Simplificación de fracción algebraica con denominador compuesto
Resolver fracciones complejas que contienen operaciones de suma o resta en el numerador o denominador global.
Introducción
Aquí la dificultad sube un nivel. A veces, el 'piso' de arriba o de abajo no es una sola fracción, sino una suma o resta de varias cosas. No puedes voltear una suma directamente.
Explicación
Definición formal
No puedes usar la ley del sándwich ni invertir el divisor si este consta de dos sumandos separados.
Desarrollo didáctico
A menudo, el 'piso de arriba' o el 'piso de abajo' no son fracciones simples listas para la regla del sándwich, sino una ensalada de fracciones sumándose o restándose. Por ejemplo, el denominador principal es $(1 + \frac{1}{x})$.
Antes de intentar la ley del sándwich, tienes la obligación de convertir esa ensalada en una única fracción compacta.
Para el ejemplo $(1 + \frac{1}{x})$:
1. Imagina que el 1 es una fracción: $\frac{1}{1}$.
2. Súmala a $\frac{1}{x}$ usando el MCM (que es 'x').
3. Amplifica la primera: $\frac{x}{x} + \frac{1}{x}$.
4. Suma los numeradores: $\frac{x+1}{x}$.
Listo. Tu piso rebelde ha sido compactado en una hermosa fracción. Haz lo mismo con el otro piso y ahora sí podrás aplicar la ley del sándwich sin problemas.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Trata el numerador global como un ejercicio independiente y resuélvelo hasta que quede como una sola fracción.
- Paso 2: Haz lo mismo con el denominador global.
- Paso 3: Reescribe la fracción compleja con tus dos fracciones únicas.
- Paso 4: Aplica 'extremos y medios' o conviértelo en multiplicación.
Ejemplos
1 Simplifica $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{ab}}$.
- Numerador: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}$.
- Torre: $\frac{\frac{b+a}{ab}}{\frac{1}{ab}}$.
- Horizontal: $\frac{b+a}{ab} \cdot \frac{ab}{1}$.
- Cancela $ab$. Resultado: $b+a$ o $a+b$.
2 ¿Qué haces primero en $\frac{2}{\frac{x}{3} - 1}$?
- Se debe condensar el denominador antes de cualquier división.
3 Respecto de «Simplificación de fracción algebraica con denominador compuesto»: ¿Es correcta esta caracterización? «Antes de poder aplicar la división (voltear y multiplicar), debes resolver por completo cualquier suma o resta presente en el numerador o denominador global para condensarlos en una ÚNICA fracción»
- La afirmación coincide con la definición formal: Antes de poder aplicar la división (voltear y multiplicar), debes resolver por completo cualquier suma o resta presente en el numerador o denominador global para condensarlos en una ÚNICA fracción.
4 Respecto de «Simplificación de fracción algebraica con denominador compuesto»: ¿Es válida esta afirmación? «Intentar cancelar términos sueltos de las sumas con otras partes de la fracción (ej. tachar los 1 en el problema de arriba)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Antes de poder aplicar la división (voltear y multiplicar), debes resolver por completo cualquier suma o resta presente en el numerador o denominador global para condensarlos en una ÚNICA fracción.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Intentar cancelar términos sueltos de las sumas con otras partes de la fracción (ej. tachar los 1 en el problema de arriba)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si el denominador global de una fracción compleja es $x + \frac{1}{y}$, ¿cuál es el paso OBLIGATORIO antes de transformarlo en multiplicación», la respuesta correcta es Multiplicar todo por x."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si el denominador global de una fracción compleja es $x + \frac{1}{y}$, ¿cuál es el paso OBLIGATORIO antes de transformarlo en multiplicación», la respuesta correcta es Dar la vuelta solo al 1/y."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si el denominador global de una fracción compleja es $x + \frac{1}{y}$, ¿cuál es el paso OBLIGATORIO antes de transformarlo en multiplicación», la respuesta correcta es Tachar la y con el numerador global."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$\frac{x-2}{x^2}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Antes de poder aplicar la división (voltear y multiplicar), debes resolver por completo cualquier suma o resta presente en el numerador o denominador global para condensarlos en una ÚNICA fracción.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si el denominador global de una fracción compleja es $x + \frac{1}{y}$, ¿cuál es el paso OBLIGATORIO antes de transformarlo en multiplicación?
No puedes usar la ley del sándwich ni invertir el divisor si este consta de dos sumandos separados.
Respuesta: C) Sumar algebraicamente para que se convierta en una sola fracción $\frac{xy+1}{y}$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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En la fracción compleja $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{x+y}$, el numerador global condensado es $\frac{y+x}{xy}$.
Correcto. (1/x) + (1/y) se hace con MCM xy, quedando (y+x)/xy.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Simplifica la expresión $\frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}}$.
Num: (x^2-4)/x^2. Den: (x+2)/x. División: (x-2)(x+2)/x^2 * x/(x+2). Cancela (x+2) y una x. Queda (x-2)/x.
Respuesta: A) $\frac{x-2}{x}$