Valorización de polinomios con números enteros

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La valorización de polinomios con números enteros consiste en calcular el valor numérico de cada uno de sus términos monomios y sumar o restar los resultados siguiendo la regla de signos.

Explicación en palabras simples

Un polinomio es una suma o resta de varios términos algebraicos (monomios):
- Para valorizar un polinomio con números enteros:
- Paso 1: Sustituye las variables en cada término usando paréntesis.
- Paso 2: Calcula el valor numérico de cada término por separado (respetando potencias y productos).
- Paso 3: Suma o resta los valores de los términos para obtener el resultado final del polinomio.
- Ejemplo: Valorizar el trinomio $2x^2 - 5x + 3$ para $x = -2$:
- Término 1: $2(-2)^2 = 2(4) = \mathbf{8}$.
- Término 2: $-5(-2) = \mathbf{+10}$.
- Término 3: constante $\mathbf{+3}$.
- Suma final: $8 + 10 + 3 = \mathbf{21}$.

Valorización de Polinomios con Enteros

Explicación formal

Definición formal

Sea $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$ un polinomio de grado $n$ con coeficientes $a_i \in \mathbb{Z}$. La valorización sobre un entero $z \in \mathbb{Z}$ es la suma finita de las evaluaciones individuales de sus $n+1$ términos:

$$P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i z^i$$

Esquema de Horner para la Valorización Eficiente

Para minimizar el número de multiplicaciones, la valorización de $P(z)$ puede expresarse en forma anidada mediante el algoritmo de Horner:

$$P(z) = (\dots((a_n z + a_{n-1})z + a_{n-2})z + \dots + a_1)z + a_0$$

Síntesis didáctica

La valorización de polinomios permite evaluar funciones cuadráticas y cúbicas en modelos de trayectoria de proyectiles, costos totales y raíces polinómicas.

Comprueba tu avance ¿Qué propiedad matemática se cumple si la valorización de un polinomio $P(x)$ para $x = z$ da como resultado exactamente cero ($P(z) = 0$)?

Definiciones clave

  • Valorización de polinomio: Evaluación de la suma algebraica de los términos componentes tras reemplazar las variables por enteros.
  • Término independiente ($a_0$): Valor constante del polinomio que no depende de la variable y se conserva al sumar.
  • Algoritmo de Horner: Método optimizado de valorización por factorizaciones sucesivas de la variable.

Propiedades y relaciones importantes

  • Raíz del polinomio: Si la valorización de $P(z)$ produce un resultado estrictamente igual a $0$, entonces $z$ es una raíz o cero del polinomio.
  • Suma de coeficientes: La valorización del polinomio para $x = 1$ ($P(1)$) equivale exactamente a la suma de todos sus coeficientes numéricos.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Calcula el valor del polinomio $x^3 - 4x^2 + 2x - 7$ para $x = -1$.

  • Paso 1: Sustituimos $x = -1$ en cada término con paréntesis: $(-1)^3 - 4(-1)^2 + 2(-1) - 7$.
  • Paso 2: Evaluamos la potencia $(-1)^3 = -1 \implies$ Término 1: $-1$.
  • Paso 3: Evaluamos $-4(-1)^2 = -4(1) = -4 \implies$ Término 2: $-4$.
  • Paso 4: Evaluamos $+2(-1) = -2 \implies$ Término 3: $-2$.
  • Paso 5: Mantenemos la constante: $-7$.
  • Paso 6: Sumamos todos los términos de números enteros negativos: $-1 - 4 - 2 - 7 = -14$.
  • Conclusión: El valor numérico del polinomio es **$-14$**.
Comprueba tu avance ¿A qué equivale algebraicamente valorizar cualquier polinomio $P(x)$ reemplazando $x = 1$?

Procedimiento

  • Paso 1: Reemplazar la variable en cada término del polinomio utilizando paréntesis.
  • Paso 2: Resolver las potencias de cada término respetando el signo de las bases negativas.
  • Paso 3: Multiplicar los coeficientes por los resultados de las potencias correspondientes.
  • Paso 4: Reducir la suma de números enteros finales agregando el término independiente.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Cambiar el signo del término independiente al sustituir valores negativos. Cómo corregirlo: El término independiente permanece inalterado ($a_0$), pues no posee variable para sustituir.
  • Error 2: Sumar coeficientes sin calcular las potencias de las variables. Cómo corregirlo: Debe resolverse cada potencia antes de sumar los términos del polinomio.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor de $x^2 - 3x + 5$ para $x = -2$?
2 Para el polinomio $P(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 1$, ¿es $P(1) = 4 - 2 + 7 - 1 = 8$?
3 Para $P(x) = x^2 - 9$, si $x = 3 \implies 3^2 - 9 = 0$, ¿es $x = 3$ una raíz de $P(x)$?
4 Para $x = 0$ en el polinomio $P(x) = 5x^2 - 8x + 12$, ¿resulta la valorización igual a $12$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La valorización de cualquier polinomio P(x) en x = 0 da siempre como resultado el término independiente."
"Declarar que valorizar un polinomio en x = 0 invalida el término constante."
"La multiplicación entre el coeficiente y la potencia de cada término no se ejecuta."
"La razón porcentual P% equivale numéricamente al factor multiplicativo r en la ecuación."
"Sumar directamente los coeficientes numéricos sin calcular las potencias de la variable."
"La valorización de un polinomio se calcula mediante la suma algebraica del valor numérico de cada uno de sus términos."
"Alterar el signo del término independiente al sustituir valores negativos en las variables."

Al terminar debes poder

Resumen de valorización de polinomios con enteros

🎯 QUÉ Objetivo

Evaluar numéricamente polinomios completos formados por múltiples términos.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Calcular el valor numérico de cada monomio constitutivo $T_k(c) = a_k c^k$ por separado y sumar/restar algebraicamente los términos obtenidos.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra 8° Básico / Valorización.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Al evaluar el polinomio $3x^2 + 4x - 5$, ¿cuál es el procedimiento correcto respecto al orden de las sumas y restas centrales? (v1)

  2. Al evaluar el polinomio $3x^2 + 4x - 5$, ¿cuál es el procedimiento correcto respecto al orden de las sumas y restas centrales? (v2)

  3. Al evaluar el polinomio $3x^2 + 4x - 5$, ¿cuál es el procedimiento correcto respecto al orden de las sumas y restas centrales? (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Calcula el valor numérico del polinomio $2x^2 + 5x - 3$ para $x = 3$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si evaluamos el polinomio $x^3 - 2x^2 + x$ con el valor $x=1$, el resultado final es $0$?

  2. ¿Si evaluamos el polinomio $x^3 - 2x^2 + x$ con el valor $x=1$, el resultado final es $0$?

  3. ¿Si evaluamos el polinomio $x^3 - 2x^2 + x$ con el valor $x=1$, el resultado final es $0$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. La altura $h$ de un proyectil en función del tiempo $t$ está dada por el polinomio $h(t) = 50t - 5t^2$. Si se quiere conocer la altura exacta al los $4$ segundos de vuelo, ¿qué cálculo debe realizarse? (v1)

  2. La altura $h$ de un proyectil en función del tiempo $t$ está dada por el polinomio $h(t) = 50t - 5t^2$. Si se quiere conocer la altura exacta al los $4$ segundos de vuelo, ¿qué cálculo debe realizarse? (v2)

  3. La altura $h$ de un proyectil en función del tiempo $t$ está dada por el polinomio $h(t) = 50t - 5t^2$. Si se quiere conocer la altura exacta al los $4$ segundos de vuelo, ¿qué cálculo debe realizarse? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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