Valorización de monomios con números enteros
Resumen inicial
La valorización de monomios con números enteros consiste en calcular el producto del coeficiente numérico por cada una de las variables elevadas a sus exponentes, sustituidas por números enteros.
Explicación en palabras simples
Un monomio es un solo término algebraico formado por la multiplicación de un número (coeficiente) y letras (variables):
- Para valorizar un monomio con números enteros (positivos o negativos):
- Paso 1: Reemplaza cada letra por su número entero asignado usando paréntesis.
- Paso 2: Eleva cada entero a su exponente respectivo (¡cuidado con la regla de los signos en potencias!).
- Paso 3: Multiplica el coeficiente por los resultados de las potencias.
- Ejemplo: Valorizar $-4x^2 y$ para $x = -3$ e $y = 2$:
- Sustitución: $-4(-3)^2(2)$.
- Potencia: $(-3)^2 = 9 \implies -4(9)(2)$.
- Producto final: $-36(2) = \mathbf{-72}$.
Explicación formal
Definición formal
Sea $M(x_1, \dots, x_k) = c \cdot x_1^{a_1} x_2^{a_2} \dots x_k^{a_k}$ un monomio de coeficiente $c \in \mathbb{Z}$ y grado total $G = \sum a_i$. La valorización en números enteros es la evaluación puntual sobre la k-tupla $(z_1, \dots, z_k) \in \mathbb{Z}^k$:
$$M(z_1, \dots, z_k) = c \cdot \prod_{i=1}^k z_i^{a_i}$$
Regla de Signos en Potencias de Enteros
Para cualquier entero negativo $z < 0$ y exponente entero $a \in \mathbb{N}_0$:
$$z^a = \begin{cases} > 0 & \text{si } a \text{ es par} \\ < 0 & \text{si } a \text{ es impar} \end{cases}$$
Síntesis didáctica
La correcta aplicación de los paréntesis al sustituir bases enteras negativas evita errores sistemáticos de signo en la física y el cálculo de volúmenes.
La alternativa correcta es 'Se obtiene un resultado positivo, por la regla $(-z)^{\text{par}} > 0$'. Exponente par elimina el signo negativo.
Definiciones clave
- Valorización de monomio: Evaluación del producto único $c \cdot x^a y^b \dots$ al reemplazar variables por constantes enteras.
- Base entera negativa ($(-z)^a$): Elemento cuya paridad del exponente $a$ determina si el resultado es positivo o negativo.
- Producto de coeficientes: Multiplicación final de todos los factores numéricos obtenidos.
Propiedades y relaciones importantes
- Factor nulo: Si alguna de las variables toma el valor $0$, el resultado de la valorización de todo el monomio es idénticamente $0$.
- Paridad del monomio de grado par: Si todas las variables están elevadas a exponentes pares, sustituir $z$ o $-z$ produce el mismo resultado.
Ejemplo guiado
Calcula el valor numérico del monomio $-5x^3 y^2$ para $x = -2$ e $y = -3$.
- Paso 1: Reemplazamos las variables por sus enteros entre paréntesis: $-5(-2)^3(-3)^2$.
- Paso 2: Calculamos $(-2)^3$: Al ser exponente impar 3, el resultado es negativo $\implies -8$.
- Paso 3: Calculamos $(-3)^2$: Al ser exponente par 2, el resultado es positivo $\implies 9$.
- Paso 4: Sustituimos las potencias en el monomio: $-5(-8)(9)$.
- Paso 5: Multiplicamos progresivamente: $-5 \cdot (-8) = +40 \implies +40 \cdot 9 = +360$.
- Conclusión: El valor numérico del monomio es **$360$**.
La alternativa correcta es 'El valor es $96$, obtenido mediante $3(-4)^2(2) = 3(16)(2) = 96$'. $(-4)^2 = 16 \implies 3(16)(2) = 96$.
Procedimiento
- Paso 1: Reemplazar cada variable del monomio por su entero asignado encerrado entre paréntesis.
- Paso 2: Calcular las potencias determinando el signo según la paridad del exponente.
- Paso 3: Multiplicar el coeficiente numérico por el resultado de las potencias.
- Paso 4: Aplicar la regla general de signos para el producto final de enteros.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Escribir $-3^2 = -9$ al sustituir $x = -3$ en $x^2$. Cómo corregirlo: La base sustituida debe llevar paréntesis $(-3)^2 = +9$; sin paréntesis se mantiene el signo negativo.
- Error 2: Excluir el coeficiente en el producto final de las potencias. Cómo corregirlo: El coeficiente debe multiplicarse al final ($c \cdot \text{potencias}$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Sustitución: $-2(-3)^3$.
- Potencia: $(-3)^3 = -27$.
- Producto: $-2(-27) = +54$.
- Sustitución: $4(5)(-2)^2$.
- Operaciones: $4(5)(4) = 80$.
