Distribución de un monomio sobre los términos de un polinomio
Resumen inicial
La distribución de un monomio sobre los términos de un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva multiplicando el monomio por cada uno de los monomios constituyentes del polinomio.
Explicación en palabras simples
Para multiplicar un monomio por un polinomio (ej: $3x \cdot (2x^2 - 4x + 5)$):
- REGLA FUNDAMENTAL: El monomio de afuera actúa como un "multiplicador repartido" que debe multiplicarse INDIVIDUALMENTE por cada término dentro del polinomio.
- Paso a paso:
1. Identifica cuántos términos tiene el polinomio dentro del paréntesis.
2. Multiplica el monomio por el primer término.
3. Multiplica el monomio por el segundo término.
4. Multiplica el monomio por el tercer término (y así sucesivamente).
5. Junta todos los resultados parciales en una sola cadena.
- Ejemplo: $3x \cdot (2x^2 - 4x + 5)$:
- $3x \cdot 2x^2 = \mathbf{6x^3}$.
- $3x \cdot (-4x) = \mathbf{-12x^2}$.
- $3x \cdot 5 = \mathbf{+15x}$.
- Polinomio final expandido: $6x^3 - 12x^2 + 15x$.
Explicación formal
Definición formal
Sea un monomio $M = c x^\alpha \in \mathbb{R}[x]$ y un polinomio $P(x) = \sum_{j=1}^m a_j x^{\beta_j}$. El producto de monomio por polinomio es la extensión bilineal de la distributividad dada por:
$$M \cdot P(x) = c x^\alpha \cdot \left( \sum_{j=1}^m a_j x^{\beta_j} \right) = \sum_{j=1}^m \left( (c \cdot a_j) x^{\alpha + \beta_j} \right)$$
Conservación de la Cardinalidad de Sumandos
Si el polinomio $P(x)$ posee $m$ términos distintos y no nulos y $M \neq 0$, la expansión producto genera exactamente $m$ sumandos de grados distintos $\alpha + \beta_j$, garantizando que el polinomio expandido conserve la misma cantidad de monomios antes de cualquier reducción externa.
Síntesis didáctica
Distribuir el monomio garantiza la transformación completa del producto en una forma polinómica canónica abierta.
La alternativa correcta es 'Tendrá exactamente 3 sumandos, ya que el monomio se multiplica individualmente por cada uno de los 3 términos'. Conservación de la cardinalidad de sumandos.
Definiciones clave
- Distribución sobre sumandos: Multiplicación reiterada $M \cdot (T_1 + T_2 + \dots) = M T_1 + M T_2 + \dots$ sobre cada componente aditivo.
- Conservación de la cardinalidad de términos: Preservación del número total de términos en la expresión expandida resultante.
- Productos parciales monomicos: Multiplicaciones intermedias efectuadas entre el monomio exterior y cada sumando individual.
Propiedades y relaciones importantes
- Grado del polinomio producto: Si $\operatorname{deg}(P) = n$, entonces $\operatorname{deg}(M \cdot P) = \operatorname{deg}(M) + n$.
- Homogeneización del producto: Multiplicar un monomio por un polinomio homogéneo de grado $k$ resulta en un nuevo polinomio homogéneo de grado $\operatorname{deg}(M) + k$.
Ejemplo guiado
Aplica la distribución del monomio $4a^2$ sobre el trinomio $(2a^3 - 5a + 3)$.
- Paso 1: Identificamos los 3 términos dentro del paréntesis: $T_1 = 2a^3$, $T_2 = -5a$, $T_3 = +3$.
- Paso 2: Multiplicamos el monomio por el primer término $T_1$: $(4a^2) \cdot (2a^3) = (4 \cdot 2) a^{2+3} = \mathbf{8a^5}$.
- Paso 3: Multiplicamos el monomio por el segundo término $T_2$: $(4a^2) \cdot (-5a) = (4 \cdot (-5)) a^{2+1} = \mathbf{-20a^3}$.
- Paso 4: Multiplicamos el monomio por el tercer término $T_3$: $(4a^2) \cdot (+3) = (4 \cdot 3) a^2 = \mathbf{+12a^2}$.
- Paso 5: Consolidamos la suma de los 3 productos parciales: $8a^5 - 20a^3 + 12a^2$.
- Conclusión: El polinomio expandido resultante es **$8a^5 - 20a^3 + 12a^2$**.
La alternativa correcta es 'El resultado es $5x^3 - 15x$, al distribuir $5x \cdot x^2 = 5x^3$ y $5x \cdot (-3) = -15x$'. $5x(x^2)-5x(3) = 5x^3-15x$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar con claridad cada sumando del polinomio conservando sus signos antecedentes.
