Determinación del M.C.D. literal entre monomios
Resumen inicial
La determinación del M.C.D. literal entre monomios consiste en seleccionar únicamente las variables que figuran en todos los monomios, elevadas a su menor exponente.
Explicación en palabras simples
Para hallar el M.C.D. literal (de las letras) entre varios monomios (ej: $x^4y^3z^2$, $x^2y^5$, $x^3y^2w$):
- DOS REGLAS DE ORO:
1. Identifica las letras COMUNES A TODOS los monomios:
- La $x$ aparece en los 3 monomios. (¡Es común!).
- La $y$ aparece en los 3 monomios. (¡Es común!).
- La $z$ sólo aparece en el primero $\implies$ ¡Se elimina!
- La $w$ sólo aparece en el tercero $\implies$ ¡Se elimina!
2. Elige el MENOR exponente de cada letra común:
- Para $x$: exponentes son $4, 2, 3 \implies$ el menor exponente es $2$ ($x^2$).
- Para $y$: exponentes son $3, 5, 2 \implies$ el menor exponente es $2$ ($y^2$).
3. Respuesta final del M.C.D. literal: $\mathbf{x^2y^2}$.
Explicación formal
Definición formal
Sean $M_1, M_2, \dots, M_k$ $k$ monomios en $n$ variables con partes literales $L_i = \prod_{j=1}^n x_j^{e_{i,j}}$ donde $e_{i,j} \ge 0$. El M.C.D. de las partes literales se define algebraicamente como el producto monómico:
$$\operatorname{MCD}(L_1, L_2, \dots, L_k) = \prod_{j=1}^n x_j^{\min_i(e_{i,j})}$$
Análisis del Exponente Mínimo Cero
Si una variable $x_j$ no está presente en al menos uno de los monomios $M_m$, su exponente en dicho monomio es $e_{m,j} = 0$. Por propiedad de la función mínimo:
$$\min(e_{1,j}, e_{2,j}, \dots, 0, \dots, e_{k,j}) = 0 \implies x_j^0 = 1$$
lo cual demuestra rigurosamente por qué las variables no compartidas se anulan y no forman parte del M.C.D..
Síntesis didáctica
La parte literal del M.C.D. es el producto de las letras comunes a todos los monomios, cada una elevada a su menor exponente.
La alternativa correcta es 'El M.C.D. literal es $x^2 y^2$, porque sólo $x$ e $y$ están en los tres monomios, con menores exponentes 2 y 2'. Variables comunes $x, y$ con $\min(4,2,5)=2$ y $\min(6,3,2)=2$.
Definiciones clave
- M.C.D. literal: Componente del M.C.D. formada por el producto de las variables comunes con su menor grado.
- Variable común: Letra que posee un exponente estrictamente mayor que cero ($e_{i,j} \ge 1$) en todos los monomios considerados.
- Exponente literal mínimo ($\min(e_j)$): Potencia más pequeña con la que figura una variable en el conjunto de monomios.
Propiedades y relaciones importantes
- Cero exponente para variables no comunes: Las letras ausentes en algún monomio tienen exponente mínimo 0 y equivalen a multiplicar por 1.
Ejemplo guiado
Calcula el M.C.D. literal entre los monomios $M_1 = a^5 b^3 c^2$, $M_2 = a^3 b^4 d$ y $M_3 = a^4 b^2 c^7$.
- Paso 1: Listamos las letras presentes y verificamos su presencia en los 3 monomios: - Letra $a$: presente en $M_1, M_2, M_3 \implies$ **¡Es común!** - Letra $b$: presente en $M_1, M_2, M_3 \implies$ **¡Es común!** - Letra $c$: falta en $M_2 \implies$ **Se elimina.** - Letra $d$: falta en $M_1$ y $M_3 \implies$ **Se elimina.**
- Paso 2: Comparamos los exponentes de las letras comunes: - Para $a$: exponentes son $5, 3, 4 \implies$ menor exponente es **$3$** ($a^3$). - Para $b$: exponentes son $3, 4, 2 \implies$ menor exponente es **$2$** ($b^2$).
- Paso 3: Multiplicamos las variables elegidas con su menor exponente: $a^3 b^2$.
- Conclusión: El M.C.D. literal es **$a^3 b^2$**.
La alternativa correcta es 'Su M.C.D. literal es 1 (ó $x^0 = 1$)'. Si no hay variables comunes, todos los exponentes mínimos son 0 $\implies \prod x_j^0 = 1$.
Procedimiento
- Paso 1: Examinar la lista de monomios e identificar qué letras aparecen en absolutamente todos ellos.
- Paso 2: Descartar cualquier letra que falte en al menos uno de los monomios.
- Paso 3: Para cada letra común conservada, comparar sus exponentes y seleccionar el menor de ellos.
- Paso 4: Escribir el producto de las letras comunes elevadas a su respectivo menor exponente.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Incluir una letra que sólo está presente en algunos monomios pero no en todos. Cómo corregirlo: Para formar parte del M.C.D. LA VARIABLE DEBE REPETIRSE OBLIGATORIAMENTE EN TODOS LOS MONOMIOS DADOS.
- Error 2: Sumar los exponentes de las letras en lugar de seleccionar el menor. Cómo corregirlo: En el M.C.D. SE ELIGE EL MENOR EXPONENTE INDIVIDUAL DE CADA VARIABLE COMÚN (no se suman).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Sí, el menor exponente es 3.
- Sí, menores exponentes 2 y 2.
- Sí, $b$ y $c$ no son comunes.
- Sí, no hay letras comunes.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Determinar la parte literal del M.C.D. entre varios monomios seleccionando variables comunes con su menor exponente.
Identificar únicamente las variables literales presentes en todos los monomios y elevar cada una al menor exponente encontrado ($\prod x_j^{\min(e_{i,j})}$).