Aplicación de la regla operativa de monomio por polinomio
Multiplicar un monomio por un polinomio siguiendo la regla operativa formal del álgebra.
Introducción
La regla operativa para multiplicar un monomio por un polinomio establece un orden estricto para realizar cada multiplicación individual. Seguir este protocolo de forma metódica garantiza que no haya descuidos de signo o de variables.
Explicación
Definición formal
Sea $M=cx_1^{\alpha_1}\cdots x_k^{\alpha_k}$ un monomio y sea $P=\sum_{i=1}^{n}d_i x_1^{\beta_{i1}}\cdots x_k^{\beta_{ik}}$ un polinomio. Su producto se obtiene mediante
$$M\cdot P=\sum_{i=1}^{n}(cd_i)x_1^{\alpha_1+\beta_{i1}}\cdots x_k^{\alpha_k+\beta_{ik}}.$$
La regla operativa consiste en distribuir $M$, determinar el signo de cada producto, multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes de las bases iguales. Los términos resultantes solo se reducen si son semejantes.
Desarrollo didáctico
Sea la operación: $-4a^2(2a^2 - 3ab + 5b^2)$.
Aplicamos la regla operativa distribuyendo $-4a^2$ de izquierda a derecha:
1. $(-4a^2)(2a^2) = -8a^4$.
2. $(-4a^2)(-3ab) = +12a^3b$ (ojo con el signo: negativo × negativo = positivo).
3. $(-4a^2)(+5b^2) = -20a^2b^2$.
Resultado completo: $-8a^4 + 12a^3b - 20a^2b^2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe el monomio multiplicador delante del polinomio encerrado en paréntesis.
- Paso 2: Multiplica el monomio por el primer término del polinomio (signo, número, letras).
- Paso 3: Multiplica el monomio por el segundo término del polinomio (signo, número, letras).
- Paso 4: Continúa término a término hasta finalizar el polinomio.
- Paso 5: Escribe el polinomio resultante con sus términos ordenados.
- Multiplicamos: $(-5x)(2x) = -10x^2$. $(-5x)(-3) = +15x$. Resultado: $-10x^2 + 15x$.
Ejemplos
1 Multiplica: -3x(2x^2 - x + 4).
- Multiplicación 1: (-3x)(2x^2) = -6x^3.
- Multiplicación 2: (-3x)(-x) = +3x^2.
- Multiplicación 3: (-3x)(+4) = -12x.
- Resultado combinado: -6x^3 + 3x^2 - 12x.
2 La producción de un insumo se modela como $P = -3k^2(2k - 5)$. Para fines de presupuesto, ¿cuál es la expresión equivalente al distribuir la producción? (v1) Opciones: A) $-6k^3 + 15k^2$ · B) $-6k^3 - 15k^2$ · C) $-6k^2 + 15k$ · D) $-6k^3 + 5$
- Distribuimos el monomio: $-3k^2 \cdot 2k = -6k^3$. $-3k^2 \cdot (-5) = +15k^2$. Resultado: $-6k^3 + 15k^2$.
3 Respecto de «Aplicación de la regla operativa de monomio por polinomio»: ¿La siguiente formulación es correcta? «La **Regla Operativa** para multiplicar un monomio por un polinomio exige escribir el monomio, abrir paréntesis para el polinomio, y multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio de izquierda a derecha, respetando las leyes de multiplicación»
- La afirmación coincide con la definición formal: La **Regla Operativa** para multiplicar un monomio por un polinomio exige escribir el monomio, abrir paréntesis para el polinomio, y multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio de izquierda a derecha, respetando las leyes de multiplicación.
