Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios
Multiplicar dos polinomios donde los coeficientes son fracciones, aplicando correctamente la distributividad y las reglas de las fracciones.
Introducción
Multiplicar polinomios con fracciones es igual que con números enteros, solo que ahora debemos recordar cómo multiplicar fracciones: el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.
Explicación
Definición formal
Sean $P(x)=\sum_{i=0}^{m} a_i x^i$ y $Q(x)=\sum_{j=0}^{n} b_j x^j$ con $a_i,b_j\in\mathbb{Q}$ y denominadores no nulos. Su producto se define por
$$P(x)Q(x)=\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n} a_i b_j x^{i+j}.$$
Como los coeficientes pertenecen al conjunto de los números racionales, cada coeficiente parcial $a_i b_j$ se obtiene mediante la multiplicación ordinaria de fracciones, y los coeficientes de términos semejantes se suman también dentro de $\mathbb{Q}$. La presencia de fracciones no modifica la regla polinomial; solo cambia el campo numérico en que se realizan los cálculos.
Desarrollo didáctico
La regla general para multiplicar dos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ se mantiene: cada término de $P(x)$ se multiplica por cada término de $Q(x)$.
Cuando los coeficientes son fracciones, como $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$, el coeficiente del término resultante será $\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.
Después de distribuir todos los términos, es probable que se generen términos semejantes con coeficientes fraccionarios. Para reducirlos, debes sumar o restar esas fracciones encontrando el mínimo común múltiplo (MCM) de sus denominadores.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo, como en cualquier producto polinomial.
- Paso 2: En cada producto parcial, multiplica los coeficientes fraccionarios de forma directa: numerador con numerador y denominador con denominador.
- Paso 3: Conserva la parte literal y suma los exponentes de las bases iguales.
- Paso 4: Reúne los términos semejantes obtenidos en la expansión.
- Paso 5: Suma o resta sus coeficientes fraccionarios usando denominador común cuando sea necesario.
- Paso 6: Simplifica los coeficientes finales y ordena el polinomio resultante.
Ejemplos
1 Multiplica $(\frac{1}{2}x + 1)(\frac{1}{3}x - 2)$.
- Distribuye: $(\frac{1}{2}x)(\frac{1}{3}x) + (\frac{1}{2}x)(-2) + (1)(\frac{1}{3}x) + (1)(-2)$
- Calcula: $\frac{1}{6}x^2 - 1x + \frac{1}{3}x - 2$
- Reduce términos semejantes ($-1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$): $\frac{1}{6}x^2 - \frac{2}{3}x - 2$
2 Calcula $(\frac{2}{5}a - \frac{1}{2})(\frac{5}{2}a + \frac{1}{4})$.
- Distribuye: $(\frac{2}{5}a)(\frac{5}{2}a) + (\frac{2}{5}a)(\frac{1}{4}) - (\frac{1}{2})(\frac{5}{2}a) - (\frac{1}{2})(\frac{1}{4})$
- Multiplica: $1a^2 + \frac{2}{20}a - \frac{5}{4}a - \frac{1}{8}$
- Simplifica $\frac{2}{20}$ a $\frac{1}{10}$ y suma con $-\frac{5}{4}$ ($MCM=20$): $\frac{2}{20} - \frac{25}{20} = -\frac{23}{20}$
- Resultado final: $a^2 - \frac{23}{20}a - \frac{1}{8}$
3 El término cuadrático del producto $(\frac{3}{4}x + 1)(\frac{2}{3}x - 5)$ tiene coeficiente $\frac{1}{2}$.
- El término cuadrático se forma multiplicando $(\frac{3}{4}x)(\frac{2}{3}x)$.
- $\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
- Por lo tanto, la afirmación es Verdadera.
4 Respecto de «Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «Al multiplicar polinomios con coeficientes fraccionarios, se aplica la propiedad distributiva multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo»
- La afirmación coincide con la definición formal: Al multiplicar polinomios con coeficientes fraccionarios, se aplica la propiedad distributiva multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo.
