Multiplicación de dos binomios
Resumen inicial
La multiplicación de dos binomios consiste en aplicar la distribución de los dos términos del primer binomio sobre los dos del segundo, generando 4 productos parciales que se reducen a un trinomio.
Explicación en palabras simples
Multiplicar dos binomios $(a + b) \cdot (c + d)$ es uno de los procedimientos más utilizados en álgebra:
- REGLA DE LOS 4 PRODUCTOS:
1. Primero por Primero: $a \cdot c$.
2. Primero por Segundo: $a \cdot d$.
3. Segundo por Primero: $b \cdot c$.
4. Segundo por Segundo: $b \cdot d$.
- Fórmula desplegada: $(a + b)(c + d) = \mathbf{ac + ad + bc + bd}$.
- Ejemplo clásico: $(x + 3) \cdot (x + 5)$:
- $x \cdot x = \mathbf{x^2}$.
- $x \cdot 5 = \mathbf{+5x}$.
- $3 \cdot x = \mathbf{+3x}$.
- $3 \cdot 5 = \mathbf{+15}$.
- Suma parcial: $x^2 + 5x + 3x + 15$.
- Reducimos los dos términos del medio ($5x + 3x = 8x$): $x^2 + 8x + 15$.
Explicación formal
Definición formal
Sean $B_1 = (a x + b)$ y $B_2 = (c x + d)$ dos binomios de grado 1 en $\mathbb{R}[x]$. La multiplicación de dos binomios es la aplicación directa de la ley distributiva binaria:
$$(a x + b)(c x + d) = (a c) x^2 + (a d) x + (b c) x + (b d)$$
reducida mediante la proyección del espacio cuadrático sobre el trinomio canónico:
$$(a x + b)(c x + d) = (a c) x^2 + (a d + b c) x + (b d)$$
Modelo de Términos Centrales Combinados
El coeficiente del término lineal $(a d + b c)$ resulta de la suma de los productos extremos $(a d)$ y medios $(b c)$, sentando las bases algebraicas para el método de factorización por aspa simple.
Síntesis didáctica
Multiplicar dos binomios lineales genera siempre un trinomio cuadrático de la forma $A x^2 + B x + C$ (salvo en la diferencia de cuadrados donde $B=0$).
La alternativa correcta es 'Se reduce a un trinomio cuadrático de la forma $(ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$'. Trinomio cuadrático resultante.
Definiciones clave
- Multiplicación de binomios: Producto de dos expresiones algebraicas compuestas por exactamente dos sumandos cada una.
- Cuatro productos parciales ($ac, ad, bc, bd$): Cuatrinomio inicial generado por la combinación de los términos de ambos binomios.
- Consolidación lineal de términos medios ($ad + bc$): Reducción de los dos términos cruzados centrales en un único término de grado 1.
Propiedades y relaciones importantes
- Trinomio cuadrático resultante: El producto de dos binomios de grado 1 se reduce a un trinomio de grado 2.
- Genérico para productos notables: Caso general que abarca al cuadrado de binomio y a la suma por su diferencia.
Ejemplo guiado
Multiplica los binomios $(3x - 4) \cdot (2x + 5)$ y reduce el polinomio resultante.
- Paso 1: Multiplicamos Primero por Primero: $3x \cdot 2x = \mathbf{6x^2}$.
- Paso 2: Multiplicamos Primero por Segundo (extremos): $3x \cdot 5 = \mathbf{+15x}$.
- Paso 3: Multiplicamos Segundo por Primero (medios): $-4 \cdot 2x = \mathbf{-8x}$.
- Paso 4: Multiplicamos Segundo por Segundo: $-4 \cdot 5 = \mathbf{-20}$.
- Paso 5: Escribimos los 4 productos parciales: $6x^2 + 15x - 8x - 20$.
- Paso 6: Reducimos los términos del medio ($+15x - 8x = \mathbf{+7x}$): $6x^2 + 7x - 20$.
- Conclusión: El trinomio resultante es **$6x^2 + 7x - 20$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $x^2 + 4x - 21$, sumando los medios $+7x - 3x = +4x$ y multiplicando $-3 \cdot 7 = -21$'. $x^2+7x-3x-21 = x^2+4x-21$.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar los primeros términos de ambos binomios para obtener el término de grado mayor.
- Paso 2: Multiplicar los términos extremos y los términos medios para obtener los dos productos parciales centrales.
- Paso 3: Multiplicar los segundos términos de ambos binomios para obtener la constante.
- Paso 4: Reducir los términos semejantes centrales y presentar el trinomio consolidado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar únicamente $x \cdot x$ y los números (escribir $(x+3)(x+4) = x^2 + 12$). Cómo corregirlo: Se deben CALCULAR LOS 4 PRODUCTOS INCLUYENDO LOS TÉRMINOS CRUZADOS ($x^2 + 7x + 12$).
