Valorización de expresiones con potencias
Valorizar polinomios y fracciones algebraicas complejas donde las variables figuran como exponentes de otras variables o números.
Introducción
Hasta ahora las letras se mantenían en el suelo. Pero a veces, las incógnitas deciden volar y sentarse en el exponente. Esto es el corazón del crecimiento exponencial (como las pandemias o el interés compuesto).
Explicación
Definición formal
Mientras que $3x$ para $x=4$ es sumar 3 cuatro veces ($3+3+3+3=12$), el modelo $3^x$ es multiplicar 3 cuatro veces ($3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$).
Desarrollo didáctico
Observa la expresión $2^x$.
Si $x = 3$:
1. Sustituimos la $x$ en el 'cielo': $2^{(3)}$.
2. Esto NO es $2 \cdot 3$. Es una potencia.
3. Calculamos: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Si la expresión es más compleja, como $3^{x+1}$ con $x=1$:
Primero debes resolver la suma 'en el cielo' antes de aplicar la potencia.
- Cielo: $1 + 1 = 2$.
- Potencia: $3^2 = 9$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las variables que están posicionadas como exponentes (arriba a la derecha).
- Paso 2: Sustitúyelas por su valor numérico.
- Paso 3: Si hay sumas, restas o multiplicaciones en el exponente, resuélvelas primero para tener un solo número como exponente.
- Paso 4: Desarrolla la potencia multiplicando la base base por sí misma la cantidad de veces que dicte el exponente.
Ejemplos
1 Valora 5^{n-2} para n=4.
- Sustituimos la n en el exponente: 5^{(4-2)}.
- Resolvemos la resta en el exponente: 5^2.
- Calculamos la potencia: 5 * 5 = 25.
2 Un biólogo modela el crecimiento de una bacteria con la expresión poblacional $P = 100 \cdot 2^{t/3}$, donde $t$ es el tiempo en horas. ¿Qué población existirá exactamente a las $9$ horas de iniciado el cultivo? (v1) Opciones: A) $800$ · B) $600$ · C) $900$ · D) $1800$
- Sustituimos $t=9$. Exponente: $9/3 = 3$. La fórmula queda $100 \cdot 2^3$. Resolvemos la potencia primero: $2^3 = 8$. Finalmente multiplicamos: $100 \cdot 8 = 800$.
- Respuesta: $800$
3 Respecto de «Valorización de expresiones con potencias»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «Cuando la **Variable está en el Exponente**, la sustitución sigue la misma regla: se coloca el número en el lugar de la letra»
- La afirmación coincide con la definición formal: Cuando la **Variable está en el Exponente**, la sustitución sigue la misma regla: se coloca el número en el lugar de la letra.
4 Respecto de «Valorización de expresiones con potencias»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Multiplicar la base por el exponente (ej. decir que $2^3$ es $6$ en lugar de $8$)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Cuando la **Variable está en el Exponente**, la sustitución sigue la misma regla: se coloca el número en el lugar de la letra.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar la base por el exponente (ej. decir que $2^3$ es $6$ en lugar de $8$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la potencia antes de resolver las operaciones en el exponente (ej. en $3^{x+1}$ elevar primero a la $x$ y luego sumarle 1 al resultado general)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No altera en nada, son simplemente dos formas distintas de escribir una multiplicación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Transforma la operación en una suma reiterada."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Cuando en una expresión matemática la variable actúa como exponente (ej. $3^x$), ¿cómo altera esto la naturaleza de la operación en comparación con un coeficiente (ej. $3x$)? (v1)», la respuesta correcta es Obliga a que la base se invierta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Cuando la **Variable está en el Exponente**, la sustitución sigue la misma regla: se coloca el número en el lugar de la letra. Sin embargo, la operación resultante será calcular **cuántas veces se multiplica la base por sí misma**, según indique ese nuevo exponente numérico.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Cuando en una expresión matemática la variable actúa como exponente (ej. $3^x$), ¿cómo altera esto la naturaleza de la operación en comparación con un coeficiente (ej. $3x$)? (v2)
Mientras que $3x$ para $x=4$ es sumar 3 cuatro veces ($3+3+3+3=12$), el modelo $3^x$ es multiplicar 3 cuatro veces ($3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$).