5 Respecto de «Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Multiplicar cruzado los coeficientes en lugar de directo (numerador con numerador)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Al multiplicar polinomios con coeficientes fraccionarios, se aplica la propiedad distributiva multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar cruzado los coeficientes en lugar de directo (numerador con numerador)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar buscar denominador común al reducir los términos semejantes finales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Equivocarse en la ley de los signos al multiplicar fracciones negativas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Para multiplicar los términos $(\frac{a}{b}x)$ y $(\frac{c}{d}y)$, ¿cuál es el procedimiento correcto para los coeficientes», la respuesta correcta es Multiplicar cruzado $a \cdot d$ y $b \cdot c$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Encontrar el denominador común entre $b$ y $d$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al multiplicar polinomios con coeficientes fraccionarios, se aplica la propiedad distributiva multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo. Para cada multiplicación de términos: - Multiplica los coeficientes (numerador con numerador, denominador con denominador). - Suma los exponentes de las letras iguales. - Al final, reduce términos semejantes, lo cual puede requerir encontrar un denominador común.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si el producto de dos términos es $\frac{6}{20}x^3$, ¿qué se debe hacer siempre como paso final?
Siempre se deben expresar los coeficientes fraccionarios en su forma irreducible, en este caso simplificando por $2$.
Respuesta: A) Simplificar la fracción resultante a $\frac{3}{10}$.
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Al multiplicar dos binomios con coeficientes fraccionarios, ¿en qué paso es generalmente necesario calcular un mínimo común múltiplo (MCM)?
La multiplicación de fracciones no requiere MCM. El MCM se necesita solo al sumar o restar fracciones, es decir, al reducir los términos semejantes.
Respuesta: A) Al reducir los términos semejantes finales.
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Para multiplicar los términos $(\frac{a}{b}x)$ y $(\frac{c}{d}y)$, ¿cuál es el procedimiento correcto para los coeficientes?
La multiplicación de fracciones se hace directa: numerador por numerador, y denominador por denominador.
Respuesta: A) Multiplicar $a \cdot c$ y dividirlo por $b \cdot d$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál es el resultado de la multiplicación $(\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{2}{3}x)$?
Multiplicamos $\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6}$, que simplificado es $\frac{1}{3}$. Las $x$ suman grados: $x^2$.
Respuesta: A) $\frac{1}{3}x^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si se multiplica $(\frac{3}{5}x^2 - \frac{1}{3}xy)(\frac{5}{2}x + y)$, el coeficiente del término $x^2y$ es:
El término en $x^2y$ se forma por $(\frac{3}{5}x^2)(y) + (-\frac{1}{3}xy)(\frac{5}{2}x)$. Eso es $\frac{3}{5}x^2y - \frac{5}{6}x^2y$. Restamos: $\frac{3}{5} - \frac{5}{6} = \frac{18 - 25}{30} = -\frac{7}{30}$.
Respuesta: A) $-\frac{7}{30}$
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Calcula el producto: $(\frac{1}{2}x + 1)(\frac{1}{2}x - 1)$
Suma por su diferencia: $(\frac{1}{2}x)^2 - (1)^2 = \frac{1}{4}x^2 - 1$.
Respuesta: A) $\frac{1}{4}x^2 - 1$
-
Calcula $(\frac{2}{3}a - \frac{1}{2})(\frac{3}{4}a + 2)$
Distribuir: $(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4})a^2 + (\frac{2}{3}\cdot 2)a - (\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4})a - (\frac{1}{2}\cdot 2)$. Coeficientes: $\frac{1}{2}a^2 + \frac{4}{3}a - \frac{3}{8}a - 1$. Reduciendo $\frac{4}{3} - \frac{3}{8} = \frac{32 - 9}{24} = \frac{23}{24}$.
Respuesta: A) $\frac{1}{2}a^2 + \frac{23}{24}a - 1$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el resultado de $(\frac{4}{3}a - \frac{3}{2}b)(\frac{4}{3}a + \frac{3}{2}b)$?
Es una suma por su diferencia: $(\frac{4}{3}a)^2 - (\frac{3}{2}b)^2 = \frac{16}{9}a^2 - \frac{9}{4}b^2$.
Respuesta: A) $\frac{16}{9}a^2 - \frac{9}{4}b^2$
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El área de una lámina metálica viene dada por el producto $(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4})(\frac{2}{3}x + 2)$. Al expresar el área como polinomio, el término independiente es:
El término independiente resulta de multiplicar los términos independientes: $(-\frac{1}{4}) \cdot (2) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Respuesta: A) $-\frac{1}{2}$
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Al desarrollar $(\frac{x}{3} + \frac{y}{2})^2$, el resultado correcto es:
Cuadrado de binomio: $(\frac{x}{3})^2 + 2(\frac{x}{3})(\frac{y}{2}) + (\frac{y}{2})^2 = \frac{x^2}{9} + \frac{xy}{3} + \frac{y^2}{4}$.
Respuesta: A) $\frac{x^2}{9} + \frac{xy}{3} + \frac{y^2}{4}$