Distribución de un monomio sobre los términos de un polinomio
Aplicar la propiedad distributiva al multiplicar un monomio por un polinomio.
Introducción
Imagina que eres un cartero y tienes que entregar una carta en cada casa de una cuadra. El monomio es el cartero, y cada término del polinomio es una casa. El monomio debe visitar (multiplicar) a absolutamente todos los términos de la cuadra.
Explicación
Definición formal
Sean $M$ un monomio y $P=T_1+T_2+\cdots+T_n$ un polinomio escrito como suma algebraica de sus términos. La propiedad distributiva define su producto mediante
$$M\cdot P=M\cdot T_1+M\cdot T_2+\cdots+M\cdot T_n=\sum_{i=1}^{n}M\cdot T_i.$$
Por tanto, el monomio multiplica a todos los términos del polinomio y conserva entre los productos parciales las operaciones de suma o resta presentes en $P$.
Desarrollo didáctico
Operación: $3x(2x^2 - 5x + 4)$.
Aplicamos la distribución término a término:
1. Primer término: $(3x)(2x^2) = 6x^3$.
2. Segundo término: $(3x)(-5x) = -15x^2$.
3. Tercer término: $(3x)(+4) = +12x$.
Sumamos o conectamos los resultados: $6x^3 - 15x^2 + 12x$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el monomio exterior y todos los términos del polinomio interior.
- Paso 2: Multiplica el monomio por el primer término del polinomio.
- Paso 3: Multiplica el monomio por el segundo término del polinomio (respetando signos).
- Paso 4: Repite el proceso para todos los términos restantes.
- Paso 5: Escribe la expresión final conectando todos los productos parciales con sus respectivos signos.
- La distributividad permite repartir el producto exterior a cada sumando interior.
Ejemplos
1 Multiplica: 2a(3a - 5b).
- Multiplicación 1: (2a)(3a) = 6a^2.
- Multiplicación 2: (2a)(-5b) = -10ab.
- Combinación: 6a^2 - 10ab.
2 El ingreso de un cine se calcula como $I = p(100 - 2p)$ donde $p$ es el precio de la entrada. ¿Cuál es la expresión equivalente para el ingreso al distribuir el precio? (v1) Opciones: A) $100p - 2p^2$ · B) $100 - 2p^2$ · C) $100p - 2p$ · D) $98p^2$
- Distribuimos $p$: $p \cdot 100 = 100p$. $p \cdot (-2p) = -2p^2$. Resultado: $100p - 2p^2$.
3 Respecto de «Distribución de un monomio sobre los términos de un polinomio»: ¿Es correcta esta caracterización? «La multiplicación de un monomio por un polinomio se basa en la **Propiedad Distributiva**: el monomio exterior se multiplica por cada uno de los términos del polinomio interior por separado, sumando los resultados obtenidos»
- La afirmación coincide con la definición formal: La multiplicación de un monomio por un polinomio se basa en la **Propiedad Distributiva**: el monomio exterior se multiplica por cada uno de los términos del polinomio interior por separado, sumando los resultados obtenidos.
4 Respecto de «Distribución de un monomio sobre los términos de un polinomio»: ¿Es válida esta afirmación? «Multiplicar el monomio únicamente por el primer término del polinomio y dejar los demás intactos (ej. $2(x+3) = 2x+3$)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La multiplicación de un monomio por un polinomio se basa en la **Propiedad Distributiva**: el monomio exterior se multiplica por cada uno de los términos del polinomio interior por separado, sumando los resultados obtenidos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar el monomio únicamente por el primer término del polinomio y dejar los demás intactos (ej. $2(x+3) = 2x+3$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signos al multiplicar el monomio por los términos negativos del polinomio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Qué propiedad matemática justifica que la operación $3a(b + c)$ se resuelva como $3ab + 3ac$? (v1)», la respuesta correcta es Propiedad conmutativa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Qué propiedad matemática justifica que la operación $3a(b + c)$ se resuelva como $3ab + 3ac$? (v1)», la respuesta correcta es Propiedad asociativa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Qué propiedad matemática justifica que la operación $3a(b + c)$ se resuelva como $3ab + 3ac$? (v1)», la respuesta correcta es Elemento neutro multiplicativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La multiplicación de un monomio por un polinomio se basa en la **Propiedad Distributiva**: el monomio exterior se multiplica por cada uno de los términos del polinomio interior por separado, sumando los resultados obtenidos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué propiedad matemática justifica que la operación $3a(b + c)$ se resuelva como $3ab + 3ac$? (v1)
La distributividad permite repartir el producto exterior a cada sumando interior.
Respuesta: A) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
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¿Qué propiedad matemática justifica que la operación $3a(b + c)$ se resuelva como $3ab + 3ac$? (v3)
La distributividad permite repartir el producto exterior a cada sumando interior.
Respuesta: A) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
-
¿Qué propiedad matemática justifica que la operación $3a(b + c)$ se resuelva como $3ab + 3ac$? (v2)
La distributividad permite repartir el producto exterior a cada sumando interior.
Respuesta: A) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Calcula el producto: $4x^2(2x - 3)$.
$4x^2(2x) = 8x^3$. $4x^2(-3) = -12x^2$. Resultado: $8x^3 - 12x^2$.
Respuesta: A) $8x^3 - 12x^2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El resultado de multiplicar $2(x^2 - 5x + 3)$ es $2x^2 - 10x + 6$?
Multiplicamos 2 por cada término: $2(x^2) = 2x^2$, $2(-5x) = -10x$, $2(3) = 6$. Combinado da $2x^2 - 10x + 6$.
Respuesta: Verdadero
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¿El resultado de multiplicar $2(x^2 - 5x + 3)$ es $2x^2 - 10x + 6$?
Multiplicamos 2 por cada término: $2(x^2) = 2x^2$, $2(-5x) = -10x$, $2(3) = 6$. Combinado da $2x^2 - 10x + 6$.
Respuesta: Verdadero
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¿El resultado de multiplicar $2(x^2 - 5x + 3)$ es $2x^2 - 10x + 6$?
Multiplicamos 2 por cada término: $2(x^2) = 2x^2$, $2(-5x) = -10x$, $2(3) = 6$. Combinado da $2x^2 - 10x + 6$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El ingreso de un cine se calcula como $I = p(100 - 2p)$ donde $p$ es el precio de la entrada. ¿Cuál es la expresión equivalente para el ingreso al distribuir el precio? (v2)
Distribuimos $p$: $p \cdot 100 = 100p$. $p \cdot (-2p) = -2p^2$. Resultado: $100p - 2p^2$.
Respuesta: A) $100p - 2p^2$
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El ingreso de un cine se calcula como $I = p(100 - 2p)$ donde $p$ es el precio de la entrada. ¿Cuál es la expresión equivalente para el ingreso al distribuir el precio? (v3)
Distribuimos $p$: $p \cdot 100 = 100p$. $p \cdot (-2p) = -2p^2$. Resultado: $100p - 2p^2$.
Respuesta: A) $100p - 2p^2$
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El ingreso de un cine se calcula como $I = p(100 - 2p)$ donde $p$ es el precio de la entrada. ¿Cuál es la expresión equivalente para el ingreso al distribuir el precio? (v1)
Distribuimos $p$: $p \cdot 100 = 100p$. $p \cdot (-2p) = -2p^2$. Resultado: $100p - 2p^2$.
Respuesta: A) $100p - 2p^2$