Respuesta: A) Transforma la operación de un crecimiento lineal o multiplicativo simple a un crecimiento exponencial, donde la base se multiplicará por sí misma la cantidad de veces que indique la variable.
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Cuando en una expresión matemática la variable actúa como exponente (ej. $3^x$), ¿cómo altera esto la naturaleza de la operación en comparación con un coeficiente (ej. $3x$)? (v1)
Mientras que $3x$ para $x=4$ es sumar 3 cuatro veces ($3+3+3+3=12$), el modelo $3^x$ es multiplicar 3 cuatro veces ($3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$).
Respuesta: A) Transforma la operación de un crecimiento lineal o multiplicativo simple a un crecimiento exponencial, donde la base se multiplicará por sí misma la cantidad de veces que indique la variable.
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Cuando en una expresión matemática la variable actúa como exponente (ej. $3^x$), ¿cómo altera esto la naturaleza de la operación en comparación con un coeficiente (ej. $3x$)? (v3)
Mientras que $3x$ para $x=4$ es sumar 3 cuatro veces ($3+3+3+3=12$), el modelo $3^x$ es multiplicar 3 cuatro veces ($3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$).
Respuesta: A) Transforma la operación de un crecimiento lineal o multiplicativo simple a un crecimiento exponencial, donde la base se multiplicará por sí misma la cantidad de veces que indique la variable.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Calcula el valor de la expresión exponencial $2^{a+b}$ si se sabe que $a=2$ y $b=3$.
Primero se consolida el exponente en el 'cielo': $a+b = 2+3 = 5$. Luego aplicamos la base a ese exponente final: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Respuesta: A) $32$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El valor de la expresión $x^x$ (una variable elevada a sí misma) evaluada en $x = 3$ es igual a $9$?
Evaluamos $x^x$ con $x=3$. Queda $3^3$. Eso significa $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Quien obtuvo 9 confundió $3^3$ con $3 \cdot 3$ o con $3^2$.
Respuesta: Falso
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¿El valor de la expresión $x^x$ (una variable elevada a sí misma) evaluada en $x = 3$ es igual a $9$?
Evaluamos $x^x$ con $x=3$. Queda $3^3$. Eso significa $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Quien obtuvo 9 confundió $3^3$ con $3 \cdot 3$ o con $3^2$.
Respuesta: Falso
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¿El valor de la expresión $x^x$ (una variable elevada a sí misma) evaluada en $x = 3$ es igual a $9$?
Evaluamos $x^x$ con $x=3$. Queda $3^3$. Eso significa $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Quien obtuvo 9 confundió $3^3$ con $3 \cdot 3$ o con $3^2$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un biólogo modela el crecimiento de una bacteria con la expresión poblacional $P = 100 \cdot 2^{t/3}$, donde $t$ es el tiempo en horas. ¿Qué población existirá exactamente a las $9$ horas de iniciado el cultivo? (v3)
Sustituimos $t=9$. Exponente: $9/3 = 3$. La fórmula queda $100 \cdot 2^3$. Resolvemos la potencia primero: $2^3 = 8$. Finalmente multiplicamos: $100 \cdot 8 = 800$.
Respuesta: A) $800$
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Un biólogo modela el crecimiento de una bacteria con la expresión poblacional $P = 100 \cdot 2^{t/3}$, donde $t$ es el tiempo en horas. ¿Qué población existirá exactamente a las $9$ horas de iniciado el cultivo? (v2)
Sustituimos $t=9$. Exponente: $9/3 = 3$. La fórmula queda $100 \cdot 2^3$. Resolvemos la potencia primero: $2^3 = 8$. Finalmente multiplicamos: $100 \cdot 8 = 800$.
Respuesta: A) $800$
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Un biólogo modela el crecimiento de una bacteria con la expresión poblacional $P = 100 \cdot 2^{t/3}$, donde $t$ es el tiempo en horas. ¿Qué población existirá exactamente a las $9$ horas de iniciado el cultivo? (v1)
Sustituimos $t=9$. Exponente: $9/3 = 3$. La fórmula queda $100 \cdot 2^3$. Resolvemos la potencia primero: $2^3 = 8$. Finalmente multiplicamos: $100 \cdot 8 = 800$.
Respuesta: A) $800$