Producto de monomio por polinomio con coeficientes fraccionarios
Resumen inicial
El producto de monomio por polinomio con coeficientes fraccionarios consiste en distribuir el monomio fraccionario sobre cada término multiplicando numeradores y denominadores y simplificando las fracciones.
Explicación en palabras simples
Cuando multiplicas un monomio fraccionario por un polinomio con fracciones (ej: $\frac{1}{2}x \cdot \left(\frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{5}x + 6\right)$):
- Procedimiento:
1. Multiplica la fracción de afuera por la fracción de CADA término de adentro ($\text{num} \cdot \text{num}$ y $\text{den} \cdot \text{den}$).
2. Simplifica las fracciones resultantes a su mínima expresión.
3. Suma los exponentes de las letras iguales.
- Ejemplo: $\frac{1}{2}x \cdot \left(\frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{5}x + 6\right)$:
- Término 1: $\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) x^{1+2} = \frac{2}{6}x^3 = \mathbf{\frac{1}{3}x^3}$.
- Término 2: $\left(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)\right) x^{1+1} = -\frac{4}{10}x^2 = \mathbf{-\frac{2}{5}x^2}$.
- Término 3: $\left(\frac{1}{2} \cdot 6\right) x = \frac{6}{2}x = \mathbf{+3x}$.
- Polinomio final: $\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{5}x^2 + 3x$.
Explicación formal
Definición formal
Sea un monomio racional $M = \frac{p}{q} x^\alpha \in \mathbb{Q}[x]$ ($p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$) y un polinomio $P(x) = \sum_{j=1}^m \frac{a_j}{b_j} x^{\beta_j}$. El producto de monomio por polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ expande la adición racional distribuida:
$$M \cdot P(x) = \sum_{j=1}^m \left( \frac{p \cdot a_j}{q \cdot b_j} \right) x^{\alpha + \beta_j}$$
Simplificación Racional Termino a Termino via MCD
Cada fracción producto $F_j = \frac{p a_j}{q b_j}$ se simplifica individualmente dividiendo entre $g_j = \gcd(p a_j, q b_j)$:
$$M \cdot P(x) = \sum_{j=1}^m \left( \frac{(p a_j)/g_j}{(q b_j)/g_j} \right) x^{\alpha + \beta_j}$$
Síntesis didáctica
La simplificación cruzada antes de multiplicar los términos reduce el tamaño de las cifras numéricas y acelera el desarrollo de polinomios racionales.
La alternativa correcta es 'Multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador en cada término y simplificando la fracción resultante'. Producto directo de fracciones término a término.
Definiciones clave
- Producto de monomio por polinomio racional: Expansión distributiva donde los coeficientes pertenecen al cuerpo $\mathbb{Q}$.
- Simplificación independiente por sumando: Reducción al MCD efectuada sobre cada una de las fracciones resultantes del polinomio.
- Coeficiente entero implícito ($\frac{c}{1}$): Representación racional de términos enteros dentro del polinomio.
Propiedades y relaciones importantes
- Conservación de la regla de potencias: Las fracciones de los coeficientes no alteran la suma de exponentes literales.
- Invarianza del número de sumandos: La cantidad de términos en la respuesta coincide con los del polinomio original (antes de simplificar ceros).
Ejemplo guiado
Calcula el producto expandido de $\frac{3}{4}x^2 \cdot \left(\frac{2}{3}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{4}{5}\right)$.
- Paso 1: Distribuimos sobre el término 1: $\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\right) x^{2+2} = \frac{6}{12}x^4 = \mathbf{\frac{1}{2}x^4}$.
- Paso 2: Distribuimos sobre el término 2: $\left(\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{8}{9}\right)\right) x^{2+1} = -\frac{24}{36}x^3 = \mathbf{-\frac{2}{3}x^3}$.
- Paso 3: Distribuimos sobre el término 3: $\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}\right) x^2 = \frac{12}{20}x^2 = \mathbf{+\frac{3}{5}x^2}$.
- Paso 4: Consolidamos el polinomio final simplificado: $\frac{1}{2}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{5}x^2$.
- Conclusión: El polinomio expandido es **$\frac{1}{2}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{5}x^2$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $a^2 + 2a$, porque $\frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \implies 1a^2$ y $\frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \implies 2a$'. $\frac{3}{3}a^2 + \frac{6}{3}a = a^2 + 2a$.
Procedimiento
- Paso 1: Convertir cualquier coeficiente entero del polinomio en fracción colocándole denominador 1.
- Paso 2: Multiplicar el coeficiente fraccionario del monomio por el primer coeficiente del polinomio ($\text{num} \cdot \text{num}$ y $\text{den} \cdot \text{den}$).
- Paso 3: Sumar los exponentes de las variables correspondientes al primer término.
- Paso 4: Repetir el proceso con los demás sumandos y simplificar cada fracción resultante a su forma irreductible.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Buscar un MCM para todos los denominadores del polinomio al multiplicar por un monomio fraccionario. Cómo corregirlo: La multiplicación de fracciones NO REQUIERE MCM; se multiplica directamente término a término.
