Multiplicación continuada de polinomios
Resolver productos sucesivos de polinomios y justificar el procedimiento algebraico.
Introducción
Un producto puede contener más de dos polinomios. Para resolverlo con seguridad se elige una agrupación conveniente y se simplifica cada producto antes de continuar.
Explicación
Definición formal
Sea $P_1,P_2,\ldots,P_r$ una familia finita de polinomios. Su producto continuado se define recursivamente mediante
$$\prod_{t=1}^{r} P_t = \left(\prod_{t=1}^{r-1} P_t\right)P_r,$$
y la propiedad asociativa de la multiplicación garantiza que el resultado no depende de cómo se agrupen los factores. En la expansión completa, cada término del producto final proviene de elegir un término de cada polinomio factor y multiplicar todos esos aportes entre sí. Después se reducen los términos semejantes obtenidos.
Desarrollo didáctico
No reduce su valor matemático, pero reduce drásticamente la explosión de términos, facilitando el cálculo humano.
La asociatividad permite elegir el orden. Resolver un producto notable primero siempre simplifica la expresión rápidamente.
Los dos últimos forman $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$. Por ende queda $x(x^2 - 1)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Observa todos los factores y elige una agrupación conveniente usando la propiedad asociativa.
- Paso 2: Multiplica primero un par de polinomios y simplifica por completo el resultado obtenido.
- Paso 3: Usa el polinomio simplificado como nuevo factor y repite el proceso con el siguiente.
- Paso 4: Continúa hasta incorporar todos los polinomios del producto.
- Paso 5: Ordena y reduce el resultado final, verificando que no queden términos semejantes sin combinar.
Ejemplos
1 Si el lado de un cubo se incrementa en $2$, en $3$ y se reduce en $1$ en sus tres dimensiones, la expresión polinómica del nuevo volumen en función del lado original $x$ será: Opciones: A) $x^3 + 4x^2 + x - 6$ · B) $x^3 + 6x^2 - x - 6$ · C) $x^3 + 4x^2 - x + 6$ · D) $x^3 + 5x^2 + x - 6$
- $(x+2)(x+3)(x-1)$. $(x^2+5x+6)(x-1) = x^3 - x^2 + 5x^2 - 5x + 6x - 6 = x^3 + 4x^2 + x - 6$.
- Respuesta: $x^3 + 4x^2 + x - 6$
2 ¿Cuál es el coeficiente de $x^2$ en el desarrollo de $(x-2)(x-3)(x-4)$? Opciones: A) $-9$ · B) $9$ · C) $-26$ · D) $24$
- $(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$. $(x^2 - 5x + 6)(x - 4) = x^3 - 4x^2 - 5x^2 + 20x + 6x - 24$. El término de $x^2$ es $-4x^2 - 5x^2 = -9x^2$. Coeficiente $-9$.
3 Respecto de «Multiplicación continuada de polinomios»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «La propiedad asociativa dicta agrupar de a dos, resolver y continuar con el siguiente»
- La afirmación coincide con la definición formal: La propiedad asociativa dicta agrupar de a dos, resolver y continuar con el siguiente.
4 Respecto de «Multiplicación continuada de polinomios»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Multiplicar el primer término de cada polinomio entre sí»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La propiedad asociativa dicta agrupar de a dos, resolver y continuar con el siguiente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar el primer término de cada polinomio entre sí."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al multiplicar tres polinomios, ¿cuál es el procedimiento estándar más recomendable», la respuesta correcta es Sumar los dos primeros y multiplicar por el tercero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Distribuir cada término del primer polinomio en todos los otros polinomios simultáneamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Porque si no se hace, el resultado final cambia de valor."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Por qué es crucial reducir términos semejantes después de multiplicar los dos primeros polinomios, antes de avanzar al tercero», la respuesta correcta es Para cambiar el grado del polinomio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La propiedad asociativa dicta agrupar de a dos, resolver y continuar con el siguiente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Por qué es crucial reducir términos semejantes después de multiplicar los dos primeros polinomios, antes de avanzar al tercero?
No reduce su valor matemático, pero reduce drásticamente la explosión de términos, facilitando el cálculo humano.
Respuesta: A) Para disminuir la cantidad de multiplicaciones en el siguiente paso y evitar errores.
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Si debes calcular $P(x) \cdot Q(x) \cdot R(x)$, y sabes que $Q(x)$ y $R(x)$ son una suma por su diferencia, ¿qué orden de multiplicación te conviene más?
La asociatividad permite elegir el orden. Resolver un producto notable primero siempre simplifica la expresión rápidamente.
Respuesta: A) Multiplicar primero $Q(x)$ y $R(x)$ para aprovechar el producto notable.
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Al multiplicar tres polinomios, ¿cuál es el procedimiento estándar más recomendable?
La propiedad asociativa dicta agrupar de a dos, resolver y continuar con el siguiente.
Respuesta: A) Multiplicar los dos primeros, reducir semejantes y luego multiplicar el resultado por el tercero.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Dada la expresión $(x)(x+1)(x-1)$, identifica el paso intermedio tras operar los dos últimos factores.
Los dos últimos forman $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$. Por ende queda $x(x^2 - 1)$.
Respuesta: A) $x(x^2 - 1)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Calcula el volumen de una caja rectangular con dimensiones $(x)$, $(x+4)$ y $(x-4)$.
Volumen = $x(x+4)(x-4)$. Primero binomios: $x^2 - 16$. Luego por $x$: $x^3 - 16x$.
Respuesta: A) $x^3 - 16x$
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Desarrolla: $(a-1)(a+1)(a+2)$
$(a-1)(a+1) = a^2 - 1$. Multiplicado por $(a+2)$: $(a^2 - 1)(a+2) = a^3 + 2a^2 - a - 2$.
Respuesta: A) $a^3 + 2a^2 - a - 2$
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Calcula el producto completo: $2x(x + 3)(x - 2)$
Binomios: $(x+3)(x-2) = x^2 + x - 6$. Por $2x$: $2x(x^2 + x - 6) = 2x^3 + 2x^2 - 12x$.
Respuesta: A) $2x^3 + 2x^2 - 12x$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el coeficiente de $x^2$ en el desarrollo de $(x-2)(x-3)(x-4)$?
$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$. $(x^2 - 5x + 6)(x - 4) = x^3 - 4x^2 - 5x^2 + 20x + 6x - 24$. El término de $x^2$ es $-4x^2 - 5x^2 = -9x^2$. Coeficiente $-9$.
Respuesta: A) $-9$
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La expresión $(1-x)(1+x)(1+x^2)$ es equivalente a:
Los primeros dos: $1 - x^2$. Multiplicado por el tercero: $(1 - x^2)(1 + x^2)$. Es otra suma por diferencia: $1^2 - (x^2)^2 = 1 - x^4$.
Respuesta: A) $1 - x^4$
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Si el lado de un cubo se incrementa en $2$, en $3$ y se reduce en $1$ en sus tres dimensiones, la expresión polinómica del nuevo volumen en función del lado original $x$ será:
$(x+2)(x+3)(x-1)$. $(x^2+5x+6)(x-1) = x^3 - x^2 + 5x^2 - 5x + 6x - 6 = x^3 + 4x^2 + x - 6$.
Respuesta: A) $x^3 + 4x^2 + x - 6$