- Sí, cualquier número multiplicado por cero da cero.
- Sí, $(2)^2 = 4$ y $(-2)^2 = 4 \implies 5(4) = 20$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Evaluar numéricamente monomios simples y multivariables con valores enteros.
Calcular primero las potencias de cada base entera $(c_i)^{e_i}$ y multiplicar ordenadamente los factores resultantes por el coeficiente escalar.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al evaluar el monomio $5x^2y$, ¿qué operación aritmética debe resolverse primero estrictamente según la jerarquía de las operaciones (PAPOMUDAS)? (v1)
Las potencias siempre tienen prioridad sobre las multiplicaciones. El cuadrado solo afecta a la $x$, no al 5 ni a la $y$.
Respuesta: A) La potencia de $x$ ($x^2$), antes de multiplicar por el $5$ o por $y$.
-
Al evaluar el monomio $5x^2y$, ¿qué operación aritmética debe resolverse primero estrictamente según la jerarquía de las operaciones (PAPOMUDAS)? (v2)
Las potencias siempre tienen prioridad sobre las multiplicaciones. El cuadrado solo afecta a la $x$, no al 5 ni a la $y$.
Respuesta: A) La potencia de $x$ ($x^2$), antes de multiplicar por el $5$ o por $y$.
-
Al evaluar el monomio $5x^2y$, ¿qué operación aritmética debe resolverse primero estrictamente según la jerarquía de las operaciones (PAPOMUDAS)? (v3)
Las potencias siempre tienen prioridad sobre las multiplicaciones. El cuadrado solo afecta a la $x$, no al 5 ni a la $y$.
Respuesta: A) La potencia de $x$ ($x^2$), antes de multiplicar por el $5$ o por $y$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Calcula el valor numérico de $4a^3b$ cuando $a=2$ y $b=5$.
Sustituimos: $4(2)^3(5)$. Resolvemos potencia: $2^3 = 8$. Queda: $4 \cdot 8 \cdot 5 = 32 \cdot 5 = 160$.
Respuesta: A) $160$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿El valor del monomio $-2x^2$ evaluado en $x=3$ es $36$?
Sustituyendo: $-2(3)^2$. Primero la potencia: $3^2 = 9$. Luego multiplicamos: $-2 \cdot 9 = -18$. Quien obtuvo 36 (o -36) multiplicó primero (-6) y luego elevó al cuadrado, lo cual rompe la jerarquía.
Respuesta: Falso
-
¿El valor del monomio $-2x^2$ evaluado en $x=3$ es $36$?
Sustituyendo: $-2(3)^2$. Primero la potencia: $3^2 = 9$. Luego multiplicamos: $-2 \cdot 9 = -18$. Quien obtuvo 36 (o -36) multiplicó primero (-6) y luego elevó al cuadrado, lo cual rompe la jerarquía.
Respuesta: Falso
-
¿El valor del monomio $-2x^2$ evaluado en $x=3$ es $36$?
Sustituyendo: $-2(3)^2$. Primero la potencia: $3^2 = 9$. Luego multiplicamos: $-2 \cdot 9 = -18$. Quien obtuvo 36 (o -36) multiplicó primero (-6) y luego elevó al cuadrado, lo cual rompe la jerarquía.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
La fórmula para el volumen de una pirámide de base cuadrada es $V = \frac13 a^2 h$, donde $a$ es la arista de la base y $h$ la altura. Si un arquitecto diseña una pirámide con $a = 6$ m y $h = 10$ m, ¿cuál será su volumen en metros cúbicos? (v1)
Sustituimos en el monomio: $V = \frac{1}{3} (6)^2 (10)$. Potencia: $6^2 = 36$. Multiplicamos: $\frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. Finalmente, $12 \cdot 10 = 120$.
Respuesta: A) $120$
-
La fórmula para el volumen de una pirámide de base cuadrada es $V = \frac13 a^2 h$, donde $a$ es la arista de la base y $h$ la altura. Si un arquitecto diseña una pirámide con $a = 6$ m y $h = 10$ m, ¿cuál será su volumen en metros cúbicos? (v2)
Sustituimos en el monomio: $V = \frac{1}{3} (6)^2 (10)$. Potencia: $6^2 = 36$. Multiplicamos: $\frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. Finalmente, $12 \cdot 10 = 120$.
Respuesta: A) $120$
-
La fórmula para el volumen de una pirámide de base cuadrada es $V = \frac13 a^2 h$, donde $a$ es la arista de la base y $h$ la altura. Si un arquitecto diseña una pirámide con $a = 6$ m y $h = 10$ m, ¿cuál será su volumen en metros cúbicos? (v3)
Sustituimos en el monomio: $V = \frac{1}{3} (6)^2 (10)$. Potencia: $6^2 = 36$. Multiplicamos: $\frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. Finalmente, $12 \cdot 10 = 120$.
Respuesta: A) $120$