Simplificación de fracciones mediante factorización de polinomios
Aprender a simplificar fracciones que contienen sumas o restas mediante la factorización previa.
Introducción
Aquí es donde los estudiantes novatos caen como moscas. Tachan cosas que no deberían tachar. Existe una regla inquebrantable en las fracciones algebraicas: nunca puedes tachar términos que se estén sumando o restando.
Explicación
Definición formal
El 4 en el numerador es un sumando, no un factor. (Como probar (2+4)/4 -> 6/4 = 1.5, pero si tacharas daría 2).
Desarrollo didáctico
El error más catastrófico en álgebra es tachar (simplificar) letras o números que están sumando o restando.
Si tienes $\frac{x^2 + 2x}{x}$, ESTÁ PROHIBIDO tachar la 'x' de arriba con la de abajo.
Ley Universal de Simplificación: SOLO puedes simplificar factores. Un factor es algo que está MULTIPLICANDO a todo lo demás. Los términos que suman o restan están blindados y no se pueden separar.
Para poder simplificar, debes Factorizar primero. Transformar las sumas en multiplicaciones de paréntesis.
- Paso 1: Toma el numerador $x^2 + 2x$ y extrae factor común 'x'. Queda: $x(x + 2)$.
- Paso 2: Reescribe la fracción: $\frac{x(x + 2)}{x}$.
- Paso 3: Ahora sí. Como la 'x' está multiplicando a todo el paréntesis, puedes tacharla con la 'x' que está multiplicando sola abajo.
- Resultado final: $x + 2$.
Si no hay multiplicaciones puras, no puedes simplificar.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Ignora tu instinto de tachar letras sueltas a simple vista.
- Paso 2: Factoriza el numerador lo máximo que puedas.
- Paso 3: Factoriza el denominador lo máximo que puedas.
- Paso 4: Busca paréntesis (o monomios sueltos) enteros que sean idénticos arriba y abajo, y cancélelos.
Ejemplos
1 Simplifica $\frac{a^2 - b^2}{a+b}$.
- 1. No puedes tachar 'a' con 'a'.
- 2. Factoriza arriba (Diferencia de cuadrados): $(a+b)(a-b)$.
- 3. Abajo ya es irreducible: $(a+b)$.
- 4. Fracción: $\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)}$.
- 5. Cancela el bloque entero $(a+b)$. Resultado: $a-b$.
2 Simplifica $\frac{x^2-3x}{x-3}$.
- Arriba factor común: x(x-3). Abajo: (x-3). Se cancela (x-3) completo.
3 Respecto de «Simplificación de fracciones mediante factorización de polinomios»: ¿Es correcta esta caracterización? «Para simplificar una fracción con polinomios, primero DEBES FACTORIZAR completamente tanto el numerador como el denominador»
- La afirmación coincide con la definición formal: Para simplificar una fracción con polinomios, primero DEBES FACTORIZAR completamente tanto el numerador como el denominador.
4 Respecto de «Simplificación de fracciones mediante factorización de polinomios»: ¿Es válida esta afirmación? «Tachar un sumando (ej. en $(x+4)/4$, tachar los cuatros)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Para simplificar una fracción con polinomios, primero DEBES FACTORIZAR completamente tanto el numerador como el denominador.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Tachar un sumando (ej. en $(x+4)/4$, tachar los cuatros)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tachar partes internas de un paréntesis."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Porque el 4 de arriba no es múltiplo de x."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Porque da x, y debería dar x+1."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Por qué es matemáticamente incorrecto simplificar los números '4' en la expresión $\frac{x+4}{4}$», la respuesta correcta es Porque no tienen exponentes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para simplificar una fracción con polinomios, primero DEBES FACTORIZAR completamente tanto el numerador como el denominador. Solo se pueden simplificar (tachar) factores completos (paréntesis multiplicativos) que sean idénticos.
Practica
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El área de un rectángulo está dada por $x^2 - x - 12$ y su base es $x - 4$. Al calcular su altura (área dividida por base) y simplificar, ¿qué expresión obtenemos para la altura?
(x^2-x-12)/(x-4). Arriba se factoriza como (x-4)(x+3). Se cancela (x-4).
Respuesta: A) $x+3$