Producto de monomio por polinomio con coeficientes fraccionarios
Multiplicar un monomio por un polinomio con coeficientes fraccionarios, aplicando la propiedad distributiva término a término.
Introducción
Cuando distribuimos un monomio sobre un polinomio con fracciones, multiplicamos el término exterior por cada término interior. Esto genera múltiples multiplicaciones de fracciones independientes que resolvemos una por una.
Explicación
Definición formal
Sea $M=cX^{\alpha}$ un monomio y sea $P=\sum_{i=1}^{n}d_iX^{\beta_i}$ un polinomio, donde $c,d_i\in\mathbb{Q}$ y todos los denominadores son distintos de cero. Entonces
$$M\cdot P=\sum_{i=1}^{n}(cd_i)X^{\alpha+\beta_i}.$$
La presencia de coeficientes fraccionarios no modifica la propiedad distributiva: cada coeficiente $cd_i$ se calcula mediante el producto de fracciones y se expresa en su forma irreducible; las potencias de bases iguales se combinan sumando exponentes.
Desarrollo didáctico
Multiplica: $\frac{1}{2}x(\frac{2}{3}x - \frac{4}{5})$.
- Distribución 1:
$\frac{1}{2}x \cdot \frac{2}{3}x = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})x^2 = \frac{2}{6}x^2 = \frac{1}{3}x^2$. - Distribución 2:
$\frac{1}{2}x \cdot (-\frac{4}{5}) = -(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5})x = -\frac{4}{10}x = -\frac{2}{5}x$.
Resultado combinado: $\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{5}x$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el monomio multiplicador y cada uno de los sumandos fraccionarios dentro del polinomio.
- Paso 2: Distribuye el monomio multiplicando el primer término del polinomio (multiplicación de fracciones).
- Paso 3: Distribuye al segundo término (ojo con los signos y la multiplicación de fracciones).
- Paso 4: Simplifica cada una de las fracciones obtenidas en los coeficientes.
- Paso 5: Escribe el polinomio final.
- Término 1: $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$. Término 2: $\frac{3}{5} \times (-10) = -6$.
Ejemplos
1 Multiplica: 2/3 a(3/4 a + 1/2).
- Producto 1: (2/3 a)(3/4 a) = 6/12 a^2 = 1/2 a^2.
- Producto 2: (2/3 a)(1/2) = 2/6 a = 1/3 a.
- Resultado: 1/2 a^2 + 1/3 a.
2 Un maestro de obra diseña una rampa de ancho $\frac{1}{2}w$ metros y longitud descrita por $(\frac{2}{3}w^2 + 8w)$ metros. ¿Cuál es el área de la superficie de la rampa? (v1) Opciones: A) $\frac{1}{3}w^3 + 4w^2$ · B) $\frac{2}{6}w^3 + 8w^2$ · C) $\frac{1}{2}w^3 + 4w^2$ · D) $\frac{1}{3}w^2 + 4w$
- Área $= (\frac{1}{2}w)(\frac{2}{3}w^2 + 8w) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})w^3 + (\frac{1}{2} \cdot 8)w^2 = \frac{2}{6}w^3 + 4w^2 = \frac{1}{3}w^3 + 4w^2$.
- Respuesta: $\frac{1}{3}w^3 + 4w^2$
3 Respecto de «Producto de monomio por polinomio con coeficientes fraccionarios»: ¿Es correcta esta caracterización? «Al multiplicar un monomio por un polinomio con **Coeficientes Fraccionarios**, se distribuye el monomio multiplicando cada término»
- La afirmación coincide con la definición formal: Al multiplicar un monomio por un polinomio con **Coeficientes Fraccionarios**, se distribuye el monomio multiplicando cada término.
4 Respecto de «Producto de monomio por polinomio con coeficientes fraccionarios»: ¿Es válida esta afirmación? «Olvidar distribuir el monomio al denominador de los coeficientes del polinomio»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Al multiplicar un monomio por un polinomio con **Coeficientes Fraccionarios**, se distribuye el monomio multiplicando cada término.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar distribuir el monomio al denominador de los coeficientes del polinomio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No simplificar las fracciones finales de cada término."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$\frac{15}{15}$ y $-\frac{30}{5}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$1$ y $-10$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$\frac{3}{5}$ y $-6$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al multiplicar un monomio por un polinomio con **Coeficientes Fraccionarios**, se distribuye el monomio multiplicando cada término. Cada producto parcial requiere multiplicar fracciones numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al distribuir $\frac{3}{5}y$ sobre el polinomio $(\frac{5}{3}y - 10)$, ¿cuáles son los coeficientes simplificados de los dos términos resultantes? (v1)
Término 1: $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$. Término 2: $\frac{3}{5} \times (-10) = -6$.
