Cálculo del grado relativo de un término
Resumen inicial
El grado relativo de un término algebraico con respecto a una variable específica es el exponente que tiene dicha letra en el término.
Explicación en palabras simples
- Mientras el grado absoluto suma todas las letras, el grado relativo (GR) se fija en una sola letra a la vez.
- ¿Cómo se determina? Es simplemente el exponente de la letra elegida:
- En el término $7x^5y^3z$:
- El grado relativo respecto a $x$ es $5$ ($\text{GR}(x) = 5$).
- El grado relativo respecto a $y$ es $3$ ($\text{GR}(y) = 3$).
- El grado relativo respecto a $z$ es $1$ ($\text{GR}(z) = 1$).
- Si una letra no aparece en el término, su grado relativo respecto a esa letra es $0$ (porque $w^0 = 1$).
Explicación formal
Definición formal
Sea $T = c \cdot x_1^{e_1} x_2^{e_2} \cdots x_k^{e_k}$ un monomio no nulo con $c \neq 0$. El grado relativo de $T$ respecto a la variable $x_j$, denotado por $\operatorname{GR}_{x_j}(T)$ o $\operatorname{gr}(T, x_j)$, es el exponente que afecta a $x_j$:
$$\operatorname{GR}_{x_j}(T) = e_j$$
Propiedades y relaciones con el grado absoluto
- Relación de suma: El grado absoluto es la suma de todos los grados relativos de las variables presentes:
$$\operatorname{GA}(T) = \sum_{j=1}^k \operatorname{GR}_{x_j}(T)$$ - Variable no presente: Si una variable $w$ no figura explícitamente en el monomio, $\operatorname{GR}_w(T) = 0$.
- Desigualdad canónica: Para cualquier variable $x_j$ con $e_j \ge 0$, siempre se cumple:
$$\operatorname{GR}_{x_j}(T) \le \operatorname{GA}(T)$$
La alternativa correcta es '$6$, porque es el exponente individual de la letra $x$'. El grado relativo respecto a una letra es su propio exponente.
Definiciones clave
- Grado relativo (GR): Exponente que tiene una letra específica en un término algebraico.
- Variable de referencia: Letra respecto a la cual se mide el grado relativo.
- Relación GR vs GA: El grado relativo es puntual por variable, mientras el grado absoluto es la suma total.
Propiedades y relaciones importantes
- Independencia entre grados relativos: El grado relativo respecto a una letra no depende de los exponentes de las demás variables.
- Ordenamiento polinomial: Los grados relativos permiten ordenar polinomios de forma ascendente o descendente respecto a una letra guía.
Ejemplo guiado
En el término algebraico $T = -14a^4b^7c$, calcula el grado relativo respecto a cada una de las variables $a$, $b$, $c$ y verifica la suma con el grado absoluto.
- Paso 1: Localizamos la variable $a$: su exponente es $4 \implies **\operatorname{GR}(a) = 4$**.
- Paso 2: Localizamos la variable $b$: su exponente es $7 \implies **\operatorname{GR}(b) = 7$**.
- Paso 3: Localizamos la variable $c$: no tiene número visible $\implies **\operatorname{GR}(c) = 1$**.
- Paso 4: Calculamos el grado absoluto sumando los grados relativos: $\operatorname{GA}(T) = 4 + 7 + 1 = **12$**.
- Paso 5: Conclusión: Los grados relativos son $\operatorname{GR}(a)=4, \operatorname{GR}(b)=7, \operatorname{GR}(c)=1$, y su suma valida $\operatorname{GA}=12$.
La alternativa correcta es '$0$, porque la variable $z$ no aparece en el término ($z^0 = 1$)'. Una variable ausente tiene exponente cero.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la variable específica respecto a la cual se solicita el grado.
- Paso 2: Localizar dicha variable en la parte literal del término.
- Paso 3: Leer el exponente de la variable (si no lleva número visible, su grado es $1$; si no aparece la letra, su grado es $0$).
- Paso 4: Enunciar el grado relativo $\operatorname{GR}(x) = e$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir grado relativo con grado absoluto (sumar todas las letras cuando se pregunta por una sola). Cómo corregirlo: El grado relativo pertenece exclusivamente a una variable: $\operatorname{GR}(x) = e_x$.
- Error 2: Asignar grado relativo 0 a una letra sin exponente escrito. Cómo corregirlo: Si la letra está presente, su exponente es $1$, por lo que $\operatorname{GR} = 1$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Se busca la variable $y$.
- El exponente de $y$ es 8.
- $\operatorname{GR}(y) = 8$.
- $\operatorname{GA} = \operatorname{GR}(a) + \operatorname{GR}(b)$.
- $\operatorname{GA} = 3 + 5 = 8$.
- $b$ tiene exponente implícito 1 ($b = b^1$).
- $\operatorname{GR}(b) = 1$.
- $-7$ es el coeficiente numérico constante.
- El grado relativo respecto a $x$ es su exponente, que vale 4.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular el grado relativo de un término algebraico respecto a cualquier variable específica y relacionarlo coherentemente con el grado absoluto.
Extrayendo el exponente individual de la letra seleccionada ($\operatorname{GR}(x_j) = e_j$) y verificando que la suma de grados relativos iguale al grado absoluto.