- Paso 2: Multiplicar el monomio por el primer sumando calculando coeficientes y exponentes.
- Paso 3: Multiplicar el monomio por los sumandos restantes uno por uno.
- Paso 4: Escribir la expresión expandida uniendo todos los productos parciales obtenidos.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar el monomio únicamente por el primer término del polinomio (escribir $3x(2x + 4) = 6x^2 + 4$). Cómo corregirlo: Se debe MULTIPLICAR EL MONOMIO POR TODOS LOS TÉRMINOS ($6x^2 + 12x$).
- Error 2: Sumar los monomios parciales en lugar de dejarlos expresados como polinomio expandido (escribir $2x^2 + 3x = 5x^3$). Cómo corregirlo: Si los términos NO SON SEMEJANTES, NO SE PUEDEN SUMAR ($2x^2 + 3x$ queda intacto).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $2a \cdot 3a = 6a^2$.
- $2a \cdot 5 = 10a$.
- Resultado: $6a^2 + 10a$.
- $x^2 \cdot x^2 = x^4$.
- $x^2 \cdot (-2x) = -2x^3$.
- $x^2 \cdot 4 = 4x^2$.
- Resultado: $x^4 - 2x^3 + 4x^2$.
- Sí, $3x^2$ y $3xy$ tienen distinto factor literal.
- Sí, las potencias de $x$ se conservan.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Multiplicar un monomio por una expresión polinomial aplicando la propiedad distributiva.
Multiplicar el monomio exterior por todos y cada uno de los términos del polinomio $M(A + B + C) = MA + MB + MC$, sumando los productos resultantes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué propiedad matemática justifica que la operación $3a(b + c)$ se resuelva como $3ab + 3ac$? (v1)
La distributividad permite repartir el producto exterior a cada sumando interior.
Respuesta: A) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
-
¿Qué propiedad matemática justifica que la operación $3a(b + c)$ se resuelva como $3ab + 3ac$? (v3)
La distributividad permite repartir el producto exterior a cada sumando interior.
Respuesta: A) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
-
¿Qué propiedad matemática justifica que la operación $3a(b + c)$ se resuelva como $3ab + 3ac$? (v2)
La distributividad permite repartir el producto exterior a cada sumando interior.
Respuesta: A) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Calcula el producto: $4x^2(2x - 3)$.
$4x^2(2x) = 8x^3$. $4x^2(-3) = -12x^2$. Resultado: $8x^3 - 12x^2$.
Respuesta: A) $8x^3 - 12x^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿El resultado de multiplicar $2(x^2 - 5x + 3)$ es $2x^2 - 10x + 6$?
Multiplicamos 2 por cada término: $2(x^2) = 2x^2$, $2(-5x) = -10x$, $2(3) = 6$. Combinado da $2x^2 - 10x + 6$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El resultado de multiplicar $2(x^2 - 5x + 3)$ es $2x^2 - 10x + 6$?
Multiplicamos 2 por cada término: $2(x^2) = 2x^2$, $2(-5x) = -10x$, $2(3) = 6$. Combinado da $2x^2 - 10x + 6$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El resultado de multiplicar $2(x^2 - 5x + 3)$ es $2x^2 - 10x + 6$?
Multiplicamos 2 por cada término: $2(x^2) = 2x^2$, $2(-5x) = -10x$, $2(3) = 6$. Combinado da $2x^2 - 10x + 6$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El ingreso de un cine se calcula como $I = p(100 - 2p)$ donde $p$ es el precio de la entrada. ¿Cuál es la expresión equivalente para el ingreso al distribuir el precio? (v2)
Distribuimos $p$: $p \cdot 100 = 100p$. $p \cdot (-2p) = -2p^2$. Resultado: $100p - 2p^2$.
Respuesta: A) $100p - 2p^2$
-
El ingreso de un cine se calcula como $I = p(100 - 2p)$ donde $p$ es el precio de la entrada. ¿Cuál es la expresión equivalente para el ingreso al distribuir el precio? (v3)
Distribuimos $p$: $p \cdot 100 = 100p$. $p \cdot (-2p) = -2p^2$. Resultado: $100p - 2p^2$.
Respuesta: A) $100p - 2p^2$
-
El ingreso de un cine se calcula como $I = p(100 - 2p)$ donde $p$ es el precio de la entrada. ¿Cuál es la expresión equivalente para el ingreso al distribuir el precio? (v1)
Distribuimos $p$: $p \cdot 100 = 100p$. $p \cdot (-2p) = -2p^2$. Resultado: $100p - 2p^2$.
Respuesta: A) $100p - 2p^2$