Cálculo del grado absoluto de un término
Resumen inicial
El grado absoluto de un término algebraico es la suma de los exponentes de todas las variables que conforman su parte literal.
Explicación en palabras simples
- El grado absoluto (GA) mide la potencia total combinada de un término.
- ¿Cómo se calcula? Se suman los exponentes de todas las letras que aparecen en el término:
- En $7x^4$, el grado absoluto es $4$ (de 4° grado).
- En $-3x^4y^2z$, sumamos los exponentes: $4 + 2 + 1 = **7$** (de 7° grado). Recuerda que $z = z^1$.
- En una constante numérica pura como $9$ (sin letras), el grado absoluto es $0$.
Explicación formal
Definición formal
Sea $T = c \cdot x_1^{e_1} x_2^{e_2} \cdots x_k^{e_k}$ un monomio no nulo con $c \neq 0$ y $e_i \in \mathbb{N}_0$. El grado absoluto de $T$, denotado por $\operatorname{GA}(T)$ o $\operatorname{gr}(T)$, es la suma escalar de los exponentes de todas sus variables:
$$\operatorname{GA}(T) = \sum_{i=1}^k e_i = e_1 + e_2 + \dots + e_k$$
Casos canónicos
- Término monovariable: $\operatorname{GA}(ax^n) = n$.
- Término multivariable: $\operatorname{GA}(ax^p y^q z^r) = p + q + r$.
- Término constante independiente ($c \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$): $\operatorname{GA}(c) = 0$ (puesto que $c = c \cdot x^0$).
- Polinomio nulo ($0$): Por definición formal, carece de grado o su grado se define como $-\infty$.
La alternativa correcta es '$6$, porque la suma de los exponentes es $3 + 2 + 1 = 6$'. Se debe incluir el exponente 1 de la variable $z$.
Definiciones clave
- Grado absoluto (GA): Suma total de los exponentes de todas las variables de la parte literal.
- Término de grado cero: Constante numérica no nula que no contiene variables literales ($GA = 0$).
- Monomio homogéneo: Términos que poseen exactamente el mismo grado absoluto.
Propiedades y relaciones importantes
- Grado del producto de monomios: El grado absoluto del producto de dos términos es la suma de sus grados absolutos: $\operatorname{GA}(T_1 \cdot T_2) = \operatorname{GA}(T_1) + \operatorname{GA}(T_2)$.
- Grado del cociente de monomios: $\operatorname{GA}(T_1 / T_2) = \operatorname{GA}(T_1) - \operatorname{GA}(T_2)$.
Ejemplo guiado
Calcula el grado absoluto del término algebraico $T = -8a^3b^4c^2d$.
- Paso 1: Identificamos todas las variables presentes en la parte literal: $a, b, c, d$.
- Paso 2: Extraemos el exponente de cada variable:
- - Exponente de $a$: **$3$**
- - Exponente de $b$: **$4$**
- - Exponente de $c$: **$2$**
- - Exponente de $d$: **$1$** (exponente tácito)
- Paso 3: Sumamos todos los exponentes: $\operatorname{GA}(T) = 3 + 4 + 2 + 1 = **10$**.
- Paso 4: Conclusión: El término es de **décimo grado ($10^{\circ}$)**.
La alternativa correcta es '$0$, porque no contiene variables literales ($12 = 12x^0$)'. Las constantes numéricas tienen grado absoluto cero.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar todas las letras de la parte literal.
- Paso 2: Escribir el exponente de cada letra (asignando $1$ si no lleva número visible).
- Paso 3: Sumar algebraicamente todos los exponentes obtenidos.
- Paso 4: El resultado es el grado absoluto del término (monomio).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Olvidar sumar el exponente 1 de las letras sin superíndice escrito. Cómo corregirlo: En $x^2y$, el exponente de $y$ es $1$, por lo que $\operatorname{GA} = 2 + 1 = 3$.
- Error 2: Sumar los exponentes de los números coeficientes (ej. en $2^3 x^4$, decir grado $3+4=7$). Cómo corregirlo: El grado solo suma los exponentes de las variables literales ($GA = 4$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Exponentes: $m \rightarrow 2, n \rightarrow 1, p \rightarrow 4$.
- Suma: $2 + 1 + 4 = 7$.
- El grado absoluto es 7.
- Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes.
- $\operatorname{GA}(T_1 \cdot T_2) = 3 + 4 = 7$.
- Solo hay una variable ($x$) con exponente 5.
- El grado absoluto es 5.
- $3^4 = 81$ es el coeficiente numérico constante.
- El grado absoluto solo considera el exponente de la variable $x$, que es 2.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Calcular el grado absoluto de cualquier término algebraico monovariable o multivariable y comprender el grado de constantes numéricas.
Sumando todos los exponentes de las variables literales ($\operatorname{GA} = e_1 + e_2 + \dots + e_k$) en términos como $-3x^4y^2z \implies 4 + 2 + 1 = 7$.