4 Respecto de «Aplicación de la regla operativa de monomio por polinomio»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Olvidar cambiar el signo de los términos interiores cuando el monomio multiplicador es negativo»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La **Regla Operativa** para multiplicar un monomio por un polinomio exige escribir el monomio, abrir paréntesis para el polinomio, y multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio de izquierda a derecha, respetando las leyes de multiplicación.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar cambiar el signo de los términos interiores cuando el monomio multiplicador es negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar el monomio por el primer término y sumar el resto del polinomio sin multiplicar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$-10x^2 - 15x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$-10x^2 - 3$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$-10x + 15$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **Regla Operativa** para multiplicar un monomio por un polinomio exige escribir el monomio, abrir paréntesis para el polinomio, y multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio de izquierda a derecha, respetando las leyes de multiplicación.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al multiplicar el monomio negativo $-5x$ por el binomio $(2x - 3)$, ¿cuál es el resultado correcto al aplicar la regla operativa? (v2)
Multiplicamos: $(-5x)(2x) = -10x^2$. $(-5x)(-3) = +15x$. Resultado: $-10x^2 + 15x$.
Respuesta: A) $-10x^2 + 15x$
-
Al multiplicar el monomio negativo $-5x$ por el binomio $(2x - 3)$, ¿cuál es el resultado correcto al aplicar la regla operativa? (v3)
Multiplicamos: $(-5x)(2x) = -10x^2$. $(-5x)(-3) = +15x$. Resultado: $-10x^2 + 15x$.
Respuesta: A) $-10x^2 + 15x$
-
Al multiplicar el monomio negativo $-5x$ por el binomio $(2x - 3)$, ¿cuál es el resultado correcto al aplicar la regla operativa? (v1)
Multiplicamos: $(-5x)(2x) = -10x^2$. $(-5x)(-3) = +15x$. Resultado: $-10x^2 + 15x$.
Respuesta: A) $-10x^2 + 15x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Calcula el producto: $-2a(3a^2 - 4a + 1)$.
Multiplicamos $-2a$ por cada término: $-2a(3a^2) = -6a^3$, $-2a(-4a) = +8a^2$, $-2a(1) = -2a$. Resultado: $-6a^3 + 8a^2 - 2a$.
Respuesta: A) $-6a^3 + 8a^2 - 2a$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿El resultado de multiplicar $-x^2(x - 5)$ es $-x^3 + 5x^2$?
Multiplicamos: $(-x^2)(x) = -x^3$. $(-x^2)(-5) = +5x^2$. Resultado: $-x^3 + 5x^2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El resultado de multiplicar $-x^2(x - 5)$ es $-x^3 + 5x^2$?
Multiplicamos: $(-x^2)(x) = -x^3$. $(-x^2)(-5) = +5x^2$. Resultado: $-x^3 + 5x^2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El resultado de multiplicar $-x^2(x - 5)$ es $-x^3 + 5x^2$?
Multiplicamos: $(-x^2)(x) = -x^3$. $(-x^2)(-5) = +5x^2$. Resultado: $-x^3 + 5x^2$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
La producción de un insumo se modela como $P = -3k^2(2k - 5)$. Para fines de presupuesto, ¿cuál es la expresión equivalente al distribuir la producción? (v3)
Distribuimos el monomio: $-3k^2 \cdot 2k = -6k^3$. $-3k^2 \cdot (-5) = +15k^2$. Resultado: $-6k^3 + 15k^2$.
Respuesta: A) $-6k^3 + 15k^2$
-
La producción de un insumo se modela como $P = -3k^2(2k - 5)$. Para fines de presupuesto, ¿cuál es la expresión equivalente al distribuir la producción? (v1)
Distribuimos el monomio: $-3k^2 \cdot 2k = -6k^3$. $-3k^2 \cdot (-5) = +15k^2$. Resultado: $-6k^3 + 15k^2$.
Respuesta: A) $-6k^3 + 15k^2$
-
La producción de un insumo se modela como $P = -3k^2(2k - 5)$. Para fines de presupuesto, ¿cuál es la expresión equivalente al distribuir la producción? (v2)
Distribuimos el monomio: $-3k^2 \cdot 2k = -6k^3$. $-3k^2 \cdot (-5) = +15k^2$. Resultado: $-6k^3 + 15k^2$.
Respuesta: A) $-6k^3 + 15k^2$