Multiplicación de dos monomios
Resumen inicial
La multiplicación de dos monomios consiste en multiplicar sus coeficientes numéricos entre sí y combinar sus factores literales aplicando el producto de potencias de igual base.
Explicación en palabras simples
Para multiplicar dos monomios (expresiones algebraicas de un solo término cada una):
- Paso 1: Multiplica los coeficientes numéricos (los números de adelante) aplicando la regla de los signos.
- Paso 2: Suma los exponentes de las letras que son iguales (misma base $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$).
- Paso 3: Conserva las letras que son distintas poniéndolas una al lado de la otra.
- Ejemplo 1: $(4x^3) \cdot (5x^2)$:
- Coeficientes: $4 \cdot 5 = \mathbf{20}$.
- Variable $x$: $x^{3+2} = \mathbf{x^5}$.
- Resultado: $20x^5$.
- Ejemplo 2: $(-3a^2 b) \cdot (2a c^3)$:
- Coeficientes: $(-3) \cdot (2) = \mathbf{-6}$.
- Variable $a$: $a^{2+1} = \mathbf{a^3}$.
- Variables $b$ y $c$: $\mathbf{b c^3}$.
- Resultado: $-6a^3 b c^3$.
Explicación formal
Definición formal
Sean $M_1 = a \prod_{i=1}^n x_i^{\alpha_i}$ y $M_2 = b \prod_{i=1}^n x_i^{\beta_i}$ dos monomios en $\mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]$ con coeficientes $a, b \in \mathbb{R}$ y vectores de exponentes $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{N}_0^n$. El producto de monomios se define como el operador bilineal:
$$M_1 \cdot M_2 = (a \cdot b) \prod_{i=1}^n x_i^{\alpha_i + \beta_i}$$
Grado del Monomio Producto
El grado absoluto del monomio producto es la suma exacta de los grados absolutos de cada uno de los monomios multiplicandos:
$$\operatorname{deg}(M_1 \cdot M_2) = \operatorname{deg}(M_1) + \operatorname{deg}(M_2) = \sum_{i=1}^n \alpha_i + \sum_{i=1}^n \beta_i$$
Síntesis didáctica
La multiplicación de dos monomios es la operación fundamental que desacopla el cálculo en un producto aritmético de escalares y una suma de exponentes vectoriales.
La alternativa correcta es 'Resulta siempre un único monomio cuya parte literal combina la suma de exponentes de las bases comunes'. Cierre bajo la multiplicación de monomios.
Definiciones clave
- Multiplicación de dos monomios: Operación algebraica que consolida dos términos en un único monomio resultante.
- Producto bilineal de coeficientes ($a \cdot b$): Multiplicación de las constantes reales preservando la signatura.
- Adición vectorial de exponentes ($\alpha_i + \beta_i$): Suma de las potencias asociadas a cada variable compartida.
Propiedades y relaciones importantes
- Cierre bajo la multiplicación: El producto de dos monomios siempre resulta en un nuevo monomio (nunca en un binomio).
- Conmutatividad del producto de monomios: $M_1 \cdot M_2 = M_2 \cdot M_1$.
Ejemplo guiado
Calcula el producto de los monomios $M_1 = -6x^4 y^2$ y $M_2 = 3x y^3 z$.
- Paso 1: Multiplicamos los coeficientes numéricos aplicando ley de signos: $(-6) \cdot (3) = \mathbf{-18}$.
- Paso 2: Sumamos los exponentes para la variable $x$: $x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = \mathbf{x^5}$.
- Paso 3: Sumamos los exponentes para la variable $y$: $y^2 \cdot y^3 = y^{2+3} = \mathbf{y^5}$.
- Paso 4: Mantenemos la variable $z$ intacta por pertenecer sólo al segundo factor: $\mathbf{z^1}$.
- Paso 5: Consolidamos el monomio producto final: $-18x^5 y^5 z$.
- Conclusión: El producto de los monomios es **$-18x^5 y^5 z$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $-12a^5 b$, multiplicando $3 \cdot (-4) = -12$ y sumando $2 + 3 = 5$ en el exponente de $a$'. $3 \cdot (-4) = -12$, $a^{2+3}=a^5 \implies -12a^5b$.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar los coeficientes numéricos de ambos monomios determinando el signo final.
- Paso 2: Identificar las letras comunes en ambos monomios y sumar sus exponentes respectivos.
- Paso 3: Copiar las letras que sólo aparecen en uno de los monomios con su mismo exponente.
- Paso 4: Presentar el monomio resultante con las letras ordenadas alfabéticamente.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar los coeficientes numéricos en lugar de multiplicarlos al resolver $2x \cdot 3x$. Cómo corregirlo: Los coeficientes SE MULTIPLICAN ($2 \cdot 3 = 6 \implies 6x^2$).