- Error 2: Sumar los números de los binomios al calcular el término constante (escribir $(x+3)(x+4) = x^2 + 7x + 7$). Cómo corregirlo: El término constante SE MULTIPLICA ($3 \cdot 4 = 12$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Productos: $y^2 + 6y + 2y + 12$.
- Reducción: $y^2 + 8y + 12$.
- Productos: $m^2 - 2m - 5m + 10$.
- Reducción: $m^2 - 7m + 10$.
- Sí, $+4x - 4x = 0 \implies x^2 - 16$.
- Sí, $2x \cdot 3x = 6x^2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Calcular el producto de dos binomios lineales o cuadráticos mediante el método FOIL.
Sumar los cuatro productos elementales $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ y reducir los dos términos centrales semejantes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al multiplicar $(x - 4)(x + 6)$, ¿cuáles son los cuatro productos cruzados antes de reducir semejantes? (v2)
Productos: $x \cdot x=x^2$, $x \cdot 6=6x$, $-4 \cdot x=-4x$, $-4 \cdot 6=-24$.
Respuesta: A) $x^2$, $6x$, $-4x$ y $-24$.
-
Al multiplicar $(x - 4)(x + 6)$, ¿cuáles son los cuatro productos cruzados antes de reducir semejantes? (v3)
Productos: $x \cdot x=x^2$, $x \cdot 6=6x$, $-4 \cdot x=-4x$, $-4 \cdot 6=-24$.
Respuesta: A) $x^2$, $6x$, $-4x$ y $-24$.
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Al multiplicar $(x - 4)(x + 6)$, ¿cuáles son los cuatro productos cruzados antes de reducir semejantes? (v1)
Productos: $x \cdot x=x^2$, $x \cdot 6=6x$, $-4 \cdot x=-4x$, $-4 \cdot 6=-24$.
Respuesta: A) $x^2$, $6x$, $-4x$ y $-24$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Calcula el producto de: $(a - 7)(a - 3)$.
FOIL: $a^2$, $-3a$, $-7a$, $+21$. Sumamos: $a^2 - 10a + 21$.
Respuesta: A) $a^2 - 10a + 21$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El producto de $(3x + 2)(x - 1)$ es igual a $3x^2 - x - 2$?
$(3x)(x) = 3x^2$. $(3x)(-1) = -3x$. $(2)(x) = 2x$. $(2)(-1) = -2$. Suma: $3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El producto de $(3x + 2)(x - 1)$ es igual a $3x^2 - x - 2$?
$(3x)(x) = 3x^2$. $(3x)(-1) = -3x$. $(2)(x) = 2x$. $(2)(-1) = -2$. Suma: $3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El producto de $(3x + 2)(x - 1)$ es igual a $3x^2 - x - 2$?
$(3x)(x) = 3x^2$. $(3x)(-1) = -3x$. $(2)(x) = 2x$. $(2)(-1) = -2$. Suma: $3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El ingreso neto por ventas de una distribuidora es $I = (x - 2)(2x + 10)$ miles de pesos, donde $x$ es el precio unitario. ¿Cuál es la expresión equivalente al desarrollar el producto? (v2)
Desarrollamos: $x(2x+10) = 2x^2 + 10x$. $-2(2x+10) = -4x - 20$. Reduciendo semejantes: $2x^2 + (10-4)x - 20 = 2x^2 + 6x - 20$.
Respuesta: A) $2x^2 + 6x - 20$ miles de pesos.
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El ingreso neto por ventas de una distribuidora es $I = (x - 2)(2x + 10)$ miles de pesos, donde $x$ es el precio unitario. ¿Cuál es la expresión equivalente al desarrollar el producto? (v3)
Desarrollamos: $x(2x+10) = 2x^2 + 10x$. $-2(2x+10) = -4x - 20$. Reduciendo semejantes: $2x^2 + (10-4)x - 20 = 2x^2 + 6x - 20$.
Respuesta: A) $2x^2 + 6x - 20$ miles de pesos.
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El ingreso neto por ventas de una distribuidora es $I = (x - 2)(2x + 10)$ miles de pesos, donde $x$ es el precio unitario. ¿Cuál es la expresión equivalente al desarrollar el producto? (v1)
Desarrollamos: $x(2x+10) = 2x^2 + 10x$. $-2(2x+10) = -4x - 20$. Reduciendo semejantes: $2x^2 + (10-4)x - 20 = 2x^2 + 6x - 20$.
Respuesta: A) $2x^2 + 6x - 20$ miles de pesos.