Reducción del numerador resultante en adición de fracciones

Tras sumar los numeradores amplificados, se deben expandir sus paréntesis y reducir todos los términos semejantes.

Una vez colocados todos los numeradores amplificados sobre la barra del denominador común, el procedimiento en el numerador continúa.

Aplicamos la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis y luego agrupamos y sumamos los términos semejantes (las $x^2$ con $x^2$, las $x$ con $x$ y los números constantes).

Esto nos permite consolidar un único polinomio ordenado en el numerador para preparar la simplificación final.

Definición formal

Dada la expresión suma sobre el denominador común $M(x)$:

$$N_{\text{total}}(x) = \sum_{i=1}^k N_i(x) \cdot C_i(x) \implies \text{Expandir y reducir} \implies N_{\text{reducido}}(x)$$

$$\frac{N_{\text{total}}(x)}{M(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0}{M(x)}$$

Desglose de la fórmula

• $N_i(x) \cdot C_i(x)$: Productos individuales de numeradores por sus factores de amplificación.
• $N_{\text{reducido}}(x)$: Polinomio canónico en forma estándar ordenado en potencias decrecientes tras reducir términos semejantes.

Síntesis didáctica

Reducir el numerador exige multiplicar factores para deshacer paréntesis y sumar coeficientes de términos de igual grado.

• Reducción de términos semejantes: Agrupación de términos algebraicos con la misma parte literal en el numerador.
• Polinomio numerador canónico: Expresión final simplificada del numerador ordenada por grado.

• Conservación del denominador: Durante todo el proceso de expansión y reducción del numerador, el denominador común se mantiene intacto.
• Preparación para simplificar: Un numerador reducido permite aplicar posteriormente técnicas de factorización final.

Suma y reduce completamente el numerador de $\frac{x(x + 4)}{x - 1} + \frac{3x - 2}{x - 1}$, y evalúa la suma para $x = 2$.