Multiplicación de dos binomios
Multiplicar dos binomios aplicando el método distributivo doble (método FOIL) y reduciendo semejantes.
Introducción
El producto de dos binomios, como $(x+a)(x+b)$, es la multiplicación más común que verás en álgebra. Existe un método nemotécnico muy popular en inglés llamado FOIL (First, Outer, Inner, Last), que te ayuda a recordar los cuatro productos cruzados indispensables.
Explicación
Definición formal
Sean $B_1=a+b$ y $B_2=c+d$ dos binomios. Entonces, por distributividad,
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$$
La multiplicación de dos binomios genera exactamente cuatro productos parciales: uno entre cada término del primer factor y cada término del segundo. Después de expandir, se reducen los términos semejantes que puedan aparecer en la suma resultante.
Desarrollo didáctico
Sea el producto: $(x + 3)(x - 5)$.
Aplicamos los cuatro productos:
1. First (Primeros): $x \cdot x = x^2$.
2. Outer (Exteriores): $x \cdot (-5) = -5x$.
3. Inner (Interiores): $3 \cdot x = +3x$.
4. Last (Últimos): $3 \cdot (-5) = -15$.
Sumamos: $x^2 - 5x + 3x - 15$.
Reducimos semejantes: $x^2 - 2x - 15$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los dos términos del primer binomio y los dos del segundo.
- Paso 2: Forma los cuatro productos parciales entre ambos factores: primero con primero, primero con segundo, segundo con primero y segundo con segundo.
- Paso 3: Calcula cada producto parcial aplicando correctamente la ley de signos y las leyes de potencias.
- Paso 4: Escribe la suma de los cuatro productos en una sola expresión.
- Paso 5: Reduce los términos semejantes, especialmente los términos centrales si tienen la misma parte literal.
Ejemplos
1 Multiplica: (2x + 1)(x - 3).
- Primeros: (2x)(x) = 2x^2.
- Exteriores: (2x)(-3) = -6x.
- Interiores: (1)(x) = +x.
- Últimos: (1)(-3) = -3.
- Línea: 2x^2 - 6x + x - 3.
- Reducción: 2x^2 - 5x - 3.
2 El ingreso neto por ventas de una distribuidora es $I = (x - 2)(2x + 10)$ miles de pesos, donde $x$ es el precio unitario. ¿Cuál es la expresión equivalente al desarrollar el producto? (v1) Opciones: A) $2x^2 + 6x - 20$ miles de pesos. · B) $2x^2 - 20$ miles de pesos. · C) $2x^2 - 6x - 20$ miles de pesos. · D) $2x^2 + 10x - 20$ miles de pesos.
- Desarrollamos: $x(2x+10) = 2x^2 + 10x$. $-2(2x+10) = -4x - 20$. Reduciendo semejantes: $2x^2 + (10-4)x - 20 = 2x^2 + 6x - 20$.
- Respuesta: $2x^2 + 6x - 20$ miles de pesos.
3 Respecto de «Multiplicación de dos binomios»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «Al multiplicar **Dos Binomios** $(a+b)(c+d)$, se realizan exactamente 4 productos: primero × primero ($ac$), primero × segundo ($ad$), segundo × primero ($bc$) y segundo × segundo ($bd$)»
- La afirmación coincide con la definición formal: Al multiplicar **Dos Binomios** $(a+b)(c+d)$, se realizan exactamente 4 productos: primero × primero ($ac$), primero × segundo ($ad$), segundo × primero ($bc$) y segundo × segundo ($bd$).
