Producto de monomio negativo por polinomio
Multiplicar un monomio con coeficiente negativo por un polinomio, distribuyendo y aplicando correctamente la ley de los signos.
Introducción
Cuando el monomio que multiplica al polinomio es negativo, no solo cambian los números y las letras, también cambian todos los signos del polinomio. Es como si el signo menos se 'repartiera' a cada término.
Explicación
Definición formal
Sea $M=cX^{\alpha}$ un monomio con $c<0$ y sea $P=\sum_{i=1}^{n}d_iX^{\beta_i}$ un polinomio. Por la propiedad distributiva,
$$M\cdot P=\sum_{i=1}^{n}(cd_i)X^{\alpha+\beta_i}.$$
El coeficiente negativo de $M$ interviene en cada producto parcial. En consecuencia, el signo de cada término resultante es el signo del producto $cd_i$: cambia respecto de $d_i$ cuando $d_i\neq0$. La regla afecta a todos los términos del polinomio, no al polinomio considerado como un bloque sin distribuir.
Desarrollo didáctico
La multiplicación de un monomio negativo por un polinomio sigue el mismo principio de la propiedad distributiva, con una atención especial a los signos.
Si tenemos $-a(b - c)$, el monomio negativo $-a$ se distribuye:
$(-a) \cdot b + (-a) \cdot (-c)$
Aplicando la ley de los signos, obtenemos:
$-ab + ac$
Es fundamental recordar que multiplicar por un negativo invierte todos los signos originales de los términos dentro del paréntesis.
Cómo hacerlo paso a paso
- 1. Identifica el monomio negativo y los términos del polinomio. 2. Multiplica el monomio por el primer término del polinomio, aplicando la regla de signos. 3. Repite el proceso para cada uno de los términos restantes del polinomio. 4. Simplifica escribiendo la suma algebraica resultante.
- La multiplicación por un número negativo invierte el signo positivo a negativo, y el negativo a positivo en cada término.
Ejemplos
1 Resuelve $-3x(2x + 4)$.
- Distribuye el $-3x$ a cada término: $(-3x)(2x) + (-3x)(4)$
- Multiplica los coeficientes y suma los exponentes: $-6x^2 - 12x$
2 Desarrolla $-2a^2(3a^2 - 5a + 1)$.
- Distribuye: $(-2a^2)(3a^2) + (-2a^2)(-5a) + (-2a^2)(1)$
- Multiplica término a término: $-6a^4 + 10a^3 - 2a^2$
3 Multiplica $-4xy(x^2 - xy + y^2)$.
- Distribuye: $(-4xy)(x^2) + (-4xy)(-xy) + (-4xy)(y^2)$
- Calcula: $-4x^3y + 4x^2y^2 - 4xy^3$
4 Analiza la afirmación «Al multiplicar $-x(y - z)$, el resultado es $-xy - xz$».
- La distribución es $(-x)(y) + (-x)(-z)$
- El resultado correcto es $-xy + xz$.
- Por lo tanto, la afirmación es Falsa.
5 Respecto de «Producto de monomio negativo por polinomio»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «Para multiplicar un monomio negativo por un polinomio: - Se multiplica el monomio por cada término del polinomio (propiedad distributiva)»
- La afirmación coincide con la definición formal: Para multiplicar un monomio negativo por un polinomio: - Se multiplica el monomio por cada término del polinomio (propiedad distributiva).
6 Respecto de «Producto de monomio negativo por polinomio»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Olvidar cambiar el signo del segundo o tercer término del polinomio»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Para multiplicar un monomio negativo por un polinomio: - Se multiplica el monomio por cada término del polinomio (propiedad distributiva).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar cambiar el signo del segundo o tercer término del polinomio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar en lugar de multiplicar los coeficientes numéricos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cambiar el signo pero olvidar multiplicar las partes literales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al multiplicar un polinomio por un monomio con coeficiente negativo, ¿qué ocurre con los signos de los términos del polinomio», la respuesta correcta es Todos los signos quedan iguales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al multiplicar un polinomio por un monomio con coeficiente negativo, ¿qué ocurre con los signos de los términos del polinomio», la respuesta correcta es Solo se invierte el primer signo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para multiplicar un monomio negativo por un polinomio: - Se multiplica el monomio por cada término del polinomio (propiedad distributiva). - Se aplica la regla de los signos en cada multiplicación ($-$ por $+$ es $-$; $-$ por $-$ es $+$). - Se multiplican los coeficientes numéricos y se suman los exponentes de las bases iguales.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al multiplicar un polinomio por un monomio con coeficiente negativo, ¿qué ocurre con los signos de los términos del polinomio?
La multiplicación por un número negativo invierte el signo positivo a negativo, y el negativo a positivo en cada término.
Respuesta: A) Todos los signos se invierten.
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Si el resultado de multiplicar un monomio por el binomio $(a - b)$ es $-3a + 3b$, ¿cuál era el monomio multiplicador?
Al dividir $-3a$ entre $a$ obtenemos $-3$. Al verificar, $-3(a - b) = -3a + 3b$.
Respuesta: A) $-3$
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¿Es posible que al multiplicar un polinomio de términos todos positivos por un monomio negativo, el resultado tenga algún término positivo?
Como $(-)\cdot(+) = (-)$, si todos los términos originales eran positivos y el multiplicador es negativo, todos los resultados parciales serán obligatoriamente negativos.
Respuesta: A) No, todos serán negativos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Selecciona la expresión equivalente a $-x(x + 1)$.
$-x \cdot x = -x^2$ y $-x \cdot 1 = -x$. Sumando: $-x^2 - x$.
Respuesta: A) $-x^2 - x$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Calcula el producto: $-2a(3a - 5)$.
$-2a \cdot 3a = -6a^2$. $-2a \cdot (-5) = +10a$.
Respuesta: A) $-6a^2 + 10a$
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Desarrolla la multiplicación: $-4x^2y(x^2 - xy + y^2)$.
$(-4x^2y)(x^2) = -4x^4y$. $(-4x^2y)(-xy) = +4x^3y^2$. $(-4x^2y)(y^2) = -4x^2y^3$.
Respuesta: A) $-4x^4y + 4x^3y^2 - 4x^2y^3$
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Calcula el producto y reduce: $-3m(2m - 1) - m(m + 4)$.
$-6m^2 + 3m - m^2 - 4m$. Reduciendo semejantes: $(-6-1)m^2 + (3-4)m = -7m^2 - m$.
Respuesta: A) $-7m^2 - m$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La expresión $-2x^3(4x - 5)$ es equivalente a:
Se aplica distributividad invirtiendo los signos: $-2x^3 \cdot 4x = -8x^4$; $-2x^3 \cdot (-5) = 10x^3$.
Respuesta: A) $-8x^4 + 10x^3$
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Si el largo de un rectángulo es $(3x^2 - 2x + 1)$ y su ancho se representa curiosamente por $-2x$ (donde $x < 0$ para que sea positivo), ¿cuál es el área de dicho rectángulo?
Área $= (-2x)(3x^2 - 2x + 1) = -6x^3 + 4x^2 - 2x$.
Respuesta: A) $-6x^3 + 4x^2 - 2x$
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Al restar la expresión $-x(x-3)$ del polinomio $2x^2 + 3x$, el resultado es:
El producto es $-x^2 + 3x$. Al restarlo: $(2x^2 + 3x) - (-x^2 + 3x) = 2x^2 + 3x + x^2 - 3x = 3x^2$.
Respuesta: A) $3x^2$