Respuesta: A) $1$ y $-6$
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Al distribuir $\frac{3}{5}y$ sobre el polinomio $(\frac{5}{3}y - 10)$, ¿cuáles son los coeficientes simplificados de los dos términos resultantes? (v2)
Término 1: $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$. Término 2: $\frac{3}{5} \times (-10) = -6$.
Respuesta: A) $1$ y $-6$
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Al distribuir $\frac{3}{5}y$ sobre el polinomio $(\frac{5}{3}y - 10)$, ¿cuáles son los coeficientes simplificados de los dos términos resultantes? (v3)
Término 1: $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$. Término 2: $\frac{3}{5} \times (-10) = -6$.
Respuesta: A) $1$ y $-6$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Calcula: $\frac{2}{3}x(\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x)$.
Término 1: $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Letras: $x \cdot x^2 = x^3$. Término 2: $\frac{2}{3} \times (-\frac{3}{4}) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$. Letras: $x \cdot x = x^2$. Resultado: $\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2$.
Respuesta: A) $\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El resultado de multiplicar $\frac{3}{4}a(a - \frac{4}{3})$ es $\frac{3}{4}a^2 - a$?
Término 1: $\frac{3}{4}a \cdot a = \frac{3}{4}a^2$. Término 2: $\frac{3}{4}a \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{12}{12}a = -a$. Resultado: $\frac{3}{4}a^2 - a$.
Respuesta: Verdadero
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¿El resultado de multiplicar $\frac{3}{4}a(a - \frac{4}{3})$ es $\frac{3}{4}a^2 - a$?
Término 1: $\frac{3}{4}a \cdot a = \frac{3}{4}a^2$. Término 2: $\frac{3}{4}a \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{12}{12}a = -a$. Resultado: $\frac{3}{4}a^2 - a$.
Respuesta: Verdadero
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¿El resultado de multiplicar $\frac{3}{4}a(a - \frac{4}{3})$ es $\frac{3}{4}a^2 - a$?
Término 1: $\frac{3}{4}a \cdot a = \frac{3}{4}a^2$. Término 2: $\frac{3}{4}a \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{12}{12}a = -a$. Resultado: $\frac{3}{4}a^2 - a$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un maestro de obra diseña una rampa de ancho $\frac{1}{2}w$ metros y longitud descrita por $(\frac{2}{3}w^2 + 8w)$ metros. ¿Cuál es el área de la superficie de la rampa? (v1)
Área $= (\frac{1}{2}w)(\frac{2}{3}w^2 + 8w) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})w^3 + (\frac{1}{2} \cdot 8)w^2 = \frac{2}{6}w^3 + 4w^2 = \frac{1}{3}w^3 + 4w^2$.
Respuesta: A) $\frac{1}{3}w^3 + 4w^2$
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Un maestro de obra diseña una rampa de ancho $\frac{1}{2}w$ metros y longitud descrita por $(\frac{2}{3}w^2 + 8w)$ metros. ¿Cuál es el área de la superficie de la rampa? (v2)
Área $= (\frac{1}{2}w)(\frac{2}{3}w^2 + 8w) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})w^3 + (\frac{1}{2} \cdot 8)w^2 = \frac{2}{6}w^3 + 4w^2 = \frac{1}{3}w^3 + 4w^2$.
Respuesta: A) $\frac{1}{3}w^3 + 4w^2$
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Un maestro de obra diseña una rampa de ancho $\frac{1}{2}w$ metros y longitud descrita por $(\frac{2}{3}w^2 + 8w)$ metros. ¿Cuál es el área de la superficie de la rampa? (v3)
Área $= (\frac{1}{2}w)(\frac{2}{3}w^2 + 8w) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})w^3 + (\frac{1}{2} \cdot 8)w^2 = \frac{2}{6}w^3 + 4w^2 = \frac{1}{3}w^3 + 4w^2$.
Respuesta: A) $\frac{1}{3}w^3 + 4w^2$