Aplicación de la regla general para multiplicar dos polinomios
Multiplicar dos polinomios multiplicando cada término del primero por todos los términos del segundo y reduciendo los semejantes.
Introducción
Si la multiplicación de monomio por polinomio era un cartero entregando cartas en una cuadra, la multiplicación de polinomios es como si todos los carteros de una oficina entregaran cartas en todas las casas de la cuadra. Absolutamente todos se multiplican con todos.
Explicación
Definición formal
Sean $P(x)=\sum_{i=0}^{m} a_i x^i$ y $Q(x)=\sum_{j=0}^{n} b_j x^j$ dos polinomios. Su producto se define por
$$P(x)Q(x)=\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n} a_i b_j x^{i+j}.$$
Al reagrupar los términos del mismo grado, también puede escribirse como
$$P(x)Q(x)=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{i+j=k} a_i b_j\right)x^k.$$
Esto expresa que multiplicar dos polinomios consiste en aplicar la distributividad a todos los pares de términos y luego reducir los términos semejantes. Si $P$ tiene $r$ términos no nulos y $Q$ tiene $s$ términos no nulos, entonces aparecen $r\cdot s$ productos parciales antes de la reducción.
Desarrollo didáctico
Multiplica: $(2x + 3)(x - 4)$.
Aplicamos la distribución extendida:
1. $(2x)(x) = 2x^2$.
2. $(2x)(-4) = -8x$.
3. $(3)(x) = +3x$.
4. $(3)(-4) = -12$.
Unimos los términos: $2x^2 - 8x + 3x - 12$.
Reducimos semejantes (familia $x$): $-8x + 3x = -5x$.
Resultado final: $2x^2 - 5x - 12$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica todos los términos de cada polinomio y decide un orden de trabajo claro.
- Paso 2: Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo, sin omitir ninguna combinación.
- Paso 3: Escribe todos los productos parciales conservando signos, coeficientes y potencias.
- Paso 4: Agrupa los términos que tengan la misma parte literal y el mismo exponente.
- Paso 5: Reduce los términos semejantes y ordena el resultado final.
Ejemplos
1 Multiplica: (a + b)(a - b).
- (a)(a) = a^2.
- (a)(-b) = -ab.
- (b)(a) = +ab (ordenado).
- (b)(-b) = -b^2.
- Línea completa: a^2 - ab + ab - b^2.
- Reducción: -ab + ab = 0.
- Resultado: a^2 - b^2.
2 Un parque rectangular tiene largo $(x + 8)$ metros y ancho $(x - 3)$ metros. ¿Qué expresión algebraica describe el área total del parque? (v1) Opciones: A) $x^2 + 5x - 24$ metros cuadrados. · B) $x^2 - 24$ metros cuadrados. · C) $x^2 + 5x + 24$ metros cuadrados. · D) $2x + 5$ metros cuadrados.
- Área = largo × ancho $= (x+8)(x-3) = x^2 - 3x + 8x - 24 = x^2 + 5x - 24$.
- Respuesta: $x^2 + 5x - 24$ metros cuadrados.
3 Respecto de «Aplicación de la regla general para multiplicar dos polinomios»: ¿La siguiente formulación es correcta? «La **Multiplicación de Polinomios** consiste en multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio»
- La afirmación coincide con la definición formal: La **Multiplicación de Polinomios** consiste en multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio.
4 Respecto de «Aplicación de la regla general para multiplicar dos polinomios»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Multiplicar solo términos en la misma posición (ej. creer que $(x+1)(x+2) = x^2 + 2$)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La **Multiplicación de Polinomios** consiste en multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar solo términos en la misma posición (ej. creer que $(x+1)(x+2) = x^2 + 2$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar la regla de signos en algunos de los productos cruzados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al multiplicar un binomio de 2 términos por un trinomio de 3 términos, ¿cuántas multiplicaciones de monomios individuales se deben realizar antes de reducir semejantes? (v1)», la respuesta correcta es $5$ multiplicaciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al multiplicar un binomio de 2 términos por un trinomio de 3 términos, ¿cuántas multiplicaciones de monomios individuales se deben realizar antes de reducir semejantes? (v1)», la respuesta correcta es $4$ multiplicaciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al multiplicar un binomio de 2 términos por un trinomio de 3 términos, ¿cuántas multiplicaciones de monomios individuales se deben realizar antes de reducir semejantes? (v1)», la respuesta correcta es $2$ multiplicaciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **Multiplicación de Polinomios** consiste en multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio. Luego se reducen todos los términos semejantes que resulten.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al multiplicar un binomio de 2 términos por un trinomio de 3 términos, ¿cuántas multiplicaciones de monomios individuales se deben realizar antes de reducir semejantes? (v2)
Por regla general, si el primero tiene $m$ términos y el segundo $n$ términos, se realizan $m \times n$ productos. En este caso: $2 \times 3 = 6$.
Respuesta: A) $6$ multiplicaciones.
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Al multiplicar un binomio de 2 términos por un trinomio de 3 términos, ¿cuántas multiplicaciones de monomios individuales se deben realizar antes de reducir semejantes? (v3)
Por regla general, si el primero tiene $m$ términos y el segundo $n$ términos, se realizan $m \times n$ productos. En este caso: $2 \times 3 = 6$.
Respuesta: A) $6$ multiplicaciones.
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Al multiplicar un binomio de 2 términos por un trinomio de 3 términos, ¿cuántas multiplicaciones de monomios individuales se deben realizar antes de reducir semejantes? (v1)
Por regla general, si el primero tiene $m$ términos y el segundo $n$ términos, se realizan $m \times n$ productos. En este caso: $2 \times 3 = 6$.
Respuesta: A) $6$ multiplicaciones.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Multiplica y simplifica: $(x + 5)(x + 2)$.
$(x)(x)=x^2$. $(x)(2)=2x$. $(5)(x)=5x$. $(5)(2)=10$. Sumamos: $x^2 + 2x + 5x + 10 = x^2 + 7x + 10$.
Respuesta: A) $x^2 + 7x + 10$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El producto $(2a + 1)(a - 3)$ es igual a $2a^2 - 5a - 3$?
$(2a)(a) = 2a^2$, $(2a)(-3) = -6a$, $(1)(a) = a$, $(1)(-3) = -3$. Juntos: $2a^2 - 6a + a - 3 = 2a^2 - 5a - 3$.
Respuesta: Verdadero
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¿El producto $(2a + 1)(a - 3)$ es igual a $2a^2 - 5a - 3$?
$(2a)(a) = 2a^2$, $(2a)(-3) = -6a$, $(1)(a) = a$, $(1)(-3) = -3$. Juntos: $2a^2 - 6a + a - 3 = 2a^2 - 5a - 3$.
Respuesta: Verdadero
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¿El producto $(2a + 1)(a - 3)$ es igual a $2a^2 - 5a - 3$?
$(2a)(a) = 2a^2$, $(2a)(-3) = -6a$, $(1)(a) = a$, $(1)(-3) = -3$. Juntos: $2a^2 - 6a + a - 3 = 2a^2 - 5a - 3$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un parque rectangular tiene largo $(x + 8)$ metros y ancho $(x - 3)$ metros. ¿Qué expresión algebraica describe el área total del parque? (v2)
Área = largo × ancho $= (x+8)(x-3) = x^2 - 3x + 8x - 24 = x^2 + 5x - 24$.
Respuesta: A) $x^2 + 5x - 24$ metros cuadrados.
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Un parque rectangular tiene largo $(x + 8)$ metros y ancho $(x - 3)$ metros. ¿Qué expresión algebraica describe el área total del parque? (v1)
Área = largo × ancho $= (x+8)(x-3) = x^2 - 3x + 8x - 24 = x^2 + 5x - 24$.
Respuesta: A) $x^2 + 5x - 24$ metros cuadrados.
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Un parque rectangular tiene largo $(x + 8)$ metros y ancho $(x - 3)$ metros. ¿Qué expresión algebraica describe el área total del parque? (v3)
Área = largo × ancho $= (x+8)(x-3) = x^2 - 3x + 8x - 24 = x^2 + 5x - 24$.
Respuesta: A) $x^2 + 5x - 24$ metros cuadrados.