Valorización de polinomios con números enteros
Valorizar polinomios resolviendo múltiples términos separados por sumas y restas.
Introducción
Un polinomio es como un tren. Está compuesto por varios vagones (monomios) unidos por enganches de suma o resta. Para calcular el peso total del tren, primero calculamos el peso de cada vagón por separado y luego los sumamos todos.
Explicación
Definición formal
Las sumas y restas (engranajes del polinomio) son la última operación de la jerarquía PAPOMUDAS.
Desarrollo didáctico
Sea el polinomio: $2x^2 - 3x + 5$, para $x=4$.
Evaluamos vagón por vagón:
- Primer vagón ($2x^2$): $2(4)^2 = 2(16) = 32$.
- Segundo vagón ($3x$): $3(4) = 12$.
- Tercer vagón ($5$): Es una constante, se queda como 5.
Ahora reconstruimos el tren con sus signos originales:
$32 - 12 + 5$
Operamos de izquierda a derecha:
$20 + 5 = 25$.
Ese es el valor del polinomio.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Sustituye la variable en cada término del polinomio.
- Paso 2: Resuelve las potencias y multiplicaciones dentro de cada término individual.
- Paso 3: Reescribe el polinomio completo solo con los resultados numéricos de cada término y sus signos originales.
- Paso 4: Realiza las sumas y restas finales de izquierda a derecha.
Ejemplos
1 Valora 3a^2 - 2a + 1 para a=5.
- Sustitución: 3(5)^2 - 2(5) + 1.
- Primer término: 3(25) = 75.
- Segundo término: 2(5) = 10.
- Reescribiendo: 75 - 10 + 1.
- Resultado: 65 + 1 = 66.
2 La altura $h$ de un proyectil en función del tiempo $t$ está dada por el polinomio $h(t) = 50t - 5t^2$. Si se quiere conocer la altura exacta al los $4$ segundos de vuelo, ¿qué cálculo debe realizarse? (v1) Opciones: A) $120$ metros. · B) $200$ metros. · C) $40$ metros. · D) $80$ metros.
- Evaluamos el polinomio en $t=4$: $50(4) - 5(4)^2$. Primer vagón: $200$. Segundo vagón: $5(16) = 80$. Diferencia: $200 - 80 = 120$.
- Respuesta: $120$ metros.
3 Respecto de «Valorización de polinomios con números enteros»: ¿La siguiente formulación es correcta? «Al valorizar un **Polinomio**, se debe evaluar cada término (monomio) de forma independiente respetando la jerarquía de operaciones, y **al final se realizan las sumas y restas** que conectan a los términos»
- La afirmación coincide con la definición formal: Al valorizar un **Polinomio**, se debe evaluar cada término (monomio) de forma independiente respetando la jerarquía de operaciones, y **al final se realizan las sumas y restas** que conectan a los términos.
4 Respecto de «Valorización de polinomios con números enteros»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Mezclar términos antes de resolver sus multiplicaciones (ej. restar el 2 de '3a^2 - 2' antes de multiplicarlo por 'a')»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Al valorizar un **Polinomio**, se debe evaluar cada término (monomio) de forma independiente respetando la jerarquía de operaciones, y **al final se realizan las sumas y restas** que conectan a los términos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Mezclar términos antes de resolver sus multiplicaciones (ej. restar el 2 de '3a^2 - 2' antes de multiplicarlo por 'a')."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Equivocarse en la regla de los signos al sumar o restar los resultados finales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al evaluar el polinomio $3x^2 + 4x - 5$, ¿cuál es el procedimiento correcto respecto al orden de las sumas y restas centrales? (v1)», la respuesta correcta es Se puede sumar el $3x^2$ con el $4x$ directamente sumando los coeficientes ($7x^3$) y luego sustituir."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al evaluar el polinomio $3x^2 + 4x - 5$, ¿cuál es el procedimiento correcto respecto al orden de las sumas y restas centrales? (v1)», la respuesta correcta es Se debe restar el $5$ al $4$ antes de multiplicarlo por $x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Al evaluar el polinomio $3x^2 + 4x - 5$, ¿cuál es el procedimiento correcto respecto al orden de las sumas y restas centrales? (v1)», la respuesta correcta es Las operaciones deben hacerse de derecha a izquierda obligatoriamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al valorizar un **Polinomio**, se debe evaluar cada término (monomio) de forma independiente respetando la jerarquía de operaciones, y **al final se realizan las sumas y restas** que conectan a los términos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al evaluar el polinomio $3x^2 + 4x - 5$, ¿cuál es el procedimiento correcto respecto al orden de las sumas y restas centrales? (v1)
Las sumas y restas (engranajes del polinomio) son la última operación de la jerarquía PAPOMUDAS.