4 Respecto de «Multiplicación de dos binomios»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Multiplicar solo los primeros y los últimos, omitiendo los productos cruzados exteriores/interiores»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Al multiplicar **Dos Binomios** $(a+b)(c+d)$, se realizan exactamente 4 productos: primero × primero ($ac$), primero × segundo ($ad$), segundo × primero ($bc$) y segundo × segundo ($bd$).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar solo los primeros y los últimos, omitiendo los productos cruzados exteriores/interiores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Equivocarse en el signo del producto de los últimos términos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$x^2$, $-4x$ y $-24$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$x^2$ y $-24$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$2x$, $6x$, $-4x$ y $2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al multiplicar **Dos Binomios** $(a+b)(c+d)$, se realizan exactamente 4 productos: primero × primero ($ac$), primero × segundo ($ad$), segundo × primero ($bc$) y segundo × segundo ($bd$). Luego se reducen los semejantes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al multiplicar $(x - 4)(x + 6)$, ¿cuáles son los cuatro productos cruzados antes de reducir semejantes? (v2)
Productos: $x \cdot x=x^2$, $x \cdot 6=6x$, $-4 \cdot x=-4x$, $-4 \cdot 6=-24$.
Respuesta: A) $x^2$, $6x$, $-4x$ y $-24$.
-
Al multiplicar $(x - 4)(x + 6)$, ¿cuáles son los cuatro productos cruzados antes de reducir semejantes? (v3)
Productos: $x \cdot x=x^2$, $x \cdot 6=6x$, $-4 \cdot x=-4x$, $-4 \cdot 6=-24$.
Respuesta: A) $x^2$, $6x$, $-4x$ y $-24$.
-
Al multiplicar $(x - 4)(x + 6)$, ¿cuáles son los cuatro productos cruzados antes de reducir semejantes? (v1)
Productos: $x \cdot x=x^2$, $x \cdot 6=6x$, $-4 \cdot x=-4x$, $-4 \cdot 6=-24$.
Respuesta: A) $x^2$, $6x$, $-4x$ y $-24$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Calcula el producto de: $(a - 7)(a - 3)$.
FOIL: $a^2$, $-3a$, $-7a$, $+21$. Sumamos: $a^2 - 10a + 21$.
Respuesta: A) $a^2 - 10a + 21$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El producto de $(3x + 2)(x - 1)$ es igual a $3x^2 - x - 2$?
$(3x)(x) = 3x^2$. $(3x)(-1) = -3x$. $(2)(x) = 2x$. $(2)(-1) = -2$. Suma: $3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El producto de $(3x + 2)(x - 1)$ es igual a $3x^2 - x - 2$?
$(3x)(x) = 3x^2$. $(3x)(-1) = -3x$. $(2)(x) = 2x$. $(2)(-1) = -2$. Suma: $3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$.
Respuesta: Verdadero
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¿El producto de $(3x + 2)(x - 1)$ es igual a $3x^2 - x - 2$?
$(3x)(x) = 3x^2$. $(3x)(-1) = -3x$. $(2)(x) = 2x$. $(2)(-1) = -2$. Suma: $3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El ingreso neto por ventas de una distribuidora es $I = (x - 2)(2x + 10)$ miles de pesos, donde $x$ es el precio unitario. ¿Cuál es la expresión equivalente al desarrollar el producto? (v2)
Desarrollamos: $x(2x+10) = 2x^2 + 10x$. $-2(2x+10) = -4x - 20$. Reduciendo semejantes: $2x^2 + (10-4)x - 20 = 2x^2 + 6x - 20$.
Respuesta: A) $2x^2 + 6x - 20$ miles de pesos.
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El ingreso neto por ventas de una distribuidora es $I = (x - 2)(2x + 10)$ miles de pesos, donde $x$ es el precio unitario. ¿Cuál es la expresión equivalente al desarrollar el producto? (v3)
Desarrollamos: $x(2x+10) = 2x^2 + 10x$. $-2(2x+10) = -4x - 20$. Reduciendo semejantes: $2x^2 + (10-4)x - 20 = 2x^2 + 6x - 20$.
Respuesta: A) $2x^2 + 6x - 20$ miles de pesos.
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El ingreso neto por ventas de una distribuidora es $I = (x - 2)(2x + 10)$ miles de pesos, donde $x$ es el precio unitario. ¿Cuál es la expresión equivalente al desarrollar el producto? (v1)
Desarrollamos: $x(2x+10) = 2x^2 + 10x$. $-2(2x+10) = -4x - 20$. Reduciendo semejantes: $2x^2 + (10-4)x - 20 = 2x^2 + 6x - 20$.
Respuesta: A) $2x^2 + 6x - 20$ miles de pesos.