Adición de fracciones algebraicas de igual denominador

Resumen inicial

Para sumar fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se conserva el denominador común.

Explicación en palabras simples

Sumar fracciones algebraicas de igual denominador consiste en mantener la base común y combinar las expresiones superiores.

Dado que ambas fracciones comparten la misma división o denominador, conservamos intacto dicho denominador en el resultado final.

Simplemente sumamos los polinomios o monomios de los numeradores en la parte superior y reducimos los términos semejantes resultantes.

$Adición de fracciones de igual denominador$

Explicación formal

Definición formal

Dadas dos fracciones algebraicas $\frac{A(x)}{D(x)}$ y $\frac{B(x)}{D(x)}$ con $D(x) \neq 0$, la adición de igual denominador se define formalmente como:

$$\frac{A(x)}{D(x)} + \frac{B(x)}{D(x)} = \frac{A(x) + B(x)}{D(x)}$$

Desglose de la fórmula

$A(x) + B(x)$: Suma polinomial de los numeradores mantenida en el dividendo resultante.
$D(x)$: Denominador común no nulo que se conserva sin alteración en el resultado final.

Síntesis didáctica

Sumar fracciones con denominadores idénticos exige operar exclusivamente los numeradores sobre la barra del denominador común.

Definiciones clave

Adición de igual denominador: Operación de suma donde el denominador permanece idéntico y los numeradores se combinan.
Conservación de denominador: Regla fundamental que prohíbe sumar los denominadores entre sí.

Propiedades y relaciones importantes

Homogeneidad previa: Si los denominadores no son iguales, se deben homogeneizar mediante m.c.m. antes de sumar.
Dominio constante: $\operatorname{Dom} = \{x \in \mathbb{R} \mid D(x) \neq 0\}$.

Ejemplo guiado

Suma las fracciones algebraicas de igual denominador $\frac{3x + 5}{x + 2} + \frac{x - 1}{x + 2}$, reduce el numerador y evalúa el resultado para $x = 3$.

Paso 1: Conservar el denominador común $(x + 2)$ y sumar los numeradores: $\frac{(3x + 5) + (x - 1)}{x + 2}$.
Paso 2: Agrupar y reducir términos semejantes en el numerador: $3x + x = 4x$ y $5 - 1 = 4$, obteniendo $4x + 4$.
Paso 3: Escribir la suma obtenida: $\frac{4x + 4}{x + 2} = \frac{4(x + 1)}{x + 2}$ para $x \neq -2$.
Paso 4: Evaluar para $x = 3$: $\frac{4(3 + 1)}{3 + 2} = \frac{4(4)}{5} = \frac{16}{5}$.

Procedimiento

Paso 1: Confirmar que los denominadores de las fracciones a sumar sean exactamente idénticos.
Paso 2: Escribir una barra de fracción única con el denominador común abajo.
Paso 3: Colocar la suma de los numeradores dentro de paréntesis en el numerador.
Paso 4: Eliminar paréntesis y reducir los términos semejantes en el numerador.
Paso 5: Factorizar el numerador resultante para comprobar si se puede simplificar con el denominador.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Sumar los denominadores entre sí (escribir $\frac{A}{X} + \frac{B}{X} = \frac{A+B}{2X}$). Cómo corregirlo: El denominador NUNCA SE SUMA EN LA ADICIÓN DE FRACCIONES; SE CONSERVA INTACTO ($X$).
Error 2: Omitir la reducción de términos semejantes en el numerador compuesto resultante. Cómo corregirlo: Se deben AGRUPAR Y SUMAR LOS COEFICIENTES DE LOS TÉRMINOS CON LA MISMA PARTE LITERAL.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La suma $\frac{x}{y} + \frac{z}{y}$ equivale a $\frac{xz}{y^2}$."

"La suma de fracciones homogéneas $\frac{A}{X} + \frac{B}{X}$ equivale a $\frac{A+B}{2X}$."

"Al calcular $\frac{a}{d} + \frac{b}{d}$, el resultado es idéntico a efectuar la sustracción $\frac{a-b}{d}$."

"En la adición $\frac{2x+3}{D} + \frac{3x+5}{D}$, la suma unificada se expresa como el producto $\frac{(2x+3)(3x+5)}{D}$."

"El dominio de la suma de fracciones homogéneas mantiene la restricción $D(x) \neq 0$ del denominador común."

"Al sumar $\frac{P(x)}{D(x)} + \frac{Q(x)}{D(x)}$, el denominador $D(x)$ se simplifica dejando como resultado el entero $P(x) + Q(x)$."

"Para sumar fracciones algebraicas de igual denominador se suman los numeradores y se conserva el denominador común."

Al terminar debes poder

Resumen visual

Sumar fracciones algebraicas de igual denominador.

Conservar el denominador común $D(x)$ y combinar los numeradores en la expresión unificada $\frac{A(x)+B(x)}{D(x)}$ reduciendo términos semejantes, declarando la restricción $D(x) \neq 0$.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación