Uso de la propiedad asociativa en multiplicación algebraica
Aplicar la propiedad asociativa en multiplicación algebraica y justificar el procedimiento algebraico.
Introducción
Cuando intervienen tres o más factores, los paréntesis indican qué producto se calcula primero. La propiedad asociativa permite cambiar esa agrupación sin alterar el resultado.
Explicación
Definición formal
Para todo $a, b, c$ pertenecientes al conjunto de expresiones algebraicas, se cumple $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$: el resultado de un producto de tres o más factores no depende de cómo se agrupen mediante paréntesis, sino solo del orden en que aparecen los factores.
Desarrollo didáctico
Agrupar los monomios $5 \cdot 2x$ da $10x$, un multiplicador muy fácil de distribuir luego en $(x-1)$.
La forma correcta es agrupar: $[3(x+2)](x-4)$ o $3[(x+2)(x-4)]$. Multiplicar ambos implica insertar el factor dos veces.
Se asocian los dos binomios juntos para resolver el producto notable primero.
Cómo hacerlo paso a paso
- Agrupar los monomios $5 \cdot 2x$ da $10x$, un multiplicador muy fácil de distribuir luego en $(x-1)$.
- La forma correcta es agrupar: $[3(x+2)](x-4)$ o $3[(x+2)(x-4)]$. Multiplicar ambos implica insertar el factor dos veces.
- Se asocian los dos binomios juntos para resolver el producto notable primero.
Ejemplos
1 Un volumen se calcula como $\frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot (3h + 6)$. Mediante agrupaciones de la asociatividad, una expresión equivalente más compacta es: Opciones: A) $\pi r^2 (h + 2)$ · B) $\pi r^2 (3h + 2)$ · C) $\frac{\pi}{3} r^2 h + 6$ · D) $\pi r^2 h + 2$
- Podemos asociar $\frac{1}{3}$ con el paréntesis: $\pi r^2 \cdot [\frac{1}{3}(3h + 6)] = \pi r^2(h + 2)$.
- Respuesta: $\pi r^2 (h + 2)$
2 Si $A = 2(x+1)$, $B = 3(x-1)$ y $C = x$, encuentra el producto $A \cdot B \cdot C$. Opciones: A) $6x^3 - 6x$ · B) $6x^3 - x$ · C) $6x^3 - 6$ · D) $5x^3 - 5x$
- $A \cdot B \cdot C = 2(x+1) \cdot 3(x-1) \cdot x$. Asociando números: $6x$. Binomios: $x^2-1$. Total: $6x(x^2-1) = 6x^3 - 6x$.
- Respuesta: $6x^3 - 6x$
3 Respecto de «Uso de la propiedad asociativa en multiplicación algebraica»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «La asociatividad indica que el orden de agrupación no altera el producto final»
- La afirmación coincide con la definición formal: La asociatividad indica que el orden de agrupación no altera el producto final.
4 Respecto de «Uso de la propiedad asociativa en multiplicación algebraica»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «$a(b + c) = ab + ac$»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La asociatividad indica que el orden de agrupación no altera el producto final.
Ejemplos Verdadero/Falso
"$a(b + c) = ab + ac$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$a \cdot b = b \cdot a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$a \cdot 1 = a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$(5 \cdot (x-1)) \cdot 2x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Distribuir el 5, luego distribuir el 2x."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La asociatividad indica que el orden de agrupación no altera el producto final.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En la resolución de $5 \cdot (x-1) \cdot 2x$, ¿qué agrupación facilita más rápido el cálculo mental debido a la asociatividad?
Agrupar los monomios $5 \cdot 2x$ da $10x$, un multiplicador muy fácil de distribuir luego en $(x-1)$.
Respuesta: A) $(5 \cdot 2x) \cdot (x-1)$
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¿Qué enuncia formalmente la propiedad asociativa de la multiplicación?
La asociatividad indica que el orden de agrupación no altera el producto final.
Respuesta: A) $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
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¿Por qué un estudiante podría equivocarse al hacer $3(x+2)(x-4) = (3x+6)(3x-12)$?
La forma correcta es agrupar: $[3(x+2)](x-4)$ o $3[(x+2)(x-4)]$. Multiplicar ambos implica insertar el factor dos veces.
Respuesta: A) Porque distribuyó el $3$ a ambos paréntesis a la vez, rompiendo la asociatividad.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Selecciona la expresión que demuestra un uso correcto de la asociatividad en $2(a+b)(a-b)$.
Se asocian los dos binomios juntos para resolver el producto notable primero.
Respuesta: A) $2[(a+b)(a-b)]$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Aplica asociatividad para resolver inteligentemente: $-4y \cdot (x^2+y^2) \cdot (-0.25y)$
Asociamos los monomios: $(-4y) \cdot (-0.25y) = 1y^2$. Luego $y^2(x^2+y^2) = x^2y^2 + y^4$.
Respuesta: A) $x^2y^2 + y^4$
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Calcula el resultado de $2x \cdot 3x \cdot (x - 5)$.
Asociando monomios: $2x \cdot 3x = 6x^2$. Luego $6x^2(x - 5) = 6x^3 - 30x^2$.
Respuesta: A) $6x^3 - 30x^2$
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Desarrolla la expresión: $5(x - 3)(x + 3)$.
Asociando binomios: $5[x^2 - 9]$. Distribuyendo: $5x^2 - 45$.
Respuesta: A) $5x^2 - 45$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un volumen se calcula como $\frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot (3h + 6)$. Mediante agrupaciones de la asociatividad, una expresión equivalente más compacta es:
Podemos asociar $\frac{1}{3}$ con el paréntesis: $\pi r^2 \cdot [\frac{1}{3}(3h + 6)] = \pi r^2(h + 2)$.
Respuesta: A) $\pi r^2 (h + 2)$
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Si $A = 2(x+1)$, $B = 3(x-1)$ y $C = x$, encuentra el producto $A \cdot B \cdot C$.
$A \cdot B \cdot C = 2(x+1) \cdot 3(x-1) \cdot x$. Asociando números: $6x$. Binomios: $x^2-1$. Total: $6x(x^2-1) = 6x^3 - 6x$.
Respuesta: A) $6x^3 - 6x$
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Para $x = \sqrt{2}$, ¿cuál es el valor de $x \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x+\sqrt{2})$?
Asociando, obtenemos $x(x^2 - 2)$. Sustituyendo $\sqrt{2}$: $\sqrt{2}((\sqrt{2})^2 - 2) = \sqrt{2}(2-2) = 0$. (También porque un factor es cero).
Respuesta: A) $0$