- Error 2: Multiplicar en cruz los coeficientes fraccionarios en la distribución. Cómo corregirlo: La multiplicación ES DIRECTA ($\text{num} \cdot \text{num}$ / $\text{den} \cdot \text{den}$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \implies 2x^2$.
- $\frac{1}{2} \cdot (-8) = -4 \implies -4x$.
- Resultado: $2x^2 - 4x$.
- $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1 \implies 1a^3 = a^3$.
- $\frac{2}{5} \cdot 10 = 4 \implies 4a^2$.
- Resultado: $a^3 + 4a^2$.
- Sí, las potencias de las bases iguales siempre se suman.
- Sí, $-\frac{4}{4}x = -1x$ y $-\frac{1}{4}(-8) = +2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Multiplicar monomios y polinomios compuestos por coeficientes fraccionarios.
Multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí para cada sumando $\frac{a \cdot c_k}{b \cdot d_k}$, simplificando cada fracción a su forma irreductible.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al distribuir $\frac{3}{5}y$ sobre el polinomio $(\frac{5}{3}y - 10)$, ¿cuáles son los coeficientes simplificados de los dos términos resultantes? (v1)
Término 1: $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$. Término 2: $\frac{3}{5} \times (-10) = -6$.
Respuesta: A) $1$ y $-6$
-
Al distribuir $\frac{3}{5}y$ sobre el polinomio $(\frac{5}{3}y - 10)$, ¿cuáles son los coeficientes simplificados de los dos términos resultantes? (v2)
Término 1: $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$. Término 2: $\frac{3}{5} \times (-10) = -6$.
Respuesta: A) $1$ y $-6$
-
Al distribuir $\frac{3}{5}y$ sobre el polinomio $(\frac{5}{3}y - 10)$, ¿cuáles son los coeficientes simplificados de los dos términos resultantes? (v3)
Término 1: $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$. Término 2: $\frac{3}{5} \times (-10) = -6$.
Respuesta: A) $1$ y $-6$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Calcula: $\frac{2}{3}x(\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x)$.
Término 1: $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Letras: $x \cdot x^2 = x^3$. Término 2: $\frac{2}{3} \times (-\frac{3}{4}) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$. Letras: $x \cdot x = x^2$. Resultado: $\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2$.
Respuesta: A) $\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿El resultado de multiplicar $\frac{3}{4}a(a - \frac{4}{3})$ es $\frac{3}{4}a^2 - a$?
Término 1: $\frac{3}{4}a \cdot a = \frac{3}{4}a^2$. Término 2: $\frac{3}{4}a \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{12}{12}a = -a$. Resultado: $\frac{3}{4}a^2 - a$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El resultado de multiplicar $\frac{3}{4}a(a - \frac{4}{3})$ es $\frac{3}{4}a^2 - a$?
Término 1: $\frac{3}{4}a \cdot a = \frac{3}{4}a^2$. Término 2: $\frac{3}{4}a \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{12}{12}a = -a$. Resultado: $\frac{3}{4}a^2 - a$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El resultado de multiplicar $\frac{3}{4}a(a - \frac{4}{3})$ es $\frac{3}{4}a^2 - a$?
Término 1: $\frac{3}{4}a \cdot a = \frac{3}{4}a^2$. Término 2: $\frac{3}{4}a \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{12}{12}a = -a$. Resultado: $\frac{3}{4}a^2 - a$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un maestro de obra diseña una rampa de ancho $\frac{1}{2}w$ metros y longitud descrita por $(\frac{2}{3}w^2 + 8w)$ metros. ¿Cuál es el área de la superficie de la rampa? (v1)
Área $= (\frac{1}{2}w)(\frac{2}{3}w^2 + 8w) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})w^3 + (\frac{1}{2} \cdot 8)w^2 = \frac{2}{6}w^3 + 4w^2 = \frac{1}{3}w^3 + 4w^2$.
Respuesta: A) $\frac{1}{3}w^3 + 4w^2$
-
Un maestro de obra diseña una rampa de ancho $\frac{1}{2}w$ metros y longitud descrita por $(\frac{2}{3}w^2 + 8w)$ metros. ¿Cuál es el área de la superficie de la rampa? (v2)
Área $= (\frac{1}{2}w)(\frac{2}{3}w^2 + 8w) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})w^3 + (\frac{1}{2} \cdot 8)w^2 = \frac{2}{6}w^3 + 4w^2 = \frac{1}{3}w^3 + 4w^2$.
Respuesta: A) $\frac{1}{3}w^3 + 4w^2$
-
Un maestro de obra diseña una rampa de ancho $\frac{1}{2}w$ metros y longitud descrita por $(\frac{2}{3}w^2 + 8w)$ metros. ¿Cuál es el área de la superficie de la rampa? (v3)
Área $= (\frac{1}{2}w)(\frac{2}{3}w^2 + 8w) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})w^3 + (\frac{1}{2} \cdot 8)w^2 = \frac{2}{6}w^3 + 4w^2 = \frac{1}{3}w^3 + 4w^2$.
Respuesta: A) $\frac{1}{3}w^3 + 4w^2$