Simplificación cruzada en producto de fracciones algebraicas
Cancelar factores comunes entre cualquier numerador y cualquier denominador antes de multiplicar.
Introducción
Una vez que todo está factorizado, comienza el juego de emparejar. Cualquier factor idéntico que esté arriba puede cancelar a uno que esté abajo, no importa en qué fracción estén.
Explicación
Definición formal
Es como si ya fueran una sola fracción, por lo tanto cualquier factor arriba cancela a uno abajo.
Desarrollo didáctico
La simplificación cruzada es tu herramienta útil para evitar cálculos extensos. Se basa en una propiedad adecuado de la multiplicación de fracciones: como todos los numeradores terminan multiplicándose juntos arriba y los denominadores abajo, puedes tachar cualquier factor de arriba con cualquier factor igual de abajo, sin importar si estaban originalmente en la misma fracción o en fracciones cruzadas.
Ejemplo:
Tienes $\frac{(x-2)}{x+1} \cdot \frac{x+1}{(x-2)(x+3)}$.
En lugar de multiplicar todo, observa:
- Tienes un $(x-2)$ arriba (en la 1ra) y uno abajo (en la 2da). Se tachan.
- Tienes un $(x+1)$ abajo (en la 1ra) y uno arriba (en la 2da). Se tachan.
¿Qué sobrevivió a la masacre? Arriba se canceló todo (queda un 1). Abajo sobrevivió $(x+3)$.
Resultado final inmediato: $\frac{1}{x+3}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Busca factores idénticos que estén tanto en la parte superior como en la inferior.
- Paso 2: Tacha el par de factores idénticos.
- Paso 3: Repite el proceso hasta que no queden factores comunes entre la parte superior (numeradores) y la inferior (denominadores).
Ejemplos
1 Simplifica $\frac{5}{x-1} \cdot \frac{x-1}{10}$.
- El factor $(x-1)$ está arriba en la 2da y abajo en la 1ra. Tachamos.
- El 5 está arriba y el 10 abajo. Dividimos ambos por 5 (queda 1 y 2).
- Sobrevivientes: Arriba $1 \cdot 1$. Abajo $1 \cdot 2$.
- Resultado: $\frac{1}{2}$.
2 Simplifica $\frac{a+b}{m} \cdot \frac{m}{a+b}$.
- Todo se cancela cruzado, quedando puros unos. 1/1 = 1.
3 Respecto de «Simplificación cruzada en producto de fracciones algebraicas»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «En una multiplicación de fracciones, puedes cancelar cualquier factor del numerador de cualquier fracción con el mismo factor en el denominador de cualquier fracción»
- La afirmación coincide con la definición formal: En una multiplicación de fracciones, puedes cancelar cualquier factor del numerador de cualquier fracción con el mismo factor en el denominador de cualquier fracción.
4 Respecto de «Simplificación cruzada en producto de fracciones algebraicas»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Cancelar cruzado términos que se suman, no factores (ej: tachar un +2 cruzado con otro +2)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: En una multiplicación de fracciones, puedes cancelar cualquier factor del numerador de cualquier fracción con el mismo factor en el denominador de cualquier fracción.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Cancelar cruzado términos que se suman, no factores (ej: tachar un +2 cruzado con otro +2)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cancelar factores horizontalmente (numerador con numerador)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Porque la multiplicación es conmutativa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es un atajo no justificado matemáticamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Por qué es válido cancelar un factor del numerador de la primera fracción con uno del denominador de la segunda», la respuesta correcta es Porque los signos se cancelan."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En una multiplicación de fracciones, puedes cancelar cualquier factor del numerador de cualquier fracción con el mismo factor en el denominador de cualquier fracción.