- Error 2: Multiplicar los exponentes de la misma variable en lugar de sumarlos (escribir $x^2 \cdot x^3 = x^6$). Cómo corregirlo: Los exponentes de igual base SE SUMAN ($2 + 3 = 5 \implies x^5$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Coeficientes: $5 \cdot 2 = 10$.
- Exponentes: $3 + 4 = 7$.
- Resultado: $10x^7$.
- Coeficientes: $(-4) \cdot (-3) = +12$.
- Variable $a$: $a^{2+1} = a^3$.
- Variable $b$: $b$.
- Resultado: $12a^3 b$.
- Sí, $x^1 \cdot x^2 = x^3$.
- Sí, por tener bases variables distintas.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Multiplicar dos términos monómicos simples o multivariables.
Multiplicar los coeficientes numéricos $a \cdot b$ y sumar los exponentes de las letras comunes $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ manteniendo las variables no compartidas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el resultado correcto al multiplicar los monomios $(-4ab^2)$ y $(3a^2c)$? (v1)
Signo: $(-)(+)=-$. Coeficientes: $4 \times 3 = 12$. Variable $a$: $a^1 \cdot a^2 = a^3$. Variable $b$: $b^2$. Variable $c$: $c$. Resultado: $-12a^3b^2c$.
Respuesta: A) $-12a^3b^2c$
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¿Cuál es el resultado correcto al multiplicar los monomios $(-4ab^2)$ y $(3a^2c)$? (v2)
Signo: $(-)(+)=-$. Coeficientes: $4 \times 3 = 12$. Variable $a$: $a^1 \cdot a^2 = a^3$. Variable $b$: $b^2$. Variable $c$: $c$. Resultado: $-12a^3b^2c$.
Respuesta: A) $-12a^3b^2c$
-
¿Cuál es el resultado correcto al multiplicar los monomios $(-4ab^2)$ y $(3a^2c)$? (v3)
Signo: $(-)(+)=-$. Coeficientes: $4 \times 3 = 12$. Variable $a$: $a^1 \cdot a^2 = a^3$. Variable $b$: $b^2$. Variable $c$: $c$. Resultado: $-12a^3b^2c$.
Respuesta: A) $-12a^3b^2c$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Calcula el producto: $(7x^3y^2)(-2xy^4)$.
Signo: $(-)(+)=-$. Coeficientes: $7 \times 2 = 14$. Variable $x$: $x^3 \cdot x = x^4$. Variable $y$: $y^2 \cdot y^4 = y^6$. Resultado: $-14x^4y^6$.
Respuesta: A) $-14x^4y^6$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El producto de $(3m^2)$ y $(-2n^3)$ es $-6m^2n^3$?
Signo: $(+)(-) = -$. Coeficientes: $3 \times 2 = 6$. Como no comparten letras, se escriben juntas: $m^2n^3$. Resultado: $-6m^2n^3$.
Respuesta: Verdadero
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¿El producto de $(3m^2)$ y $(-2n^3)$ es $-6m^2n^3$?
Signo: $(+)(-) = -$. Coeficientes: $3 \times 2 = 6$. Como no comparten letras, se escriben juntas: $m^2n^3$. Resultado: $-6m^2n^3$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El producto de $(3m^2)$ y $(-2n^3)$ es $-6m^2n^3$?
Signo: $(+)(-) = -$. Coeficientes: $3 \times 2 = 6$. Como no comparten letras, se escriben juntas: $m^2n^3$. Resultado: $-6m^2n^3$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un terreno rectangular tiene de largo $6a^2b$ metros y de ancho $2ab^3$ metros. ¿Cuál es su área en metros cuadrados? (v1)
Área = largo × ancho $= (6a^2b)(2ab^3) = (6 \cdot 2)(a^{2+1})(b^{1+3}) = 12a^3b^4$.
Respuesta: A) $12a^3b^4$
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Un terreno rectangular tiene de largo $6a^2b$ metros y de ancho $2ab^3$ metros. ¿Cuál es su área en metros cuadrados? (v2)
Área = largo × ancho $= (6a^2b)(2ab^3) = (6 \cdot 2)(a^{2+1})(b^{1+3}) = 12a^3b^4$.
Respuesta: A) $12a^3b^4$
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Un terreno rectangular tiene de largo $6a^2b$ metros y de ancho $2ab^3$ metros. ¿Cuál es su área en metros cuadrados? (v3)
Área = largo × ancho $= (6a^2b)(2ab^3) = (6 \cdot 2)(a^{2+1})(b^{1+3}) = 12a^3b^4$.
Respuesta: A) $12a^3b^4$