Respuesta: A) Las sumas y restas deben realizarse estrictamente al final, después de haber calculado el valor individual (potencias y multiplicaciones) de cada término o 'vagón'.
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Al evaluar el polinomio $3x^2 + 4x - 5$, ¿cuál es el procedimiento correcto respecto al orden de las sumas y restas centrales? (v2)
Las sumas y restas (engranajes del polinomio) son la última operación de la jerarquía PAPOMUDAS.
Respuesta: A) Las sumas y restas deben realizarse estrictamente al final, después de haber calculado el valor individual (potencias y multiplicaciones) de cada término o 'vagón'.
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Al evaluar el polinomio $3x^2 + 4x - 5$, ¿cuál es el procedimiento correcto respecto al orden de las sumas y restas centrales? (v3)
Las sumas y restas (engranajes del polinomio) son la última operación de la jerarquía PAPOMUDAS.
Respuesta: A) Las sumas y restas deben realizarse estrictamente al final, después de haber calculado el valor individual (potencias y multiplicaciones) de cada término o 'vagón'.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Calcula el valor numérico del polinomio $2x^2 + 5x - 3$ para $x = 3$.
Término 1: $2(3)^2 = 2(9) = 18$. Término 2: $5(3) = 15$. Término 3: $-3$. Sumando: $18 + 15 - 3 = 33 - 3 = 30$.
Respuesta: A) $30$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si evaluamos el polinomio $x^3 - 2x^2 + x$ con el valor $x=1$, el resultado final es $0$?
Sustituyendo: $1^3 - 2(1)^2 + 1$. Resolviendo: $1 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1$. Efectuando: $-1 + 1 = 0$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si evaluamos el polinomio $x^3 - 2x^2 + x$ con el valor $x=1$, el resultado final es $0$?
Sustituyendo: $1^3 - 2(1)^2 + 1$. Resolviendo: $1 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1$. Efectuando: $-1 + 1 = 0$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si evaluamos el polinomio $x^3 - 2x^2 + x$ con el valor $x=1$, el resultado final es $0$?
Sustituyendo: $1^3 - 2(1)^2 + 1$. Resolviendo: $1 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1$. Efectuando: $-1 + 1 = 0$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La altura $h$ de un proyectil en función del tiempo $t$ está dada por el polinomio $h(t) = 50t - 5t^2$. Si se quiere conocer la altura exacta al los $4$ segundos de vuelo, ¿qué cálculo debe realizarse? (v1)
Evaluamos el polinomio en $t=4$: $50(4) - 5(4)^2$. Primer vagón: $200$. Segundo vagón: $5(16) = 80$. Diferencia: $200 - 80 = 120$.
Respuesta: A) $120$ metros.
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La altura $h$ de un proyectil en función del tiempo $t$ está dada por el polinomio $h(t) = 50t - 5t^2$. Si se quiere conocer la altura exacta al los $4$ segundos de vuelo, ¿qué cálculo debe realizarse? (v2)
Evaluamos el polinomio en $t=4$: $50(4) - 5(4)^2$. Primer vagón: $200$. Segundo vagón: $5(16) = 80$. Diferencia: $200 - 80 = 120$.
Respuesta: A) $120$ metros.
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La altura $h$ de un proyectil en función del tiempo $t$ está dada por el polinomio $h(t) = 50t - 5t^2$. Si se quiere conocer la altura exacta al los $4$ segundos de vuelo, ¿qué cálculo debe realizarse? (v3)
Evaluamos el polinomio en $t=4$: $50(4) - 5(4)^2$. Primer vagón: $200$. Segundo vagón: $5(16) = 80$. Diferencia: $200 - 80 = 120$.
Respuesta: A) $120$ metros.