Cálculo del m.c.m. entre polinomios mediante factorización
Encontrar el Mínimo Común Múltiplo entre polinomios (binomios, trinomios) usando sus formas factorizadas.
Introducción
¿Recuerdas que desarmamos polinomios para hallar el MCD? Para el MCM haremos exactamente lo mismo. Factorizaremos primero, y luego aplicaremos la regla de "todo el mundo adentro al mayor exponente".
Explicación
Definición formal
Es la regla universal de construcción del Mínimo Común Múltiplo.
Desarrollo didáctico
Para hallar el MCM de expresiones polinómicas complejas, el primer paso irrenunciable es Factorizar cada polinomio completamente.
Una vez que tienes los polinomios expresados como multiplicaciones de paréntesis, aplicas la regla general del MCM: Tomas TODOS los factores distintos (comunes y no comunes), con su MAYOR exponente.
Ejemplo:
- Polinomio 1: $x^2 - 1$. Factorizado es $(x-1)(x+1)$.
- Polinomio 2: $x^2 - 2x + 1$. Factorizado es $(x-1)^2$.
Aplicamos la regla del MCM:
1. Todos los factores: Aparecen los paréntesis $(x-1)$ y $(x+1)$. Debemos incluirlos ambos.
2. Mayor exponente:
- El $(x-1)$ aparece elevado a 1 en P1 y elevado a 2 en P2. Tomamos la versión más grande: $(x-1)^2$.
- El $(x+1)$ solo aparece elevado a 1. Lo tomamos tal cual.
El MCM es $(x-1)^2(x+1)$. Dominar esto es vital para sumar fracciones algebraicas.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Factoriza completamente cada uno de los polinomios.
- Paso 2: Haz una lista mental (o escrita) de todos los factores (paréntesis) distintos que veas.
- Paso 3: Asígnale a cada paréntesis el exponente más alto que tenga en el grupo.
- Paso 4: Multiplica todos estos paréntesis. Deja el resultado expresado (factorizado).
Ejemplos
1 Halla el MCM de $2x+4$ y $x^2-4$.
- Factorizamos: $2x+4 = 2(x+2)$.
- Factorizamos: $x^2-4 = (x+2)(x-2)$.
- Lista de factores distintos: el número '2', el paréntesis $(x+2)$ y el paréntesis $(x-2)$.
- Mayor exponente de cada uno es 1.
- MCM: $2(x+2)(x-2)$.
2 MCM entre $(x-1)^3$ y $(x-1)(x+5)$.
- Factores: (x-1) y (x+5). Mayor de (x-1) es 3. Mayor de (x+5) es 1.
3 Respecto de «Cálculo del m.c.m. entre polinomios mediante factorización»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «Para hallar el MCM de varios polinomios, primero se factorizan completamente»
- La afirmación coincide con la definición formal: Para hallar el MCM de varios polinomios, primero se factorizan completamente.
4 Respecto de «Cálculo del m.c.m. entre polinomios mediante factorización»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Confundir la regla del MCD y tomar solo los factores comunes (lo que arruina el MCM)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Para hallar el MCM de varios polinomios, primero se factorizan completamente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la regla del MCD y tomar solo los factores comunes (lo que arruina el MCM)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si hay factores numéricos externos (ej. un 3 y un 6), olvidarse de sacar el MCM numérico de esos números (que sería 6)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al buscar el MCM de polinomios factorizados, ¿qué factores se deben incluir», la respuesta correcta es Solo los factores comunes al menor exponente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al buscar el MCM de polinomios factorizados, ¿qué factores se deben incluir», la respuesta correcta es Solo los factores no comunes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Las raíces sin repetir."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para hallar el MCM de varios polinomios, primero se factorizan completamente. Luego, el MCM se forma tomando TODOS los paréntesis diferentes (comunes y no comunes) y elevándolos a su mayor exponente.
Practica
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un fabricante de baldosas tiene dos modelos de áreas $A_1 = x^2 - x - 6$ y $A_2 = x^2 - 9$. Necesita una caja cuyo fondo (área) pueda albergar exactamente cualquiera de las dos baldosas sin desperdicio asimétrico (es decir, el MCM). ¿Cuál es la expresión factorizada de la caja?
A1 = (x-3)(x+2). A2 = (x-3)(x+3). Factores: (x-3), (x+2), (x+3). Todos al exponente 1.
Respuesta: A) $(x-3)(x+2)(x+3)$