Sustracción de fracciones algebraicas de distinto denominador

Resumen inicial

Para restar fracciones algebraicas de distinto denominador, se deben homogeneizar al m.c.m. común y restar los numeradores amplificados.

Explicación en palabras simples

Cuando los denominadores son diferentes, debemos homogeneizar las fracciones antes de realizar la resta.

Buscamos el denominador común m.c.m. y determinamos el factor por el cual se amplifica cada numerador.

Al escribir la resta de los numeradores amplificados sobre la barra del m.c.m., es imprescindible colocar entre paréntesis el segundo producto amplificado para distribuir la negación a cada uno de sus términos.

$Sustracción de fracciones de distinto denominador$

Explicación formal

Definición formal

Dadas dos fracciones algebraicas $\frac{A(x)}{P(x)}$ y $\frac{B(x)}{Q(x)}$ con $P(x) \neq 0$ y $Q(x) \neq 0$, la sustracción de distinto denominador sobre el $\operatorname{mcm}(P, Q) = M(x)$ se expresa como:

$$\frac{A(x)}{P(x)} - \frac{B(x)}{Q(x)} = \frac{A(x) \cdot C_1(x) - (B(x) \cdot C_2(x))}{M(x)}$$

donde $C_1(x) = \frac{M(x)}{P(x)}$ y $C_2(x) = \frac{M(x)}{Q(x)}$ son los factores de amplificación polinomiales.

Desglose de la fórmula

$M(x)$: Denominador común óptimo determinado mediante el mínimo común múltiplo.
$-(B(x) \cdot C_2(x))$: Resta del segundo numerador amplificado completo protegido por paréntesis.

Síntesis didáctica

Restar fracciones heterogéneas combina la homogeneización previa mediante m.c.m. con la correcta distribución del signo negativo en el sustraendo amplificado.

Definiciones clave

Sustracción homogeneizada: Operación de resta donde ambas fracciones comparten el mismo denominador m.c.m.
Amplificación de sustraendo: Producto $B(x) \cdot C_2(x)$ que debe restarse completamente del primer numerador.

Propiedades y relaciones importantes

Cuidado con el signo negativo: El signo menos antecede a TODO el producto del segundo numerador por su factor de amplificación.
Dominio: $\operatorname{Dom} = \{x \in \mathbb{R} \mid P(x) \neq 0 \land Q(x) \neq 0\}$.

Ejemplo guiado

Resta las fracciones de distinto denominador $\frac{4}{x - 1} - \frac{2}{x + 3}$, expresa el resultado sobre el denominador común $(x - 1)(x + 3)$ y evalúa para $x = 2$.

Paso 1: Denominador común m.c.m. entre $(x - 1)$ y $(x + 3)$: $(x - 1)(x + 3)$.
Paso 2: Amplificar numeradores: primer numerador por $(x + 3)$, segundo por $(x - 1)$.
Paso 3: Escribir la resta protegiendo el segundo numerador: $\frac{4(x + 3) - (2(x - 1))}{(x - 1)(x + 3)}$.
Paso 4: Expandir y distribuir signos: $4x + 12 - (2x - 2) = 4x + 12 - 2x + 2 = 2x + 14$.
Paso 5: Escribir la fracción resta final: $\frac{2x + 14}{(x - 1)(x + 3)}$ para $x \notin \{1, -3\}$.
Paso 6: Evaluar para $x = 2$: $\frac{2(2) + 14}{(2 - 1)(2 + 3)} = \frac{4 + 14}{1 \cdot 5} = \frac{18}{5}$.

Procedimiento

Paso 1: Determinar el m.c.m. de los denominadores de las fracciones a restar.
Paso 2: Calcular el factor de amplificación de cada fracción dividiendo el m.c.m. entre su denominador original.
Paso 3: Multiplicar cada numerador por su factor de amplificación correspondiente.
Paso 4: Colocar el primer numerador amplificado menos el segundo numerador amplificado encerrado entre paréntesis.
Paso 5: Distribuir el signo menos en el segundo paréntesis y reducir términos semejantes sobre el m.c.m.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Restar directamente los numeradores sin amplificar por el m.c.m. (escribir $\frac{A}{P} - \frac{B}{Q} = \frac{A-B}{P \cdot Q}$). Cómo corregirlo: Se deben AMPLIFICAR AMBOS NUMERADORES MULTIPLICÁNDOLOS POR SUS FACTORES DE HOMOGENEIZACIÓN.
Error 2: Omitir la inversión del signo del término independiente al distribuir el menos en el sustraendo amplificado. Cómo corregirlo: El signo negativo de la sustracción CAMBIA TODOS LOS SIGNOS DEL PRODUCTO AMPLIFICADO DEL SEGUNDO NUMERADOR.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Al restar $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$, el numerador homogeneizado es $x-y$."

"En la sustracción de distinto denominador, la resta de denominadores $P(x) - Q(x)$ constituye el denominador común."

"La resta $\frac{A}{B} - \frac{C}{D}$ equivale al producto de fracciones $\frac{A-C}{B \cdot D}$."

"En la resta $\frac{4}{x-1} - \frac{2}{x+3}$, la amplificación del sustraendo por $(x-1)$ prescinde del paréntesis dando $4x+12-2x-2$."

"La sustracción de fracciones heterogéneas requiere homogeneizar denominadores previa distribución del signo negativo."

"El producto amplificado del segundo numerador debe ser restado en su totalidad del primer numerador."

"Al restar fracciones heterogéneas $\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$, el resultado directo es $\frac{a-c}{b-d}$."

Al terminar debes poder

Resumen visual

Restar fracciones algebraicas de distinto denominador.

Homogeneizar denominadores calculando el m.c.m., amplificar numeradores, escribir el sustraendo amplificado entre paréntesis para distribuir el signo negativo ($\frac{A \cdot C_1 - (B \cdot C_2)}{M(x)}$) y reducir los términos semejantes.

Practica

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Resuelve la resta $\frac{4}{a} - \frac{3}{a^2}$.
MCM es a^2. A la primera le falta 'a', queda 4a. A la segunda no le falta nada, queda 3. (4a-3)/a^2.

Respuesta: B) $\frac{4a-3}{a^2}$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Calcula algebraicamente la diferencia: $\frac{x}{x-2} - \frac{2}{x}$.
MCM: x(x-2). Num1 amplificado: x * x = x^2. Num2 amplificado: 2 * (x-2) = 2x - 4. Resta: x^2 - (2x - 4) = x^2 - 2x + 4.

Respuesta: A) $\frac{x^2 - 2x + 4}{x(x-2)}$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación