Multiplicación de polinomios con exponentes literales
Resolver la multiplicación de polinomios con exponentes literales y justificar el procedimiento algebraico.
Introducción
En algunos productos polinomiales los exponentes también están representados por letras. Las leyes de potencias siguen siendo válidas siempre que se identifique correctamente la base.
Explicación
Definición formal
Si dos potencias tienen la misma base y exponentes algebraicos $\alpha$ y $\beta$, entonces, siempre que la expresión esté definida,
$$x^{\alpha}\cdot x^{\beta}=x^{\alpha+\beta}.$$
En la multiplicación de polinomios con exponentes literales, cada producto parcial combina los coeficientes de la manera usual y suma algebraicamente los exponentes de las bases iguales. Dos términos resultantes son semejantes solo si coinciden exactamente sus partes literales completas, incluyendo las expresiones que aparecen en los exponentes.
Desarrollo didáctico
Para ser semejantes, tanto la base como el exponente completo deben ser idénticos. $a+1 \neq a+2$.
El $1$ es el elemento neutro de la multiplicación. $x^{2a} \cdot 1 = x^{2a}$. (No se suma $1$ al exponente porque no es $x^1$, es $x^0$).
Suma: $(m - 3) + (m + 5) = 2m + 2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Multiplica los coeficientes numéricos de los términos que intervienen en cada producto parcial.
- Paso 2: Para cada base literal repetida, conserva la base y suma algebraicamente sus exponentes.
- Paso 3: Mantén separados los términos cuyos exponentes literales no coincidan exactamente.
- Paso 4: Después de expandir todo el producto, identifica qué términos son verdaderamente semejantes.
- Paso 5: Reduce solo los términos con la misma parte literal completa y ordena el resultado final.
Ejemplos
1 Si en la expansión de $(2x^k - 3)(x^k + 5)$ el término central se reduce a $7x^3$, ¿cuál es el valor de $k$? Opciones: A) $3$ · B) $6$ · C) $1.5$ · D) $4$
- El producto es $2x^{2k} + 10x^k - 3x^k - 15 = 2x^{2k} + 7x^k - 15$. El término central es $7x^k$. Como nos dicen que es $7x^3$, entonces $k=3$.
- Respuesta: $3$
2 ¿Cuál es la expresión factorizada de $m^{2a+2} + m^{2a+1}$ luego de extraer como factor común al monomio de menor grado? Opciones: A) $m^{2a+1}(m + 1)$ · B) $m^{2a}(m^2 + m)$ · C) $m^{a+1}(m^{a+1} + m^a)$ · D) $m^{2a+1}(m)$
- Revertimos la distribución. El menor grado es $2a+1$. Dividiendo obtenemos: $m^{(2a+2)-(2a+1)} + 1 = m^1 + 1$. Luego: $m^{2a+1}(m + 1)$.
3 Respecto de «Multiplicación de polinomios con exponentes literales»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «Conserva la base y suma algebraicamente los exponentes (ej: $(x+1) + (x-1)$)»
- La afirmación coincide con la definición formal: Conserva la base y suma algebraicamente los exponentes (ej: $(x+1) + (x-1)$).
4 Respecto de «Multiplicación de polinomios con exponentes literales»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Una multiplicación de polinomios»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Conserva la base y suma algebraicamente los exponentes (ej: $(x+1) + (x-1)$).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Una multiplicación de polinomios."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al multiplicar potencias de igual base con exponentes algebraicos, la operación sobre los exponentes corresponde a:», la respuesta correcta es Dejar el exponente de mayor grado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Una división de exponentes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sí, el resultado es $x^{2a+3}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sí, pero solo si $a=1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Conserva la base y suma algebraicamente los exponentes (ej: $(x+1) + (x-1)$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al multiplicar potencias de igual base con exponentes algebraicos, la operación sobre los exponentes corresponde a:
Conserva la base y suma algebraicamente los exponentes (ej: $(x+1) + (x-1)$).
Respuesta: A) Una suma algebraica de polinomios o expresiones.
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Si el factor externo es $x^{2a}$ y uno de los términos interiores es $1$, el producto resultante será:
El $1$ es el elemento neutro de la multiplicación. $x^{2a} \cdot 1 = x^{2a}$. (No se suma $1$ al exponente porque no es $x^1$, es $x^0$).
Respuesta: A) $x^{2a}$
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¿Es posible reducir como términos semejantes a $3x^{a+1}$ y $-2x^{a+2}$?
Para ser semejantes, tanto la base como el exponente completo deben ser idénticos. $a+1 \neq a+2$.
Respuesta: A) No, porque sus exponentes algebraicos son distintos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Determina el exponente final al realizar $x^{m-3} \cdot x^{m+5}$.
Suma: $(m - 3) + (m + 5) = 2m + 2$.
Respuesta: A) $2m + 2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Calcula y reduce: $(x^n + 1)(x^n - 1)$
Suma por su diferencia: $(x^n)^2 - (1)^2 = x^{n+n} - 1 = x^{2n} - 1$.
Respuesta: A) $x^{2n} - 1$
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Desarrolla: $(a^{x+1} - a^{x})(a^2 + a)$
$a^{x+1+2} + a^{x+1+1} - a^{x+2} - a^{x+1} = a^{x+3} + a^{x+2} - a^{x+2} - a^{x+1}$. Se reducen los del medio. Resultado: $a^{x+3} - a^{x+1}$.
Respuesta: A) $a^{x+3} - a^{x+1}$
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Multiplica: $2x^a (x^{a+1} - 3x^a + 4)$
$(2)(1)x^{a+a+1} = 2x^{2a+1}$. $(2)(-3)x^{a+a} = -6x^{2a}$. $(2)(4)x^a = 8x^a$.
Respuesta: A) $2x^{2a+1} - 6x^{2a} + 8x^a$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si en la expansión de $(2x^k - 3)(x^k + 5)$ el término central se reduce a $7x^3$, ¿cuál es el valor de $k$?
El producto es $2x^{2k} + 10x^k - 3x^k - 15 = 2x^{2k} + 7x^k - 15$. El término central es $7x^k$. Como nos dicen que es $7x^3$, entonces $k=3$.
Respuesta: A) $3$
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¿Cuál es la expresión factorizada de $m^{2a+2} + m^{2a+1}$ luego de extraer como factor común al monomio de menor grado?
Revertimos la distribución. El menor grado es $2a+1$. Dividiendo obtenemos: $m^{(2a+2)-(2a+1)} + 1 = m^1 + 1$. Luego: $m^{2a+1}(m + 1)$.
Respuesta: A) $m^{2a+1}(m + 1)$
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Calcula el coeficiente del término en $x^{3n}$ en el desarrollo de $(x^n - 2)(x^{2n} + 2x^n + 4)$.
Esto es la diferencia de cubos: $(x^n)^3 - (2)^3 = x^{3n} - 8$. El coeficiente de $x^{3n}$ es $1$.
Respuesta: A) $1$