Definición de fracción algebraica

La definición de fracción algebraica consiste en expresar el cociente indicado $\frac{P(x)}{Q(x)}$ entre dos polinomios donde el denominador $Q(x)$ es no nulo y contiene al menos una variable.

Una Fracción Algebraica es el cociente indicado entre dos expresiones algebraicas (polinomios), escrita en la forma:
$$\mathbf{\frac{P(x)}{Q(x)}}$$
- 3 CONDICIONES INDISPENSABLES:
1. Numerador $P(x)$: Puede ser cualquier número, monomio o polinomio (ej: $3x + 5$).
2. Denominador $Q(x)$: ¡Debe contener obligatoriamente al menos una variable (letra)! (ej: $x - 2$).
- $\frac{3x}{5}$ NO es una fracción algebraica (es un polinomio con coeficiente fraccionario $\frac{3}{5}x$).
- $\frac{3}{x}$ SÍ es una fracción algebraica.
3. Denominador no nulo ($Q(x) \neq 0$): ¡La división entre 0 no está definida en matemáticas!

Definición formal

Sea $\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]$ el anillo de polinomios en $n$ variables sobre el cuerpo $\mathbb{K}$. Una fracción algebraica es un elemento del cuerpo de fracciones o cuerpo de funciones racionales $\mathbb{K}(x_1, \dots, x_n)$, representado como el cociente ordenado de dos polinomios:

$$f(x_1, \dots, x_n) = \frac{P(x_1, \dots, x_n)}{Q(x_1, \dots, x_n)} \quad \text{con } Q \notin \mathbb{K} \text{ y } Q(x_1, \dots, x_n) \neq 0$$

Dominio de Definición

El dominio de la función racional asociada $f$ es el subconjunto de $\mathbb{R}^n$ donde el denominador no se anula:

$$\operatorname{Dom}(f) = \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid Q(x_1, \dots, x_n) \neq 0\}$$

Síntesis didáctica

Una fracción algebraica es un cociente entre dos polinomios que exige la presencia de variables en el denominador y restringe los valores que anulan a dicho denominador.

• Fracción algebraica: Cociente indicado $\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde el denominador $Q(x)$ es un polinomio de grado mayor o igual a 1.
• Dominio de una fracción racional: Conjunto de todos los números reales para los cuales el denominador no se reduce a cero.
• Polinomio numerador y denominador: Polinomio superior $P(x)$ y polinomio inferior $Q(x)$ de la expresión fraccionaria.

• Diferencia con polinomios de coeficientes fraccionarios: Expresiones como $\frac{x}{2} = \frac{1}{2}x$ son polinomios, mientras que $\frac{2}{x}$ es una fracción algebraica estricta.

Identifica cuáles de las siguientes expresiones son fracciones algebraicas: I) $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$, II) $\frac{5x^3 + 1}{7}$, III) $\frac{9}{x^2 + 1}$.