primer polinomio no tiene $x^2$, el segundo no tiene $x^3$.
En formato vertical:
x³ + 0x² + 2x - 5
+ 0x³ + 3x² + x + 1
───────────────────
x³ + 3x² + 3x - 4
Los ceros se hacen explícitos para no confundir columnas. Los términos únicos (como $x^3$) pasan directo al resultado.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Determina el grado máximo entre todos los polinomios a sumar.
- Paso 2: Completa los polinomios con los términos faltantes usando coeficiente $0$.
- Paso 3: Alinea verticalmente.
- Paso 4: Suma columna por columna como siempre.
Ejemplos
1 Suma: (2a^3 - 5) + (a^2 + 3a + 2).
- Completamos con ceros: (2a^3 + 0a^2 + 0a - 5) + (0a^3 + a^2 + 3a + 2).
- Col a^3: 2+0 = 2a^3.
- Col a^2: 0+1 = a^2.
- Col a: 0+3 = 3a.
- Constante: -5+2 = -3.
- Resultado: 2a^3 + a^2 + 3a - 3.
2 El costo de producción de tres productos se modela como $C_1 = 2v^3 + 5$, $C_2 = 3v^2$ y $C_3 = 4v - 1$. ¿Cuál es el costo total? (v1) Opciones: A) $2v^3 + 3v^2 + 4v + 4$ · B) $2v^3 + 3v^2 + 4v - 4$ · C) $9v^6 + 4$ · D) $2v^3 + 3v^2 + 4v + 5$
- Cada término de cada grado: $2v^3$ (solo en $C_1$), $3v^2$ (solo en $C_2$), $4v$ (solo en $C_3$), constante: $5+0-1=4$. Total: $2v^3+3v^2+4v+4$.
- Respuesta: $2v^3 + 3v^2 + 4v + 4$
3 Respecto de «Adición de polinomios con términos faltantes»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «Al sumar polinomios con **Términos Faltantes**, los grados que no tienen representación en uno de los sumandos se tratan como si tuvieran coeficiente $0$»
- La afirmación coincide con la definición formal: Al sumar polinomios con **Términos Faltantes**, los grados que no tienen representación en uno de los sumandos se tratan como si tuvieran coeficiente $0$.
4 Respecto de «Adición de polinomios con términos faltantes»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Desalinear los términos al no colocar explícitamente los ceros, sumando términos de distintas familias»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Al sumar polinomios con **Términos Faltantes**, los grados que no tienen representación en uno de los sumandos se tratan como si tuvieran coeficiente $0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Desalinear los términos al no colocar explícitamente los ceros, sumando términos de distintas familias."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Omitir completamente un grado faltante en el resultado por creer que 'no existe'."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Uno ($1$), para no alterar la suma."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si un polinomio no tiene término de grado $x^2$ y se suma verticalmente con otro que sí lo tiene, ¿qué valor de coeficiente se le asigna al grado faltante del primero? (v1)», la respuesta correcta es Se omite la columna entera."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Se toma el coeficiente del polinomio que sí lo tiene."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al sumar polinomios con **Términos Faltantes**, los grados que no tienen representación en uno de los sumandos se tratan como si tuvieran coeficiente $0$. En el resultado, esos términos se 'heredan' directamente del único polinomio que los tiene.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si un polinomio no tiene término de grado $x^2$ y se suma verticalmente con otro que sí lo tiene, ¿qué valor de coeficiente se le asigna al grado faltante del primero? (v2)
Un término ausente equivale a tener ese grado con coeficiente 0. Esto es clave para no confundir columnas en el método vertical.
Respuesta: A) Cero ($0$), porque matemáticamente ese grado existe con coeficiente nulo.
-
Si un polinomio no tiene término de grado $x^2$ y se suma verticalmente con otro que sí lo tiene, ¿qué valor de coeficiente se le asigna al grado faltante del primero? (v3)
Un término ausente equivale a tener ese grado con coeficiente 0. Esto es clave para no confundir columnas en el método vertical.
Respuesta: A) Cero ($0$), porque matemáticamente ese grado existe con coeficiente nulo.
-
Si un polinomio no tiene término de grado $x^2$ y se suma verticalmente con otro que sí lo tiene, ¿qué valor de coeficiente se le asigna al grado faltante del primero? (v1)
Un término ausente equivale a tener ese grado con coeficiente 0. Esto es clave para no confundir columnas en el método vertical.
Respuesta: A) Cero ($0$), porque matemáticamente ese grado existe con coeficiente nulo.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Suma: $(4x^3 - 2)$ y $(x^2 + 5x - 3)$.
El primero no tiene $x^2$ ni $x$. El segundo no tiene $x^3$. Sumamos: $4x^3+x^2+5x-5$.
Respuesta: A) $4x^3 + x^2 + 5x - 5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿La suma de $(x^2 + 1)$ y $(x + 2)$ resulta en el polinomio de grado 2: $x^2 + x + 3$?
$x^2$ solo en el primero. $x$ solo en el segundo. Constantes: $1+2=3$. Resultado: $x^2+x+3$.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma de $(x^2 + 1)$ y $(x + 2)$ resulta en el polinomio de grado 2: $x^2 + x + 3$?
$x^2$ solo en el primero. $x$ solo en el segundo. Constantes: $1+2=3$. Resultado: $x^2+x+3$.
Respuesta: Verdadero
-
¿La suma de $(x^2 + 1)$ y $(x + 2)$ resulta en el polinomio de grado 2: $x^2 + x + 3$?
$x^2$ solo en el primero. $x$ solo en el segundo. Constantes: $1+2=3$. Resultado: $x^2+x+3$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El costo de producción de tres productos se modela como $C_1 = 2v^3 + 5$, $C_2 = 3v^2$ y $C_3 = 4v - 1$. ¿Cuál es el costo total? (v2)
Cada término de cada grado: $2v^3$ (solo en $C_1$), $3v^2$ (solo en $C_2$), $4v$ (solo en $C_3$), constante: $5+0-1=4$. Total: $2v^3+3v^2+4v+4$.
Respuesta: A) $2v^3 + 3v^2 + 4v + 4$
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El costo de producción de tres productos se modela como $C_1 = 2v^3 + 5$, $C_2 = 3v^2$ y $C_3 = 4v - 1$. ¿Cuál es el costo total? (v3)
Cada término de cada grado: $2v^3$ (solo en $C_1$), $3v^2$ (solo en $C_2$), $4v$ (solo en $C_3$), constante: $5+0-1=4$. Total: $2v^3+3v^2+4v+4$.
Respuesta: A) $2v^3 + 3v^2 + 4v + 4$
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El costo de producción de tres productos se modela como $C_1 = 2v^3 + 5$, $C_2 = 3v^2$ y $C_3 = 4v - 1$. ¿Cuál es el costo total? (v1)
Cada término de cada grado: $2v^3$ (solo en $C_1$), $3v^2$ (solo en $C_2$), $4v$ (solo en $C_3$), constante: $5+0-1=4$. Total: $2v^3+3v^2+4v+4$.
Respuesta: A) $2v^3 + 3v^2 + 4v + 4$