Factorización previa en división de fracciones algebraicas
Factorizar todos los polinomios en un problema de división antes o justo después de aplicar el recíproco.
Introducción
Al igual que en la multiplicación, la clave de la división es factorizar todo. El mejor momento para hacerlo es justo después de haber 'volteado' la segunda fracción.
Explicación
Definición formal
La cancelación cruzada solo es válida en multiplicaciones. En divisiones, los factores están en posiciones invertidas matemáticamente.
Desarrollo didáctico
Al igual que en la multiplicación, lanzarse a multiplicar el resultado del 'producto recíproco' sin factorizar es un suicidio algebraico.
El orden estricto de ejecución para divisiones complejas es:
1. Aplica la regla 'Mantener, Cambiar, Voltear' para transformar la división en multiplicación.
2. Inmediatamente después, factoriza absolutamente todos los numeradores y denominadores resultantes.
3. Ahora que todo son puros factores (paréntesis) multiplicándose, busca paréntesis idénticos arriba y abajo para simplificarlos (tacharlos).
Si te saltas el paso 2 y multiplicas primero, crearás polinomios masivos que te harán perder el tiempo en exámenes.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Transforma la división en multiplicación invirtiendo la segunda fracción.
- Paso 2: Factoriza el numerador de la primera fracción.
- Paso 3: Factoriza el denominador de la primera fracción.
- Paso 4: Factoriza los polinomios de la fracción ya invertida.
- Paso 5: Procede a tachar factores comunes.
Ejemplos
1 Factoriza y prepara: $\frac{x^2-25}{3} \div \frac{x+5}{6}$.
- Invertir: $\frac{x^2-25}{3} \cdot \frac{6}{x+5}$.
- Factorizar: $\frac{(x-5)(x+5)}{3} \cdot \frac{2 \cdot 3}{x+5}$.
- Listo para cancelar.
2 Invertida y factorizada, ¿cómo se ve $\frac{x^2+2x}{y} \div \frac{x+2}{y^2}$?
- Factorizamos x(x+2) e invertimos la segunda.
3 Respecto de «Factorización previa en división de fracciones algebraicas»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «En una división, primero aplica la regla de voltear (para volverlo multiplicación), y luego factoriza absolutamente todos los numeradores y denominadores»
- La afirmación coincide con la definición formal: En una división, primero aplica la regla de voltear (para volverlo multiplicación), y luego factoriza absolutamente todos los numeradores y denominadores.
4 Respecto de «Factorización previa en división de fracciones algebraicas»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Intentar cancelar cruzado ANTES de voltear la segunda fracción (gravísimo error)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: En una división, primero aplica la regla de voltear (para volverlo multiplicación), y luego factoriza absolutamente todos los numeradores y denominadores.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Intentar cancelar cruzado ANTES de voltear la segunda fracción (gravísimo error)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar factorizar un polinomio por la prisa de tachar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Cuál es un error fatal al intentar simplificar una división de fracciones algebraicas», la respuesta correcta es Factorizar antes de invertir."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir la segunda fracción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir la división en multiplicación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En una división, primero aplica la regla de voltear (para volverlo multiplicación), y luego factoriza absolutamente todos los numeradores y denominadores.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es un error fatal al intentar simplificar una división de fracciones algebraicas?
La cancelación cruzada solo es válida en multiplicaciones. En divisiones, los factores están en posiciones invertidas matemáticamente.
Respuesta: B) Cancelar factores de forma cruzada ANTES de invertir la segunda fracción.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Prepara correctamente la siguiente división: $\frac{x^2-9}{2x+4} \div \frac{x+3}{x+2}$.
Primero invertimos la segunda a (x+2)/(x+3) y cambiamos a *. Factorizamos la primera a (x-3)(x+3)/2(x+2).
Respuesta: A) $\frac{(x-3)(x+3)}{2(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x+3}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es posible que al factorizar el numerador de la primera fracción, este se cancele con el numerador de la segunda fracción original?
Sí, porque al voltear la segunda fracción, su numerador original se vuelve denominador, permitiendo la cancelación.
Respuesta: Verdadero