Sustracción de fracciones algebraicas de igual denominador

Resumen inicial

Para restar fracciones algebraicas de igual denominador, se restan los numeradores distribuyendo el signo negativo y se conserva el denominador común.

Explicación en palabras simples

En la resta de fracciones algebraicas con igual denominador mantenemos la base común y restamos los numeradores.

Es fundamental recordar que el signo de resta (menos) situado antes del segundo numerador afecta a todos los términos de esa segunda expresión.

Por ello, escribimos el segundo numerador dentro de un paréntesis para cambiar correctamente los signos de cada uno de sus términos al eliminarlo.

$Sustracción de fracciones de igual denominador$

Explicación formal

Definición formal

Dadas dos fracciones algebraicas $\frac{A(x)}{D(x)}$ y $\frac{B(x)}{D(x)}$ con $D(x) \neq 0$, la sustracción de igual denominador se define como:

$$\frac{A(x)}{D(x)} - \frac{B(x)}{D(x)} = \frac{A(x) - B(x)}{D(x)} = \frac{A(x) - (b_1 x^k + \dots + b_0)}{D(x)}$$

Desglose de la fórmula

$A(x) - B(x)$: Resta del polinomio sustraendo donde el signo negativo invierte a cada coeficiente de $B(x)$.
$D(x)$: Denominador común no nulo que se conserva sin alteración.

Síntesis didáctica

Restar fracciones homogéneas exige distribuir el signo negativo sobre todos los términos del segundo numerador.

Definiciones clave

Sustraendo algebraico: Segundo numerador cuyo polinomio cambia de signo al efectuar la resta.
Distribución de negación: Regla por la cual el operador $-$ altera el signo de cada término dentro del paréntesis.

Propiedades y relaciones importantes

No conmutatividad: $\frac{A(x)}{D(x)} - \frac{B(x)}{D(x)} \neq \frac{B(x)}{D(x)} - \frac{A(x)}{D(x)}$.
Dominio inalterado: $\operatorname{Dom} = \{x \in \mathbb{R} \mid D(x) \neq 0\}$.

Ejemplo guiado

Resta las fracciones algebraicas $\frac{5x + 3}{x + 1} - \frac{2x - 4}{x + 1}$, distribuye el signo menos en el numerador y evalúa el resultado para $x = 2$.

Paso 1: Escribir la resta de los numeradores sobre el denominador común $(x + 1)$ protegiendo el sustraendo: $\frac{(5x + 3) - (2x - 4)}{x + 1}$.
Paso 2: Eliminar paréntesis invirtiendo los signos del segundo numerador: $5x + 3 - 2x + 4$.
Paso 3: Reducir términos semejantes: $5x - 2x = 3x$ y $3 + 4 = 7$, obteniendo $\frac{3x + 7}{x + 1}$ para $x \neq -1$.
Paso 4: Evaluar para $x = 2$: $\frac{3(2) + 7}{2 + 1} = \frac{6 + 7}{3} = \frac{13}{3}$.

Procedimiento

Paso 1: Conservar el denominador común.
Paso 2: Escribir el primer numerador.
Paso 3: Escribir el signo menos y abrir paréntesis para el segundo numerador.
Paso 4: Distribuir el signo menos invirtiendo los signos de cada término del sustraendo.
Paso 5: Reducir los términos semejantes en el numerador.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Cambiar el signo solo del primer término del segundo numerador: $-(2x - 4) = -2x - 4$. Corrección: El signo menos se aplica a todos los términos: $-(2x - 4) = -2x + 4$.
Error 2: Restar los denominadores comunes entre sí. Corrección: El denominador común permanece inalterado.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El signo menos de la resta exige cambiar el signo a todos y cada uno de los términos del segundo numerador."

"Para restar fracciones algebraicas de igual denominador se restan los numeradores distribuyendo el signo negativo y se conserva el denominador común."

"Omitir la reducción de términos semejantes en el numerador unificado resultante."

"Restar los denominadores comunes entre sí produciendo una división por cero o alterando el denominador común."

"Eliminar el denominador común tras efectuar la resta de numeradores."

"Cambiar el signo únicamente al primer término del segundo numerador al suprimir los paréntesis."

"Asumir que la resta de fracciones algebraicas cumple con la propiedad conmutativa."

Al terminar debes poder

Resumen visual

Restar fracciones algebraicas de igual denominador.

Conservar el denominador común $D(x)$ y restar los numeradores distribuyendo el signo menos a todos los términos del sustraendo ($\frac{A(x) - (B(x))}{D(x)} = \frac{A(x) - B(x)}{D(x)}$), declarando la restricción $D(x) \neq 0$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Al restar dos fracciones algebraicas con el mismo denominador:
Es el mismo principio que la suma, el denominador es inmutable en este paso.

Respuesta: B) El denominador se conserva intacto y los numeradores se restan.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Calcula $\frac{7a}{2} - \frac{5a}{2}$.
(7a - 5a)/2 = 2a/2 = a.

Respuesta: B) $a$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿La resta $\frac{A}{C} - \frac{B}{C}$ es equivalente a $\frac{A-B}{C}$?

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación