Aplicación del producto de potencias de igual base en multiplicación algebraica
Aplicar la ley de exponentes al multiplicar potencias de la misma base, sumando los exponentes.
Introducción
¿Cuánto es $x^2 \cdot x^3$? Podemos pensar: $x^2 = x \cdot x$ y $x^3 = x \cdot x \cdot x$. Juntándolos: $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^5$. Los exponentes se suman.
Explicación
Definición formal
Regla: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Base idéntica → sumar exponentes.
Desarrollo didáctico
Regla formal: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Ejemplos:
- $x^3 \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7$.
- $y^2 \cdot y = y^{2+1} = y^3$ (el exponente 1 es implícito).
- $a^5 \cdot a^0 = a^{5+0} = a^5$ (cualquier base elevada a cero es 1).
Importante: Esta regla solo aplica cuando las bases son idénticas. $x^3 \cdot y^4$ NO se simplifica sumando exponentes porque las bases ($x$ e $y$) son distintas.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que las dos potencias tengan exactamente la misma base.
- Paso 2: Suma sus exponentes.
- Paso 3: Escribe la base con el exponente resultante.
- Paso 4: Si las bases son distintas, NO apliques esta regla; déjalas separadas.
Ejemplos
1 Simplifica: x^3 · x^2 · x.
- Misma base x en los tres factores.
- Sumamos exponentes: 3 + 2 + 1 = 6.
- Resultado: x^6.
2 El área de un rectángulo es largo × ancho. Si el largo es $x^3$ cm y el ancho es $x^2$ cm, ¿cuál es el área? (v1) Opciones: A) $x^5$ cm² · B) $x^6$ cm² · C) $2x^5$ cm² · D) $x^5$ cm
- $A = x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$ cm².
- Respuesta: $x^5$ cm²
3 Respecto de «Aplicación del producto de potencias de igual base en multiplicación algebraica»: ¿La siguiente formulación es correcta? «Al multiplicar potencias de la **misma base**, los exponentes se **suman**: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$»
- La afirmación coincide con la definición formal: Al multiplicar potencias de la **misma base**, los exponentes se **suman**: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
4 Respecto de «Aplicación del producto de potencias de igual base en multiplicación algebraica»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Multiplicar los exponentes en lugar de sumarlos (ej. $x^3 \cdot x^4 = x^{12}$). Eso es elevar una potencia a otra»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Al multiplicar potencias de la **misma base**, los exponentes se **suman**: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar los exponentes en lugar de sumarlos (ej. $x^3 \cdot x^4 = x^{12}$). Eso es elevar una potencia a otra."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la regla a bases distintas (ej. creer que $x^3 \cdot y^2 = xy^5$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al multiplicar potencias de igual base, se multiplican los exponentes: $x^{5 \cdot 3}=x^{15}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Los exponentes se restan: $x^{5-3}=x^2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Los exponentes no cambian: el resultado es $x^5$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al multiplicar potencias de la **misma base**, los exponentes se **suman**: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. La base permanece igual; solo los exponentes se operan.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la ley que permite simplificar $x^5 \cdot x^3$? (v1)
Regla: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Base idéntica → sumar exponentes.
Respuesta: A) Al multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes: $x^{5+3}=x^8$.
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¿Cuál es la ley que permite simplificar $x^5 \cdot x^3$? (v2)
Regla: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Base idéntica → sumar exponentes.
Respuesta: A) Al multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes: $x^{5+3}=x^8$.
-
¿Cuál es la ley que permite simplificar $x^5 \cdot x^3$? (v3)
Regla: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Base idéntica → sumar exponentes.
Respuesta: A) Al multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes: $x^{5+3}=x^8$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Simplifica: $a^4 \cdot a^2 \cdot a^3$.
Misma base $a$. Sumamos exponentes: $4+2+3=9$. Resultado: $a^9$.
Respuesta: A) $a^9$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿$m^3 \cdot n^4$ puede simplificarse a $mn^7$ usando la ley de exponentes de igual base?
La regla de suma de exponentes solo aplica cuando las bases son iguales. $m$ y $n$ son bases distintas, por lo que $m^3 \cdot n^4$ no se simplifica.
Respuesta: Falso
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¿$m^3 \cdot n^4$ puede simplificarse a $mn^7$ usando la ley de exponentes de igual base?
La regla de suma de exponentes solo aplica cuando las bases son iguales. $m$ y $n$ son bases distintas, por lo que $m^3 \cdot n^4$ no se simplifica.
Respuesta: Falso
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¿$m^3 \cdot n^4$ puede simplificarse a $mn^7$ usando la ley de exponentes de igual base?
La regla de suma de exponentes solo aplica cuando las bases son iguales. $m$ y $n$ son bases distintas, por lo que $m^3 \cdot n^4$ no se simplifica.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El área de un rectángulo es largo × ancho. Si el largo es $x^3$ cm y el ancho es $x^2$ cm, ¿cuál es el área? (v1)
$A = x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$ cm².
Respuesta: A) $x^5$ cm²
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El área de un rectángulo es largo × ancho. Si el largo es $x^3$ cm y el ancho es $x^2$ cm, ¿cuál es el área? (v2)
$A = x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$ cm².
Respuesta: A) $x^5$ cm²
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El área de un rectángulo es largo × ancho. Si el largo es $x^3$ cm y el ancho es $x^2$ cm, ¿cuál es el área? (v3)
$A = x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$ cm².
Respuesta: A) $x^5$ cm²