Identificación de expresión algebraica entera
Resumen inicial
Una expresión algebraica es entera cuando ninguna de sus variables figura en denominadores ni posee exponentes negativos o fraccionarios.
Explicación en palabras simples
- Una expresión algebraica es entera cuando las letras solo tienen exponentes enteros positivos o cero ($0, 1, 2, 3, \dots$).
- Condiciones indispensables:
- No puede haber letras en la parte de abajo de una fracción (en el denominador).
- No puede haber letras dentro de raíces (como $\sqrt{x}$).
- No puede haber letras con potencias negativas (como $x^{-2}$).
- ¡Cuidado con los números! Los números (coeficientes) sí pueden ser fracciones o raíces, por ejemplo:
- $\frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{4}x + \sqrt{5}$ es entera, porque las letras ($x$) solo tienen exponentes enteros $3$, $1$ y $0$.
Explicación formal
Definición formal
Una expresión algebraica $E(x_1, \dots, x_n)$ en el cuerpo $\mathbb{K}$ es entera si pertenece formalmente al anillo de polinomios $\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]$.
Es decir, puede escribirse como una combinación lineal finita de monomios:
$$E(x_1, \dots, x_n) = \sum_{j=1}^m c_j x_1^{e_{j,1}} x_2^{e_{j,2}} \cdots x_n^{e_{j,n}}, \quad \text{con } c_j \in \mathbb{K} \quad \text{y} \quad e_{j,i} \in \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \dots\}$$
Dominio de definición
El dominio de cualquier expresión algebraica entera multivariable es todo el espacio cartesiano:
$$\operatorname{Dom}(E) = \mathbb{R}^n$$
No presenta restricciones de indeterminación por división por cero ni por raíces de índice par.
La alternativa correcta es 'Porque el denominador es un número constante ($4$) y todas las potencias de la variable $x$ son enteras no negativas'. Dividir por una constante equivale a multiplicar por el coeficiente escalar $\frac{1}{4}$.
Definiciones clave
- Expresión algebraica entera: Expresión perteneciente a $\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]$, equivalente a un polinomio.
- Exponente en $\mathbb{N}_0$: Potencia entera no negativa que afecta a cada variable.
- Dominio irrestricto: Conjunto $\mathbb{R}^n$ donde la expresión está definida sin puntos singulares.
Propiedades y relaciones importantes
- Equivalencia con polinomio: Toda expresión algebraica entera es un polinomio (o monomio), y recíprocamente todo polinomio es una expresión algebraica entera.
- Cierre algebraico: La suma, resta y multiplicación de expresiones algebraicas enteras produce siempre otra expresión algebraica entera.
Ejemplo guiado
Determina si la expresión $E(x, y) = \frac{3}{5}x^4y^2 - \frac{\sqrt{7}}{2}xy^3 + 8$ es una expresión algebraica entera justificando tu respuesta.
- Paso 1: Identificamos los exponentes de las variables en el primer término $\frac{3}{5}x^4y^2$: $x$ tiene exponente 4 e $y$ tiene exponente 2 (ambos en $\mathbb{N}_0$).
- Paso 2: Identificamos los exponentes en el segundo término $-\frac{\sqrt{7}}{2}xy^3$: $x$ tiene exponente 1 e $y$ tiene exponente 3 (ambos en $\mathbb{N}_0$).
- Paso 3: Analizamos los coeficientes: $\frac{3}{5}$ y $-\frac{\sqrt{7}}{2}$ son números reales escalares válidos.
- Paso 4: Verificamos que ninguna variable esté en el denominador ni bajo radicales.
- Paso 5: Conclusión: $E(x, y)$ **es una expresión algebraica entera** (polinomio en $\mathbb{R}[x, y]$).
La alternativa correcta es '$3x^2 + 5x^{-1} - 7$'. El exponente negativo $-1$ indica una variable en el denominador ($5/x$), haciéndola fraccionaria.
Procedimiento
- Paso 1: Examinar cada término de la expresión algebraica de forma individual.
- Paso 2: Comprobar que todas las variables tengan exponentes pertenecientes a $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \dots\}$.
- Paso 3: Asegurarse de que ninguna variable figure en denominadores ni bajo signos de raíz.
- Paso 4: Confirmar la clasificación como expresión entera (polinomial).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir coeficientes fraccionarios con expresiones fraccionarias. Cómo corregirlo: $\frac{x}{3} = \frac{1}{3}x$ es entera porque el 3 es un número; si la $x$ estuviera abajo ($\frac{3}{x}$), sería fraccionaria.
- Error 2: Creer que la presencia de $\sqrt{2}$ hace irracional a la expresión. Cómo corregirlo: La raíz solo afecta al número escalar constante; la variable tiene potencia entera, por lo que es entera.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Los coeficientes son $\frac{1}{4}, -\frac{2}{5}, 7$.
- Los exponentes de $x$ son 3, 2, 0 $\in \mathbb{N}_0$.
- Es una expresión entera.
- $\frac{3}{x} = 3x^{-1}$.
- El exponente $-1 \notin \mathbb{N}_0$.
- No es entera (es fraccionaria).
- No hay denominadores con variables que puedan anularse.
- Su dominio es $\mathbb{R}$.
- Los exponentes de las variables deben ser $\ge 0$.
- $-3 < 0$, lo que viola la definición de expresión entera.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Identificar expresiones algebraicas enteras distinguiendo rigurosamente entre coeficientes numéricos fraccionarios y variables en denominadores.
Comprobando que todas las potencias literales pertenezcan a $\mathbb{N}_0$ ($e_i \ge 0$) y que no existan variables en divisores ni bajo radicales.